抽樣推斷知識(shí)教學(xué)目的：通過(guò)本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握抽樣推斷的基本原理和方法，理解抽樣分布的理論和樣本容量的確定方法。教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)介紹抽樣誤差的概念、抽樣平均誤差的計(jì)算方法、參數(shù)估計(jì)的基本方法、必要樣本容量的確定和抽樣組織形式等。教學(xué)學(xué)時(shí)：本章將用12個(gè)學(xué)時(shí)介紹。第一節(jié)抽樣推斷的一般問(wèn)題一、抽樣推斷的概念和應(yīng)用場(chǎng)合

1、抽樣推斷的概念和特點(diǎn)抽樣推斷是指根據(jù)隨機(jī)原則，從總體中抽取一部分單位進(jìn)行觀察，并依據(jù)所獲得數(shù)據(jù)的處理結(jié)果，對(duì)總體的數(shù)量特征做出具有一定可靠程度的估計(jì)和判斷，從而達(dá)到對(duì)總體的分布狀況及其數(shù)量特征認(rèn)識(shí)的目的。抽樣推斷的特點(diǎn)：（1）遵循隨機(jī)原則；（2）由部分推斷總體的一種研究方法；（3）抽樣推斷的誤差可以事先計(jì)算并加以控制。

2、抽樣推斷的應(yīng)用場(chǎng)合（1）用于無(wú)法采用或不必采用全面調(diào)查的現(xiàn)象；（2）對(duì)全面調(diào)查的結(jié)果進(jìn)行復(fù)核；（3）生產(chǎn)過(guò)程的質(zhì)量控制；（4）對(duì)總體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。二、抽樣推斷中的幾個(gè)基本概念1、全及總體和樣本總體（1）全及總體全及總體又稱(chēng)母體，簡(jiǎn)稱(chēng)總體，它是指所要認(rèn)識(shí)的，具有某種共同性質(zhì)的許多單位的集合體。總體單位數(shù)用N表示。（2）樣本總體樣本總體又稱(chēng)子樣，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本，是從全及總體中隨機(jī)抽取出來(lái)，代表全及總體的那部分單位的集合體。樣本總體的單位數(shù)稱(chēng)為樣本容量，通常用小寫(xiě)英文字母n來(lái)表示。通常將樣本單位數(shù)不少于30個(gè)的樣本稱(chēng)為大樣本，不及30個(gè)的稱(chēng)為小樣本。社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)的抽樣調(diào)查多屬于大樣本調(diào)查。對(duì)于一次抽樣調(diào)查，全及總體是唯一確定的，而樣本總體則不是這樣，樣本是不確定的，一個(gè)全及總體可能抽出很多個(gè)樣本總體，樣本的個(gè)數(shù)和樣本的容量有關(guān)，也和抽樣的方法有關(guān)。2、總體參數(shù)和樣本統(tǒng)計(jì)量（1）總體參數(shù)總體參數(shù)又稱(chēng)為全及指標(biāo)，根據(jù)全及總體各個(gè)單位的標(biāo)志值或標(biāo)志屬性計(jì)算的，反映總體某種屬性或特征的綜合指標(biāo)。常用的全及指標(biāo)有總體平均數(shù)（或總體成數(shù)）、總體標(biāo)準(zhǔn)差（或總體方差）。總體平均數(shù)：總體方差：總體標(biāo)準(zhǔn)差：設(shè)總體中具有某一標(biāo)志的單位數(shù)為則總體成數(shù)為：總體成數(shù)的方差為：

