專題32幾何變換之旋轉模型【理論基礎】1.旋轉的概念：將一個圖形繞一個定點轉動一定的角度，這樣的圖形運動稱為圖形的旋轉，定點稱為旋轉中心，旋轉的角度稱為旋轉角.2.旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方形和旋轉角度.3.旋轉的性質(1)對應點到旋轉中心的距離相等；(2)兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角度相等.注：圖形在繞著某一個點進行旋轉的時候，既可以順時針旋轉，也可以逆時針旋轉.4.旋轉作圖：在畫旋轉圖形時，首先要確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵點沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形.具體步驟如下：(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；(2)把連線按要求(順/逆時針)繞旋轉中心旋轉一定的角度(旋轉角)；(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；(4)連接所得到的對應點.5.旋轉中的全等變換.(1)等腰直角三角形中的半角模型(2)正方形中的半角模型6.自旋轉模型：有一組相鄰的線段相等，可以通過構造旋轉全等.(1)60o自旋轉模型(2)90o自旋轉模型(3)等腰旋轉模型(4)中點旋轉模型(倍長中線模型)7.共旋轉模型(1)等邊三角形共頂點旋轉模型(2)正方形共頂點旋轉模型8.旋轉相似【例1】如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜邊BC上兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF．下列結論：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中結論正確的序號為（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據旋轉的性質可得，∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，從而證明△FAE≌△DAE，∠FBE＝90°，進而可得EF＝DE，然后在Rt△BFE中，利用勾股定理，進行計算即可判斷①②④正確．【解析】解：由旋轉得：∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，∵∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠FAD﹣∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴EF＝DE，∠AFE＝∠ADE，∵∠ADC+∠ADE＝180°，∴∠ADC+∠AFE＝180°，∴上列結論，一定正確的是：①②④，故選：C．【例2】如圖，點E為正方形ABCD外一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到△ADF，DF的延長線交BE于H點，若BH＝7，BC＝13，則DH＝_____．【答案】17【分析】根據旋轉的性質得出有關相等的角、相等的邊，從而證明四邊形AEHF為正方形，再根據勾股定理求出EH的長，就可得到DH．【解析】解：∵將Rt△ABE繞A點逆時針方向旋轉90°得到△ADF，∠AEB＝90°，∴AF＝AE，BE=DF，∠DFA＝∠E＝∠AFH＝90°，∠EAF＝90°，∴四邊形AEHF為正方形，∴AF＝EH，設EH＝x，BH＝7，BE＝7+x，AF＝EF＝x，在正方形ABCD中，AD＝BC＝13，在Rt△AFD中，根據勾股定理，得，解得＝﹣12（舍去），＝5，∴DH＝17．故答案為：17．【例3】如圖，由繞點A按逆時針方向旋轉90°得到，且點B的對應點D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點P．(1)求∠BDE的度數；(2)F是EC延長線上的點，且．①判斷和的數量關系，并證明；②求證：．【答案】(1)(2)①，理由見詳解；②證明見詳解【分析】（1）由旋轉的性質得出，，，得出，可求出的度數；（2）①由旋轉的性質得出，，證得，由三角形外角的性質可得出結論；②過點作交于點，得出，，證明，由全等三角形的性質得出，則可得出結論．【解析】（1）解：由繞點按逆時針方向旋轉得到，，，，在中，，，．（2）①．證明：由旋轉的性質可知，，，在中，，∵，∴，，∵，∴．②證明：過點作交于點，，，，，，又，，，又，，（ASA），，，又，．一、單選題1．如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，則四邊形APBQ的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接PQ．由題意△PQA是等邊三角形，利用勾股定理的逆定理證明∠PQB＝90°即可解決問題．【解析】解：如圖，連接PQ．∵△ACP繞點A順時針旋轉60°得到△ABQ，∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等邊三角形，∴PQ＝PA＝2，∵PB＝4，∴，∴∠PQB＝90°，∴，故選：B．2．如圖，在中，，若M是邊上任意一點，將繞點A逆時針旋轉得到，點M的對應點為點N，連接，則下列結論不一定成立的是（

