PAGE第2頁(yè)共5頁(yè)課時(shí)驗(yàn)收評(píng)價(jià)(五十四)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、點(diǎn)全面廣強(qiáng)基訓(xùn)練1．若曲線x2＋y2－6x＝0(y>0)與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))解析：選C∵x2＋y2－6x＝0(y>0)可化為(x－3)2＋y2＝9(y>0)，∴曲線表示圓心為(3,0)，半徑為3的上半圓(不包括圓與x軸的交點(diǎn))，它與直線y＝k(x＋2)有公共點(diǎn)的充要條件是圓心(3,0)到直線y＝k(x＋2)的距離d≤3，且k>0，∴eq\f(|3k－0＋2k|,\r(k2＋1))≤3，且k>0，解得0<k≤eq\f(3,4).故選C.2．過直線y＝2x＋3上的點(diǎn)作圓C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A.eq\r(19) B．2eq\r(5)C.eq\r(21) D.eq\f(\r(55),5)解析：選A圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切線長(zhǎng)最小，只需直線y＝2x＋3上的點(diǎn)和圓心之間的距離最短，此最小值即為圓心(2，－3)到直線y＝2x＋3的距離d，d＝eq\f(|2×2＋3＋3|,\r(5))＝2eq\r(5)，故切線長(zhǎng)的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(19).3．(2021·鄭州二模)若直線x＋ay－a－1＝0與圓C：(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AB|最小時(shí)，劣弧的長(zhǎng)為()A.eq\f(π,2) B．πC．2π D．3π解析：選B直線x＋ay－a－1＝0可化為(x－1)＋a(y－1)＝0，所以直線恒過定點(diǎn)M(1,1)，由圓的圓心為C(2,0)，半徑r＝2，當(dāng)MC⊥直線AB時(shí)，|AB|取得最小值，且最小值為2eq\r(r2－|MC|2)＝2eq\r(4－2)＝2eq\r(2)，此時(shí)弦長(zhǎng)AB對(duì)的圓心角為eq\f(π,2)，所以劣弧長(zhǎng)為eq\f(π,2)×2＝π，故選B.4．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為()A．(－3eq\r(2)，3eq\r(2))B．(－∞，－3eq\r(2))∪(3eq\r(2)，＋∞)C．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))D．(－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2)，＋∞)解析：選A由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因?yàn)閳A上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))＜3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).5．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，過點(diǎn)P(0,3)的直線與圓心為C的圓x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則△ABC面積的最大值是()A．2B．4C.eq\r(3)D．2eq\r(3)6．(2021·天津高考)若斜率為eq\r(3)的直線與y軸交于點(diǎn)A，與圓x2＋(y－1)2＝1相切于點(diǎn)B，則|AB|＝____________.解析：設(shè)直線AB的方程為y＝eq\r(3)x＋b，則點(diǎn)A(0，b)，由于直線AB與圓x2＋(y－1)2＝1相切，且圓心為C(0,1)，半徑為1，則eq\f(|b－1|,2)＝1，解得b＝－1或b＝3，所以|AC|＝2，因?yàn)閨BC|＝1，故|AB|＝eq\r(|AC|2－|BC|2)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．若A為圓C1：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)度的最大值是________．解析：圓C1：x2＋y2＝1的圓心為C1(0,0)，半徑r1＝1，圓C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝4的圓心為C2(3，－4)，半徑r2＝2，所以|C1C2|＝5.又A為圓C1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，所以線段AB長(zhǎng)度的最大值是|C1C2|＋r1＋r答案：88．已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線，與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|＝2eq\r(3)，則m＝________，|CD|＝________.解析：設(shè)圓心到直線l的距離為d，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2?3＋d2＝12?d＝3，∴eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，化簡(jiǎn)得eq\r(3)m＋1＝0，解得m＝－eq\f(\r(3),3).可得直線l的方程為y＝eq\f(\r(3),3)x＋2eq\r(3)，其傾斜角為30°.如圖所示，作CE⊥BD于E，則CE∥AB，∴∠ECD＝30°，又知在Rt△CDE中，CE＝2eq\r(3)，∴|CD|＝eq\f(|CE|,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.答案：－eq\f(\r(3),3)49．已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切？(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(2)時(shí)，求直線l的方程．解：(1)根據(jù)題意，圓C：x2＋y2－8y＋12＝0可化為x2＋(y－4)2＝4，其圓心為(0,4)，半徑r＝2.若直線l與圓C相切，則有eq\f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝2，解得a＝－eq\f(3,4).(2)設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝eq\r(2).又d＝eq\f(|4＋2a|,\r(1＋a2))＝eq\r(2)，解得a＝－1或－7，則直線l的方程為x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.10．已知圓O：x2＋y2＝2，直線l：y＝kx－2.(1)若直線l與圓O相切，求k的值；(2)若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB為銳角時(shí)，求k的取值范圍；(3)若k＝eq\f(1,2)，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)為C，D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)．