頁(yè)第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.會(huì)推導(dǎo)直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．常與幾何體的體積計(jì)算相結(jié)合，會(huì)應(yīng)用直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明空間的線、面垂直關(guān)系，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是eq\a\vs4\al(0).(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面與平面垂直(1)二面角的有關(guān)概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α4.謹(jǐn)記五個(gè)結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法)．(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這一條直線與另一個(gè)平面也垂直．(5)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．“直線a與平面M內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列命題中正確的是()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m3．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________________；與AP垂直的直線有________．4．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對(duì)．二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a與c的位置關(guān)系為_(kāi)_______________．2．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線n滿足n⊥l，則n與β________(填“一定”或“不一定”)垂直．考點(diǎn)一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[方法技巧]證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知S是Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn)．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.2.如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.考點(diǎn)二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例]如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一點(diǎn)，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.(1)若M是DD1的中點(diǎn)，證明：平面AMB⊥平面A1MB1；(2)設(shè)四棱錐M-ABB1A1與四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積分別為V1與V2，求eq\f(V1,V2)的值．[方法技巧]面面垂直判定的兩種方法與一個(gè)轉(zhuǎn)化兩種方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)一個(gè)轉(zhuǎn)化在已知兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求證：AA1⊥A1B；(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離．2.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.(1)求證：EF⊥AC；(2)求幾何體EF-ABCD的體積．考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題1．平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面、面面平行時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過(guò)于“模式化”．2．垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時(shí)，一定要注意判定定理成立的條件．同時(shí)抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系，即：在證明兩平面垂直時(shí)，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過(guò)作輔助線來(lái)解決．[典例]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.[方法技巧]平行與垂直的綜合問(wèn)題主要是利用平行關(guān)系、垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化去解決．注意遵循“空間”到“平面”、“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化關(guān)系．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])1．若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，m⊥β，則m∥αB．若m∥α，n⊥m，則n⊥αC．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥βD．若m∥β，m?α，α∩β＝n，則m∥n2．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個(gè)互相垂直的平面，則下列命題正確的是()A．若m?α，則m⊥βB．若m?α，n?β，則m⊥nC．若m?α，m⊥β，則m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α3．若α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝m，n?α，m⊥n，則α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，則m⊥nC．若m不垂直于平面α，則m不可能垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β4.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過(guò)C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點(diǎn)H在()A．直線AC上B．直線AB上C．直線BC上D．△ABC內(nèi)部5.一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個(gè)面均為直角三角形．如圖，在四面體P-ABC中，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個(gè)B．8個(gè)C．10個(gè)D．12個(gè)6．日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面．在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(多選)如圖，線段AB為圓O的直徑，點(diǎn)E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則()A．DF∥平面BCEB．異面直線BF與DC所成的角為30°C．△EFC為直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶48．若α，β是兩個(gè)相交平面，m為一條直線，則下列命題中，所有真命題的序號(hào)為_(kāi)_______．①若m⊥α，則在β內(nèi)一定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內(nèi)一定存在無(wú)數(shù)條直線與m垂直；③若m?α，則在β內(nèi)不一定存在與m垂直的直線；④若m?α，則在β內(nèi)一定存在與m垂直的直線．9．如圖，