）A． B．C．平分 D．【答案】D【分析】根據旋轉的性質，對每個選項逐一判斷即可．【解析】解：∵將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，∴AB=AC，∠ACN=∠B，AM=AN，故選項A不符合題意；∴，故選項B不符合題意；∵，∴∠B=∠ACB，∵∠ACN=∠B，∴∠ACN=∠ACB，∴平分，故選項C不符合題意；∵CN與CM不一定相等，∴不一成立，故故選項D符合題意；故選：D．3．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC中點A的坐標是(3，4)，把△ABC繞原點O逆時針旋轉得到，則點A′的坐標為（

）A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)【答案】B【分析】連接，，過點A作AE⊥x軸于E，過點作軸于，根據旋轉的性質可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角邊”證明△AOE和全等，根據全等三角形對應邊相等可得，然后寫出點的坐標即可．【解析】解：如圖，連接，，過點A作AE⊥x軸于E，過點作軸于，則，∵點A的坐標是(3，4)，∴．∵OA繞坐標原點O逆時針旋轉至，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴點的坐標為（?4，3）．故選：B4．如圖，是邊長為1的等邊的中心，將AB、BC、CA分別繞點A、點B、點C順時針旋轉，得到、、，連接、、、、．當的周長取得最大值時，此時旋轉角的度數為（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】連接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，則有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等邊三角形，當O、C、共線時，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時，O最長，此時＝?（+1）＝1+，α＝150°．【解析】解：如圖，連接OA、OB、OC、．∵O是等邊三角形△ABC是中心，∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，∵∠BA＝∠AC＝α，∴∠OA＝∠OC，在△OA和△OC中，，∴△OA≌△OC（SAS），∴∠AO＝∠CO，O＝O，∴∠O＝∠AOC＝120°，同理可證∠O＝∠O＝120°，O＝O，則有△O≌△O≌△O，∴＝＝，∴△是等邊三角形，在△O中，∵∠O＝120°，O＝O，∴當O最長時，最長，∵O≤OC+C，∴當O、C、共線時，O＝OC+C＝OC+CA＝+1時，O最長，此時＝?（+1）＝1+，α＝150°，∴△的周長的最大值為3+3．故選：D5．如圖，正方形ABCD的邊長為4，，點E是直線CM上一個動點，連接BE，線段BE繞點B順時針旋轉45°得到BF，連接DF，則線段DF長度的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BD，在BD上截取BG＝BC，連接FG，過點D作于點H．利用正方形的性質、勾股定理得出，利用旋轉的性質得出，，再證明，得出，可知點F在直線GF上運動，點F與點H重合時，DF的值最小，進而求出DH的值即可．【解析】解：如圖，連接BD，在BD上截取BG＝BC，連接FG，過點D作于點H．∵四邊形ABCD是正方形，邊長為4，∴，，，∴，，∴，∵線段BE繞點B順時針旋轉45°得到BF，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴點F在直線GF上運動，點F與點H重合時，DF的值最小，∵，，∴，∴DF的最小值為．故選B．6．如圖，在中，，，，，O為AC的中點，M為BC邊上一動點，將繞點A逆時針旋轉角得到，點M的對應點為，連接，在旋轉過程中，線段的長度的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】如圖：由題意知當旋轉到點在AC的延長線上且AC與垂直時，的長度最小；旋轉的性質可得，再根據直角三角形的性質可求得，由中點的定義可求得OA,最后計算即可．【解析】解：由題意知當旋轉到點在AC的延長線上且AC與垂直時，的長度最小；∵將繞點A逆時針旋轉角∴∵AC⊥，∴∵O為AC的中點∴AO==3.5∴．故選B．7．如圖，矩形ABCD中，，BC＝3，P為矩形內一點，連接PA，PB，PC，則PA＋PB＋PC的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將△BPC繞點C逆時針旋轉60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．【解析】解：將△BPC繞點C逆時針旋轉60°，得到△EFC，連接PF、AE、AC，則AE的長即為所求．由旋轉的性質可知：△PFC是等邊三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴當A、P、F、E共線時，PA+PB+PC的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故選：D．8．如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角△OAB位置如圖，∠OBA=90°，點B的坐標為（1，0），每一次將△OAB繞點O逆時針旋轉90°，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉得到△OA1B1，第二次旋轉得到△OA2B2，…，以此類推，則點A2022的坐標是（