解：(1)∵直線l與圓O相切，∴圓心O(0,0)到直線l的距離等于半徑r＝eq\r(2)，即d＝eq\f(|－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1.(2)∵直線l與圓C相交，∴d＝eq\f(|－2|,\r(k2＋1))＜eq\r(2)，解得k＞1或k＜－1.又θ＝∠AOB為銳角，∴coseq\f(θ,2)＞eq\f(\r(2),2)，即eq\f(d,r)＞eq\f(\r(2),2)，解得－eq\r(3)＜k＜eq\r(3).綜上，k的取值范圍為(－eq\r(3)，－1)∪(1，eq\r(3))．(3)由題意知O，P，C，D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上．設(shè)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)t－2))，以O(shè)P為直徑的圓的方程為x(x－t)＋yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)t＋2))＝0，即x2－tx＋y2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t－2))y＝0，又C，D在圓O：x2＋y2＝2上，兩圓的方程作差得lCD：tx＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t－2))y－2＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))t－2y－2＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝0，,2y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－1，))∴直線CD過定點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－1)).二、重點(diǎn)難點(diǎn)培優(yōu)訓(xùn)練1．設(shè)P為直線3x－4y＋4＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB為圓C：(x－2)2＋y2＝1的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則四邊形APBC面積的最小值為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(5) D．2eq\r(5)解析：選A如圖，連接AC，BC，PC.易知圓C的圓心坐標(biāo)為(2,0)，|AC|＝|BC|＝r＝1，CA⊥PA，CB⊥PB.設(shè)P(x0，y0)，則3x0－4y0＋4＝0，所以y0＝eq\f(3,4)x0＋1.由勾股定理知|AP|＝eq\r(|CP|2－|AC|2)＝eq\r(x0－22＋y\o\al(2,0)－1)，所以S四邊形APBC＝2SRt△ACP＝|AC||AP|＝|AP|＝eq\r(x0－22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x0＋1))2－1)＝eq\f(5,4)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(4,5)))2＋\f(48,25))，當(dāng)x0＝eq\f(4,5)時(shí)，所求面積最小為eq\f(5,4)×eq\r(\f(48,25))＝eq\r(3).2．若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D．8解析：選B如圖，連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點(diǎn)A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O(shè)1Oeq\o\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq\f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，所以AB＝2AC＝4.故選B.3．已知直線l：x＋y－1＝0截圓O：x2＋y2＝r2(r＞0)所得的弦長(zhǎng)為eq\r(14)，點(diǎn)M，N在圓O上，且直線l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0過定點(diǎn)P，若PM⊥PN，則|MN|的取值范圍為()A．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(3)] B．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]C．[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(3)] D．[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2)]解析：選D由題意：2eq\r(r2－\f(1,2))＝eq\r(14)，解得r＝2，因?yàn)橹本€l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0過定點(diǎn)P，故P(1,1)；設(shè)MN的中點(diǎn)為Q(x，y)，則|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2，化簡(jiǎn)可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(3,2)，所以點(diǎn)Q的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))為圓心，eq\f(\r(6),2)為半徑的圓，所以|PQ|的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),2)，\f(\r(6)＋\r(2),2)))，|MN|的取值范圍為[eq\r(6)－eq\r(2)，eq\r(6)＋eq\r(2)]．故選D.4．(2021·全國(guó)甲卷)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0)，且⊙M與l相切．(1)求C，⊙M的方程．(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與解：(1)因?yàn)橹本€x＝1與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，所以P(1,1)，Q(1，－1)，所以拋物線C的方程為y2＝x.又⊙M與l相切，則⊙M的半徑r＝1，即⊙M的方程為(x－2)2＋y2＝1.(2)設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，則yeq\o\al(2,1)＝x1，yeq\o\al(2,2)＝x2，yeq\o\al(2,3)＝x3.由點(diǎn)A1，A2，A3的坐標(biāo)及上式可知，直線A1A2：(y1＋y2)(y－y1)＝x－x1即x－(y1＋y2)y＋(y1＋y2)y1－x1＝0.直線A1A3：(y1＋y3)(y－y1)＝x－x1即x－(y1＋y3)y＋(y1＋y3)y1－x1＝0.因?yàn)椤袽與直線A1A2所以eq\f(|2＋y1＋y2y1－x1|,\r(1＋y1＋y22))＝1，即eq\f(|2＋y