2、樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量又稱(chēng)樣本指標(biāo)，由樣本總體各單位標(biāo)志值計(jì)算出來(lái)反映樣本特征，用來(lái)估計(jì)全及指標(biāo)的綜合指標(biāo)（抽樣指標(biāo)）。統(tǒng)計(jì)量是樣本變量的函數(shù)，用來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，因此與總體參數(shù)相對(duì)應(yīng)，統(tǒng)計(jì)量有樣本平均數(shù)（或抽樣成數(shù)）、樣本標(biāo)準(zhǔn)差（或樣本方差）。樣本平均數(shù)：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本成數(shù)：樣本成數(shù)的方差：對(duì)于一個(gè)問(wèn)題全及總體是唯一確定的，所以全及指標(biāo)也是唯一確定的，全及指標(biāo)也稱(chēng)為參數(shù)，它是待估計(jì)的數(shù)。而統(tǒng)計(jì)量則是隨機(jī)變量，它的取值隨樣本的不同而發(fā)生變化。3、抽樣方法和樣本的可能數(shù)目1、抽樣方法（1）根據(jù)取樣方式不同，可分為重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣重復(fù)抽樣是從N個(gè)總體單位中抽取一個(gè)單位進(jìn)行觀察、紀(jì)錄后，再放回總體中，然后再抽取下一個(gè)單位，這樣連續(xù)抽取n個(gè)單位組成樣本的方法。不重復(fù)抽樣是從N個(gè)總體單位中抽取一個(gè)單位進(jìn)行觀察、紀(jì)錄后，不放回總體中，在余下的總體中抽取下一個(gè)單位，這樣連續(xù)抽取n個(gè)單位組成樣本的方法。（2）根據(jù)對(duì)樣本的要求不同，分考慮順序的抽樣和不考慮順序的抽樣考慮順序的抽樣，是從總體N個(gè)單位中抽取n個(gè)單位構(gòu)成樣本，不但要考慮各單位的不同性質(zhì)，而且還要考慮不同性質(zhì)各單位的中選順序。相同構(gòu)成成分的單位，由于順序不同，也作為不同的樣本。不考慮順序的抽樣，是從總體N個(gè)單位中抽取n個(gè)單位構(gòu)成樣本，只考慮樣本各單位的組成成分如何，而不問(wèn)各單位的抽選順序。如果樣本的成分相同，不論順序有多大不同，也作為一種樣本。2、樣本的可能數(shù)目（1）考慮順序的不重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為：（2）考慮順序的重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為：（3）不考慮順序的不重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為：（4）不考慮順序的重復(fù)抽樣，樣本的可能數(shù)目為：三、抽樣誤差

1、統(tǒng)計(jì)誤差的種類(lèi)統(tǒng)計(jì)誤差是指統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)與客觀實(shí)際數(shù)量之間的差距。有兩種情況：（1）登記性誤差。指在調(diào)查、整理過(guò)程中，由于各種主客觀原因引起的誤差。（2）代表性誤差。指由于樣本單位的結(jié)構(gòu)情況不足以代表總體所產(chǎn)生的誤差。又分兩種：①系統(tǒng)性誤差。由于違反了抽樣調(diào)查的隨機(jī)原則而產(chǎn)生的誤差。②隨機(jī)性誤差。由于遵守抽樣的隨機(jī)原則，但可能抽到不同的樣本而產(chǎn)生的誤差。又分兩種：實(shí)際誤差：某一樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的差異；平均誤差：所有可能出現(xiàn)的樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的平均離差。2、抽樣平均誤差（1）抽樣平均誤差的概念指由于抽樣隨機(jī)性所產(chǎn)生的所有可能出現(xiàn)的樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)的平均離差。反映了抽樣誤差的一般水平，其實(shí)質(zhì)含義是抽樣平均數(shù)（或成數(shù)）的標(biāo)準(zhǔn)差。即它反映了抽樣指標(biāo)與總體指標(biāo)的平均離差程度。（2）抽樣平均誤差的計(jì)算①樣本平均數(shù)的抽樣平均誤差重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：或②樣本成數(shù)的抽樣平均誤差重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：或（3）影響抽樣誤差的因素①樣本單位數(shù)；②總體各單位標(biāo)志值的差異程度；③抽樣方法；④抽樣調(diào)查組織形式。

第二節(jié)參數(shù)估計(jì)一、抽樣估計(jì)的理論基礎(chǔ)1、正態(tài)分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為：

其中為常數(shù)，則稱(chēng)X服從參數(shù)為的正態(tài)分布。記為。根據(jù)密度函數(shù)可以求出服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)：根據(jù)密度函數(shù)可以求出服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的分布函數(shù)：同時(shí)X在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的概率為：正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線象一個(gè)鐘形，且是對(duì)稱(chēng)的。對(duì)正態(tài)分布的密度函數(shù)作進(jìn)一步的分析可以發(fā)現(xiàn)正態(tài)分布的如下特征：①服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，取值區(qū)域是整個(gè)x軸，曲線無(wú)論向左或向右延伸均以x軸為漸近線；②密度曲線在x軸的上方，它和x軸所圍成的面積為1；③在處，曲線達(dá)到最大值。④曲線以為對(duì)稱(chēng)軸，在距離對(duì)稱(chēng)軸兩邊相同距離處，各有一個(gè)拐點(diǎn)。參數(shù)稱(chēng)為均值，稱(chēng)為方差。稱(chēng)=0，=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，，一般習(xí)慣用表示它的概率密度，表示它的概率分布函數(shù)，其公式為：標(biāo)準(zhǔn)化：若，則可以將其標(biāo)準(zhǔn)化。即

