PAGEPAGE318第十二章反常積分習題12.1反常積分的概念和計算∞xq圖8.1.4⒈物理學中稱電場力將單位正電荷從電場中某點移至無窮遠處所做的功為電場在該點處的電位。一個帶電量的點電荷產生的電場對距離處的單位正電荷的電場力為（為常數），求距電場中心處的電位。解。⒉證明：若和收斂，為常數，則也收斂，且。證設，，則。⒊計算下列無窮區間的反常積分（發散也是一種計算結果）：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻;⑼；⑽。解（1），所以。（2），所以。（3）。（4）當時，；當時，，此結果等于在時的結果中以代入后的結果。（5）當時積分發散；當時，。（6）當時積分發散；當時，。（7）令，則。（8）令，則。（9）利用第六章第3節習題1(10)的結果，即可得到。（10）,對等式右端任一積分（例如第二個積分）作變量代換，則，所以。⒋計算下列無界函數的反常積分（發散也是一種計算結果）：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;解（1）。（2）。（3）令，則。（4）令，則。（5）。，由于極限不存在，所以積分發散；同理積分也發散。（6）令，再利用上面習題3（9），得到。⒌求極限。解,所以。⒍計算下列反常積分：(1);(2)。(3);(4);(5)。解(1)令,再利用例8.1.11，得到。(2)令,由,得到。(3)。(4)令,得到。(5)。⒎求下列反常積分的Cauchy主值：⑴;⑵;⑶。解(1)。(2)。(3)。⒏說明一個無界函數的反常積分可以化為無窮區間的反常積分。證設是一個無界函數反常積分，是的唯一奇點（即在的左領域無界）。令，則，等式右端就是一個無窮區間的反常積分。⒐⑴以為例，敘述并證明反常積分的保序性和區間可加性；⑵舉例說明，對于反常積分不再成立乘積可積性。解（1）保序性：設與收斂，且在成立，則；證明：由定積分的保序性，可知，再令。區間可加性：設收斂，則對任意，收斂，且；證明：由定積分的區間可加性，可知，再令。（2）設，則與收斂，但不收斂。10.證明當時，只要下式兩邊的反常積分有意義，就有。證，對上式右端兩積分中任意一個（例如第二個）作變量代換，則當時，；且，，于是由，得到。11．設收斂，且。證明。證用反證法。不妨設，則對，，：，從而。由，可知，與收斂發生矛盾。同理也可證明不可能有，所以。12．設在上可導，且與都收斂，證明。證，由的收斂性,可知存在且有限,再利用第11題的結論，得到。習題12.2反常積分的收斂判別法⒈⑴證明比較判別法（定理8.2.2）；⑵舉例說明，當比較判別法的極限形式中或時，和的斂散性可以產生各種不同的的情況。解（1）定理8.2.2（比較判別法）設在上恒有，其中是正常數。則當收斂時也收斂；當發散時也發散。證當收斂時，應用反常積分的Cauchy收斂原理， ，，：。于是，所以也收斂；當發散時，應用反常積分的Cauchy收斂原理，，，：。于是，所以也發散。（2）設在上有，且。則當發散時，也發散；但當收斂時，可能收斂，也可能發散。例如，，則。顯然有收斂，而對于，則當時收斂，當時發散。設在上有，且。則當收斂時，也收斂；但當發散時，可能發散，也可能收斂。例如，，則。顯然有發散，而對于，則當時發散，當時收斂。⒉證明Cauchy判別法及其極限形式（定理8.2.3）。證定理8.2.3（Cauchy判別法）設在上恒有，是正常數。⑴若，且，則收斂；⑵若，且，則發散。推論（Cauchy判別法的極限形式）設在上恒有，且，則⑴若，且，則收斂；⑵若，且，則發散。證直接應用定理8.2.2（比較判別法）及其推論（比較判別法的極限形式），將函數取為。⒊討論下列非負函數反常積分的斂散性：⑴;⑵;⑶;⑷（）.解（1）當時，～，所以積分收斂。（2）當時，～，所以積分收斂。（3）因為當時有，而積分發散，所以積分發散。（4）當時，～，所以在時，積分收斂，在其余情況下積分發散。⒋證明：對非負函數，收斂與收斂是等價的。證顯然，由收斂可推出收斂，現證明當時可由收斂推出收斂。由于收斂，可知極限存在而且有限，由Cauchy收斂原理，，，：，于是與，成立與，這說明積分與都收斂，所以積分收斂。⒌討論下列反常積分的斂散性（包括絕對收斂、條件收斂和發散，下同）：⑴;⑵（）;⑶（）;⑷;⑸（和分別是和次多項式，在范圍無零點。）解（1）因為有界，在單調，且，由Dirichlet判別法，積分收斂；由于，而積分發散，收斂，所以積分發散，即積分條件收斂。（2）當時，，而收斂，所以當時積分絕對收斂；當時，因為有界，在單調，且，由Dirichlet判別法，積分收斂；但因為當時積分發散，所以當時積分條件收斂。（3）當時，，而收斂，所以當時積分絕對收斂；當時，因為有界，在單調，且，由Dirichlet判別法，積分收斂；但因為當時積分發散，所以當時積分條件收斂。（4）令，，由于條件收斂，可知積分條件收斂。（5）當且充分大時，有，可知當時積分絕對收斂。