）A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)【答案】D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根據等腰直角三角形的性質，可得點A(1，1)逆時針旋轉90°后可得，同理，依次類推可求得，，，這些點所位于的象限為每4次一循環，根據規律即可求出A2022的坐標．【解析】∵是等腰直角三角形，點B的坐標為（1，0），∴，∴A點坐標為(1，1)．將繞原點逆時針旋轉得到等腰直角三角形，且，再將繞原點順時針旋轉得到等腰直角三角形，且，依此規律，∴點A旋轉后的點所位于的象限為每4次一循環，即，，，．∵，∴點與同在一個象限內．∵，，，∴點．故選：D．二、填空題9．如圖，在正方形ABCD中，點M是AB上一動點，點E是CM的中點，AE繞點E順時針旋轉90°得到EF，連接DE，DF．給出結論：①DE=EF；②∠CDF=45°；③若正方形的邊長為2，則點M在射線AB上運動時，CF有最小值．其中結論正確的是____．【答案】①②③【分析】延長交的延長線于點，由“”可證，可得，由直角三角形的性質可得，可判斷①；由四邊形內角和定理可求，可得，可判斷②；連接，過點作于，由，知點在上運動，即得當時，有最小值為的長度，而，即有最小值為，可判斷③正確．【解析】解：如圖，延長交的延長線于點，點是的中點，，，，，，，又，，繞點順時針旋轉得到，，，，故①正確；，，，，，，，故②正確；如圖，連接，過點作于，，點在上運動，當時，有最小值為的長度，，，，即有最小值為，故③正確，故答案為：①②③．10．如圖，四邊形ABCD，AB＝3，AC＝2，把△ABD繞點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，此時發現點A、C、E恰好在一條直線上，則AD的長為__________.【答案】5【分析】根據旋轉的性質得∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°，則可判斷△ADE為等邊三角形，再利用點A、C、E在一條直線上得到AE=AC+CE，接著根據△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD得到CE=AB，所以AE=AC+AB=5．【解析】解：∵點A、C、E在一條直線上，而△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E，∴△ADE為等邊三角形，∵點A、C、E在一條直線上，∴AE=AC+CE，∵△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5，∴AD=AE=5．故答案為：511．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，把△ABC繞點C旋轉，使點B落在射線BA上的點E處（點E不與點A，B重合），此時點A落在點F，聯結FA，若△AEF是直角三角形，且AF＝4，則BC＝_____．【答案】或【分析】分兩種情況討論，由勾股定理可求AE的長，通過證明△AHC∽△CHB，可求CH的長，由勾股定理可求解．【解析】解：如圖，當點E在線段AB上時，過點C作CH⊥AB于H，由旋轉可知：BC=CE，AB=EF=5，∵∠EAF=90°，∴

∴BE=2，∵BC=CE，CH⊥AB，∴EH=BH=1，∴AH=4，∵∴∠B+∠BAC=90°=∠B+∠BCH，∴∠BCH=∠BAC，又∵∠AHC=∠BHC=90°，∴△AHC∽△CHB，∴，∴

∴CH=2（負值舍去）∴；當點E在線段BA的延長線上時，過點C作CH⊥AB于H，同理可求，∴，綜上所述：或．故答案為：或．12．如圖，在四邊形中，，，且，連接，若，，則的長為______．【答案】【分析】將△ADB以D為旋轉中心，逆時針旋轉60°，使A與C點重合，B與E點重合，連接BE，可得到△DBE為等邊三角形，從而得到DB=BE，再由，，可得∠ECB=90°，然后可得，即可求解．【解析】解：如圖，將△ADB以D為旋轉中心，逆時針旋轉60°，使A與C點重合，B與E點重合，連接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE為等邊三角形，∴DB=BE，∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=90°，∴△ECB為直角三角形，∴，∴，∴，故答案為：13．已知，⊙O的直徑BC＝2，點A為⊙O上一動點，AD、BD分別平分△ABC的外角，AD與⊙O交于點E．若將AO繞O點逆時針旋轉270°，則點D所經歷的路徑長為_____．（提示：在半徑為R的圓中，n°圓心角所對弧長為）【答案】【分析】如圖，設∠ACB＝α，由BC是⊙O的直徑，可得：∠BAC＝90°，根據角平分線定義可得：∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，進而可得出：∠EDB＝∠EBD＝90°﹣α，得出：EB＝ED，再由等弧所對的圓周角相等，可得：∠ECB＝∠EAB＝45°，進而推出EB＝EC＝ED，可得點D在半徑為2的⊙E上逆時針旋轉135°，再利用弧長公式即可得出答案．【解析】解：如圖，連接CE，設∠ACB＝α，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∴∠DEB＝α，∠ABC＝90°-α，∵AD、BD分別平分△ABC的外角，∴∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，∴∠EDB＝180°-∠DAB-∠ABD＝180°-45°-（45°+α）＝90°-α，∴∠EBD＝180°-∠DEB-∠EDB＝180°-α-（90°-α）＝90°-α，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，∵，∴∠ECB＝∠EAB＝45°，∵∠CEB＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED，∴點D在半徑為2的⊙E上逆時針旋轉135°，∴點D所經歷的路徑長為：＝，故答案為：．