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2、Chebyshev大數(shù)定律的數(shù)學(xué)期望和方差：設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立，且具有相同或則對(duì)于任意小數(shù)有：3、中心極限定律（CentralLimitTheorem）給出一個(gè)任意形式的總體，其平均值μ和方差為有限值，在對(duì)總體進(jìn)行抽樣時(shí)，隨著樣本容量n的增大，由這些樣本算出的平均數(shù)的抽樣分布將近似服從平均值μ和方差為的正態(tài)分布。或者說(shuō)，若統(tǒng)計(jì)量，則Z近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

二、參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)就是用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)。可分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩類(lèi)。

1、點(diǎn)估計(jì)方法點(diǎn)估計(jì)就是將樣本指標(biāo)直接作為未知的總體指標(biāo)的估計(jì)值。假設(shè)在總體中，為未知參數(shù)（均值、方差、成數(shù)等）。由樣本構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，估計(jì)未知參數(shù)。稱(chēng)為的點(diǎn)估計(jì)量。點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則：（1）無(wú)偏性如果樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值等于總體的期望值，則稱(chēng)這個(gè)估計(jì)量為無(wú)偏估計(jì)。設(shè)總體的參數(shù)為，其估計(jì)量為，如，即估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)，我們稱(chēng)估計(jì)量是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量。（2）一致性隨著樣本容量增大，估計(jì)量會(huì)越來(lái)越接近被估計(jì)的參數(shù)。即對(duì)任意的，有則稱(chēng)是參數(shù)的一致估計(jì)量。(3)有效性是指估計(jì)量的離散程度。如果有兩個(gè)估計(jì)量都是無(wú)偏的，其中方差較小的（對(duì)給定樣本容量而言）就可以認(rèn)為相對(duì)來(lái)說(shuō)更有效。有效性可用下述比率決定：其中是較小的方差。

2、區(qū)間估計(jì)設(shè)是從總體X中抽出的樣本，是總體的未知參數(shù)。根據(jù)樣本構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量和，且，如果對(duì)給定的常數(shù)

，有：

則稱(chēng)區(qū)間（）為的置信水平為的置信區(qū)間，稱(chēng)為估計(jì)的顯著性水平。分別為上下置信限。

評(píng)價(jià)區(qū)間估計(jì)的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

(1)估計(jì)的可靠度置信度反映了區(qū)間估計(jì)的可信度。置信水平=0.95，說(shuō)明估計(jì)區(qū)間（）以95%的概率包含總體的參數(shù)。或者說(shuō)，100個(gè)這樣的估計(jì)區(qū)間中，平均有95個(gè)包含了總體參數(shù)；(2)估計(jì)的精確度區(qū)間的長(zhǎng)度反映了區(qū)間估計(jì)的精確度。當(dāng)區(qū)間的長(zhǎng)度愈大，估計(jì)區(qū)間包含真值的可能性也就愈大，但是估計(jì)也愈不精確。可靠度和精確度是相互矛盾的。

步驟：首先，構(gòu)造一個(gè)與待估計(jì)參數(shù)有關(guān)的統(tǒng)計(jì)量T；其次，找出統(tǒng)計(jì)量的分布，在一定的置信水平下，給出臨界值；最后，計(jì)算總體參數(shù)的置信區(qū)間。

3、總體平均數(shù)的區(qū)間估計(jì)根據(jù)估計(jì)條件的不同，估計(jì)的公式也不一樣，也就是說(shuō)，要根據(jù)是否知道總體的分布、是否知道總體的方差、是大樣本還是小樣本，是重復(fù)抽樣還是不重復(fù)抽樣來(lái)確定。參數(shù)估計(jì)的基礎(chǔ)是抽樣分布理論。(1)樣本取自總體方差已知的正態(tài)分布如果樣本來(lái)自正態(tài)分布總體，即：則：經(jīng)變換，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即進(jìn)行總體均值的置信區(qū)間估計(jì)，就是要求得，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，就是要求得，由此可以推出，在重復(fù)抽樣的情況下，由此可以推出，故所求的100（1-α）%的置信區(qū)間為記表示以樣本指標(biāo)為中心向左、向右的最大誤差，稱(chēng)為極限誤差或允許誤差。在進(jìn)行不重復(fù)抽樣時(shí)，例某保險(xiǎn)公司欲了解某個(gè)險(xiǎn)種投保人的平均年齡，隨機(jī)抽取24人，計(jì)算出24人的平均年齡為39歲，總體標(biāo)準(zhǔn)差7.2歲。試以95%的置信度估計(jì)該險(xiǎn)種投保人的平均年齡。已知投保人的年齡,且已知，是X的一個(gè)樣本。解：由樣本得樣本均值，標(biāo)準(zhǔn)差=7.2對(duì)于給定的置信度95%，有=0.05查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表確定臨界值。所以有：

投保人的年齡以95%的可靠程度在35.894到42.106歲(2)樣本取自總體方差已知的非正態(tài)分布根據(jù)中心極限定理，對(duì)于非正態(tài)分布總體，當(dāng)樣本容量n足夠大時(shí)，無(wú)論總體服從什么分布，的抽樣分布都近似服從正態(tài)分布。因此，仍可以用或來(lái)近似求出非正態(tài)分布總體的均值μ的置信區(qū)間。(3)總體方差未知且小樣本時(shí)(正態(tài)分布)上述方法只能在總體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知的情況下才能使用。若總體服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差σ不知道，則要用樣本的方差來(lái)代替總體方差建立置信區(qū)間。這時(shí)，新的統(tǒng)計(jì)量不服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從自由度為n-1的t分布。所以構(gòu)造，它服從自由度為n-1的t分布。

因此μ的置信區(qū)間為或例

某手表廠生產(chǎn)的精益牌手表,其走時(shí)誤差為正態(tài)分布,(單位:秒/日)。檢驗(yàn)員從裝配線上隨機(jī)抽出9只進(jìn)行檢驗(yàn)，檢測(cè)的結(jié)果如下：-4.0,3.1,2.5,-2.9,0.9,1.1,2.0,-3.0,2.8取置信水平為0.95,求該品牌手表的走時(shí),誤差的均值和方差的置信區(qū)間。

解：（4）總體方差未知且大樣本時(shí)若，則可用正態(tài)分布來(lái)近似t分布，即均值μ的置信區(qū)間為或來(lái)近似求出非正態(tài)分布總體的。

4、總體成數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)從成數(shù)為P的總體X中隨機(jī)抽出容量為n的樣本，其中是樣本中具有某種統(tǒng)計(jì)特性的單位的數(shù)量，則樣本的成數(shù)為。樣本成數(shù)的抽樣分布服從平均值為p，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布。在給定的置信度下，總體成數(shù)的置信區(qū)間為：

在估計(jì)總體的成數(shù)時(shí)，總體的成數(shù)是未知的，所以在置信上下限中的P可以用樣本成數(shù)代替，當(dāng)樣本容量足夠大，誤差很小。例