14．如圖，在正方形中，，分別是，的中點，是線段上的一點，的延長線交于點，連接，，將繞點順時針旋轉得，則下列結論：，；垂直平分；若，點在邊上運動，則，兩點之間距離的最小值是．其中結論正確的序號有______．【答案】【分析】延長交于點，連接，，，由已知可得為，的垂直平分線，由垂直平分線的性質和圖形旋轉的性質可得的結論正確；利用三角形的內角和定理和等腰三角形的性質計算可得，由四邊形內角和定理通過計算可得；利用平行線的性質可得，則，可說明的結論正確；通過證明點，，，在以點為圓心，為半徑的同一個圓上，利用圓周角定理可得，得到，，三點共線，得到為等腰直角三角形，則的結論正確；由題意點在對角線上運動，當時，的值最小，連接，解直角三角形的知識可得的結論不正確．【解析】解：延長交于點，連接，，，如圖，正方形中，，分別是，的中點，是線段，的垂直平分線．，．是繞點順時針旋轉得到，≌，．．的結論正確；，．，．．，．，．≌，．，．，．，．即．，．．．的結論正確；，，，，，．．．，．點，，，在以點為圓心，為半徑的同一個圓上．．點在對角線上，．，為等腰直角三角形．平分，垂直平分．的結論正確；由以上可知：點在正方形的對角線上運動，當時，的值最小．此時點與點重合，．的結論不正確．綜上，結論正確的序號有：，故答案為：．15．已知⊙O的半徑為4，A為圓內一定點，AO＝2．M為圓上一動點，以AM為邊作等腰△AMN，AM＝MN，∠AMN＝108°，ON的最大值為_____________．【答案】【分析】將線段OA繞點O順時針旋轉108°得到線段OT，連接AT，NT，OM．延長AO到K，使得AK＝AT，根據旋轉的性質有AO＝OT＝2，先證明△KOT∽△KTA，再證明△AOT∽△AMN，接著證明△OAM∽△TAN，利用相似三角形的性質求出NT，再根據三角形的三邊關系解決問題即可．【解析】如圖，將線段OA繞點O順時針旋轉108°得到線段OT，連接AT，NT，OM．延長AO到K，使得AK＝AT，即OM=4，根據旋轉的性質有AO＝OT＝2，∠AOT＝108°，∴∠OAT＝∠OTA＝(180°-∠AOT)＝36°，∴∠KOT＝∠OAT＋∠ATO＝72°，∵AK=AT，∴∠K＝∠ATK＝(180°?∠KAT)＝72°，∴∠K＝∠KOT，∴KT＝OT＝2，∵∠KOT＝∠KTA＝72°，∠K＝∠K，∴△KOT∽△KTA，∴，即，即，∴，（負值舍去），∴AT＝AK＝AO＋OK＝2＋＝，∵△AOT，△AMN都是頂角為108°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠MAN＝36°，∠AOT＝∠AMN＝108°，∴△AOT∽△AMN，∴，∵∠OAT＋∠TAM＝∠OAM，∠MAN＋∠TAM＝∠TAN，∴∠OAM＝∠TAN，∴結合，可得△OAM∽△TAN，∴，即，∴，∵ON≤OT＋NT，∴，∴ON的最大值為，故答案為：．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，將矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A′B′CD′，B′C與AD交于點E，AD的延長線與A′D′交于點F．當矩形A'B'CD'的頂點A'落在CD的延長線上時，則EF＝_____．【答案】【分析】根據矩形的性質得，根據勾股定理得，再證明得，證明得，分別計算DF和DE的長即可得解．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，矩形ABCD繞點C按順時針方向旋轉α角，得到矩形A′B′CD′，∴，，，在中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴DF，同理可得，∴，∴，∴ED，∴EF＝ED+DF，故答案為：．三、解答題17．如圖，在平面直角坐標系中△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為（2，2），請解答下列問題：(1)畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；(2)畫出和△A1B1C1關于原點O成中心對稱的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標；(3)在（1）的條件下，求BC在旋轉過程中掃過的面積．【答案】(1)，圖見解析；(2)，圖見解析；(3)．【分析】（1）根據旋轉的性質作圖，由圖可得答案．（2）根據中心對稱的性質作圖，由圖可得答案．（3）利用勾股定理求出BC的長，再結合扇形的面積公式求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，由圖可知：．（2）解：如圖所示，由圖可知：．（3）解：∵BC，∴BC掃過的面積為．18．如圖，在△ABC中，點E在BC邊上，AE＝AB，將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，連接EF，EF與AC交于點G．(1)求證：EF＝BC；(2)若，，求∠FGC的度數．【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）由旋轉的性質可得AC＝AF，利用SAS證明，根據全等三角形的對應邊相等即可得出EF＝BC；（2）根據等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°，那么∠FAG＝54°．由△ABC≌△AEF，得出∠AFE＝∠ACB＝25°，再根據三角形外角的性質即可求出∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝79°．