為了研究我國(guó)所生產(chǎn)的絲綢產(chǎn)品在國(guó)外的銷(xiāo)路，在紐約所舉辦的絲綢展銷(xiāo)會(huì)上，對(duì)1000名成年人進(jìn)行了調(diào)查，得知600人喜歡這種產(chǎn)品。試以95%的置信度估計(jì)紐約市成年人喜歡此種產(chǎn)品的比率獲得置信區(qū)間。解：第三節(jié)抽樣組織形式一、抽樣設(shè)計(jì)的基本原則1、保證實(shí)現(xiàn)抽樣的隨機(jī)性原則。即總體的各個(gè)單位相互獨(dú)立，任何一個(gè)單位被抽中的機(jī)會(huì)都是相等的。2、保證實(shí)現(xiàn)最大的抽樣效果原則。即在一定的調(diào)查費(fèi)用條件下，選取抽樣誤差最小的方案。二、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣又稱(chēng)純隨機(jī)抽樣，是直接從總體中按隨機(jī)性原則抽容量為的樣本，每一個(gè)總體單位有相同的可能性被抽中。適用于均勻總體。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的具體方法有：直接抽選項(xiàng)法、抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法、使用計(jì)算機(jī)模擬抽取。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的抽樣誤差，前面已介紹過(guò)：重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣：樣本容量的確定1、估計(jì)總體均值時(shí)的樣本容量用Δ表示允許誤差，σ表示總體標(biāo)準(zhǔn)差，另給定，1-α和在重復(fù)抽樣的情況下：在不重復(fù)抽樣的情況下：注：確定樣本容量時(shí)，無(wú)論是總體還是樣本方差均是未知的，所以要用其它的替代。若歷史資料有若干個(gè)可供選擇的，應(yīng)該選最大的。2、估計(jì)總體成數(shù)時(shí)的樣本容量在重復(fù)抽樣的情況下：在不重復(fù)抽樣的情況下：不重復(fù)抽樣的樣本容量和重復(fù)抽樣的樣本容量的關(guān)系為：注：確定樣本容量時(shí)，無(wú)論是總體還是樣本成數(shù)均是未知的，所以要用其它的替代。若歷史資料有若干個(gè)可供選擇的，應(yīng)該選最靠近50%的。3、影響樣本容量的因素(1)總體方差影響。越大，n就越大。若=0，則只抽取一個(gè)樣本就夠了。(2)允許誤差Δ大小的影響。(3)概率保證程度大小的影響。概率保證程度1-α說(shuō)明了估計(jì)的可靠程度。所以，在其他條件不變的情況下，如果要求較高的可靠度，就要增大樣本容量；反之，可以相應(yīng)減少樣本容量。(4)抽樣方法的不同。在相同條件下，重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差比不重復(fù)抽樣的抽樣平均誤差大，所以需要的樣本容量也就不同。(5)抽樣的組織形式的影響。

例：某燈泡廠對(duì)一批燈泡的平均使用壽命和合格品率進(jìn)行檢驗(yàn)，要求置信度為95%，前幾批的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)資料有：平均使用壽命的標(biāo)準(zhǔn)差為200、250、300小時(shí)，合格品率為92%、93%、95%。要求：推斷平均壽命的抽樣誤差不超過(guò)50小時(shí)，推斷合格率的誤差不超過(guò)5%，試問(wèn)應(yīng)至少抽多少只燈泡。為了滿(mǎn)足兩者共同的需要，應(yīng)抽取139只進(jìn)行調(diào)查。

解：三、分層抽樣1、分層抽樣的意義（1）分層抽樣的概念分層抽樣又稱(chēng)類(lèi)型抽樣。首先將總體單位按某一個(gè)標(biāo)志分層；然后在各層按隨機(jī)抽樣的方法分別抽出各層的樣本。（2）分層抽樣的特點(diǎn)分層抽樣在層內(nèi)是抽樣調(diào)查，層間是全面調(diào)查，所以分層時(shí)應(yīng)該盡量讓每層內(nèi)的變異程度小，而層間的變異程度大。分層抽樣的抽樣誤差較簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣小，樣本具有很好的代表性。（3）各層樣本容量的確定①比例分配法考慮每層中的總體單位數(shù)，按比例在每層中抽出相同比例的樣本，即每層的樣本容量②奈曼最佳分配法考慮每層中總體單位的變異程度不同，在樣本容量一定的條件下，變異大的層樣本容量也大，變異小的層樣本容量也小。每層的樣本容量為是各層的標(biāo)準(zhǔn)差。

③經(jīng)濟(jì)分配法既考慮每層中總體單位的變異程度不同，又考慮每層的調(diào)查費(fèi)用。所以在樣本容量一定的條件下，標(biāo)志變異大的層樣本容量也大一些，調(diào)查費(fèi)用大的層，樣本容量相對(duì)小些。則2、抽樣平均數(shù)的計(jì)算已知：，現(xiàn)由各類(lèi)取樣，則有：設(shè)：第i組（類(lèi)）第j個(gè)樣本單位的標(biāo)志值為，則：各組樣本平均值：總樣本平均值：如果在按比例抽樣的條件下：3、抽樣平均數(shù)的抽樣誤差的計(jì)算設(shè)表示第i組的抽樣平均誤差；表示第i組的總體標(biāo)準(zhǔn)差；為第i