【解析】（1）證明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵將線段AC繞A點旋轉到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC與△AEF中，，∴（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，，∴∠AEB＝∠ABC，∴，∴．∵，∴，∴．19．如圖，正方形ABCD中，，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交BC、DC（或它們的延長線）于點M、N．(1)如圖1，求證：；(2)當，時，求的面積；(3)當繞點A旋轉到如圖2位置時，線段BM、DN和MN之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想并證明．【答案】(1)見解析(2)6(3)，證明見解析【分析】（1）將繞點逆時針旋轉得到，證明，即可得證；（2）利用全等得出，用正方形的面積減去即可求出的面積；（3）將繞點逆時針旋轉得到，證明，即可得證．【解析】（1）解：如圖，將繞點逆時針旋轉得到，則：，∴∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴；（2）解：∵四邊形為正方形，∴，，∵∴，∴，∵∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖，將繞點逆時針旋轉得到，連接，則：，，∴∵，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴，∴．20．閱讀下面材料：小巖遇到這樣一個問題：如圖1，在正三角形ABC內有一點P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度數；小巖是這樣思考的：如圖2，利用旋轉和全等的知識構造，連接，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．(1)請你回答：圖1中∠APB的度數等于____；（直接寫答案）參考小巖同學思考問題的方法，解決下列問題：(2)如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且，，．求∠APB的度數；(3)如圖4，在正六邊形ABCDEF內有一點P，若∠APB＝，直接寫出PA，PB和PF的數量關系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把△APB繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質可得證出是等邊三角形，由等邊三角形的性質求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即為∠APB的度數；（2）把△APB繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質可得，證出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質求出，，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即為∠APB的度數；（3）把△APB繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質，，可得，過點A作于M，設與AF相交于N，證明再利用勾股定理可得答案．【解析】（1）解：如圖2，把△APB繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質，∴是等邊三角形，∴∵∴

∴故；故答案為：．（2）如圖3，把△APB繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質，∴是等腰直角三角形，∴∵∴，∴，故．（3）如圖4，∵正六邊形的內角為，∴把△APB繞點A逆時針旋轉得到，由旋轉的性質，，∴，過點A作于M，設與AF相交于N，設則∴∴由旋轉的性質可得：

∴∴∴21．在中，，，點是延長線上一點（），連接，將線段繞點順時針旋轉60°，得到線段，連接．(1)依題意，補全圖形；(2)若，求的長．(3)延長交于，用等式表示線段之間的數量關系，并證明．【答案】(1)答案見解析(2)2(3)，理由見解析【分析】（1）按照題意進行畫圖即可；（2）根據已知條件得到，，然后得到≌，從而求出；（3）作關于所在直線的對稱圖形,并作點關于所在直線的對稱點為點,連接,,由題意可證得、是等邊三角形，利用等邊三角形的性質以及等量代換可證得≌、≌，最后得到．【解析】（1）解：如圖所示，（2）解：如圖所示，在中,∵,∴,∵,∴,∵,∴,在和中,,∴≌,則．（3）解：，理由如下，如圖所示，作關于所在直線的對稱圖形,并作點關于所在直線的對稱點為點,連接,,∵,∴是等邊三角形,,，∵，，∴是等邊三角形，，∵，∴,在和中，,∴≌，∴,,∵,∴,在和中，,∴≌，∴,∵,∴．22．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°至的位置．(1)如圖1，連接與AB交于點M，則_____，_____；(2)如圖2，連接，延長交于點D，求CD的長．【答案】(1)2，；(2)【分析】（1）由旋轉的性質易得出，，即證明為等邊三角形，從而得出；連接，延長交于點E．由等腰直角三角形的性質和勾股定理可求出．又易證為等邊三角形，即得出，．由“SSS”可證，得出，即得出，，．最后根據，即可求出，最后由即可求解；（2）過點B作于點F．由等邊三角形的性質可知．又易證，即得出為等腰直角三角形，從而得出．再根據含30度角的直角三角形的性質結合勾股定理可求出，，最后由求解即可．【解析】（1）解：由旋轉的性質可知，，∴為