當時，因為有界，且當充分大時，單調且，由Dirichlet判別法可知收斂；但由于當時，～，易知發散，所以當時，積分條件收斂。當時，由，為非零常數、或，易知積分發散。⒍設在只有一個奇點，證明定理8.2.和定理8.2.。定理8.2.（Cauchy判別法）設在上恒有，若當屬于的某個左鄰域時，存在正常數，使得⑴，且，則收斂；⑵，且，則發散。證（1）當時，積分收斂，由反常積分的Cauchy收斂原理，，，：。由于，所以收斂。（2）當時，積分發散，由反常積分的Cauchy收斂原理，，，：。由于，所以發散。推論（Cauchy判別法的極限形式）設在上恒有，且，則⑴若，且，則收斂；⑵若，且，則發散。證（1）由（），可知，：，再應用定理8.2.的（1）。（2）由（），可知，：，再應用定理8.2.的（2）。定理8.2.若下列兩個條件之一滿足，則收斂：⑴（Abel判別法）收斂，在上單調有界；⑵（Dirichlet判別法）在上有界，在上單調且。證（1）設，因為收斂，由Cauchy收斂原理，，，：。由積分第二中值定理，。（2）設，于是，有。因為，，，，有。由積分第二中值定理，。所以無論哪個判別法條件滿足，由Cauchy收斂原理，都有收斂的結論。⒎討論下列非負函數反常積分的斂散性：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺.解（1）因為～，～，所以積分收斂。（2）因為，且對任意，，即當充分小時，有，所以積分收斂。（3）因為～，～，所以積分發散。（4）因為～，所以當時積分收斂，當時積分發散。（5）首先對任意的與任意的，有，即當充分小時，有；且～。所以當時，積分收斂，當時，積分發散。（6）～，～，所以在時積分收斂，在其余情況下積分發散。（7）～，且，即當充分小時，有，所以當時積分收斂，在其余情況下積分發散。⒏討論下列反常積分的斂散性：⑴();⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺;⑻.解（1）。當，時積分與積分顯然收斂，且當時，～，即不是反常積分，所以積分收斂。（2）。因為～，～，所以積分收斂；因為～，～，所以積分收斂；因為～，～，所以積分收斂。由此可知積分收斂。（3）。由～，可知當時，積分收斂，當時，積分發散；當時，，即當充分大時，有，其中，可知當時，積分收斂，當時，積分發散；綜上所述，當時，積分收斂，在其余情況下積分發散。（4）。由～,可知當時積分收斂；由～，可知當時積分收斂。所以當時積分收斂，在其余情況下積分發散。（5）。由～，可知當時積分收斂，當時積分發散；由～，可知積分收斂。所以當時積分收斂，當時積分發散。（6）。由于積分收斂，及～，所以當時積分收斂，當時積分發散。（7）。當時，顯然積分發散；當時，由于～，～，所以當，且時積分收斂，其余情況下積分發散。（8）設，則對任意的，當充分大時，有，因為，可知積分收斂。設，則對任意的，當充分大時，有，因為，可知積分發散。設，令，則，由此可知當或時積分收斂，在其余情況下積分發散。⒐討論下列反常積分的斂散性：⑴;⑵();⑶;⑷;(5)；(6)().解（1）。由～，～，可知當時積分收斂，在其余情況下積分發散。（2）當時，由，可知積分絕對收斂。當時，因為有界，當充分大時單調減少，且，由Dirichlet判別法，積分收斂；但因為積分發散，所以當時積分條件收斂。當時，由于時不趨于零，可知積分發散。（3）。由～，可知當時積分收斂，在其余情況下積分發散。當時，易知積分發散；當時，易知積分發散。當時，因為，單調減少，且，由Dirichlet判別法；可知積分收斂。綜上所述，當時，積分條件收斂，在其余情況下積分發散。（4）。由～，可知當時積分收斂，在其余情況下積分發散。當時，顯然積分收斂；當時，易知積分發散；當時，易知積分發散。當時，因為，可知有界，且單調減少，，由Dirichlet判別法，可知積分收斂。綜上所述，當時積分絕對收斂，當時積分條件收斂，在其余情況下積分發散。（5）令，則。于是可知當時積分絕對收斂；當時積分條件收斂，當時積分發散。（6）當時，因為，可知積分絕對收斂。當時，因為，而級數發散，所以積分發散；又因為，注意到當充分大時，與都是單調減少的，由Dirichlet判別法可知積分收斂，所以積分條件收斂。10．證明反常積分收斂。證對任意，由分部積分法，。顯然，當時，等式右端的三項都趨于零，由Cauchy收斂原理，可知反常積分收斂。11．設單調，且當時，證明：收斂的必要條件是。證首先由的單調性，對于充分小的，有。由Cauchy收斂原理，，于是得到。12．設收斂，且在上單調減少，證明:。證首先容易知道當時，單調減少趨于，于是有，且。然后由Cauchy收斂原理，，于是得到。13．設單調下降，且，證明：若在上連續，則反常積分收斂。證首先由分部積分法，。由于有界，單調下降，且，由Dirichlet判別法，可知積分收斂，從而積分收斂。14.設絕對收斂，且，證明收斂。證首先由，可知，，有，即當時，成立。因為積分絕對收斂，于是由比較判別法，積分收斂。15．若收斂，則稱在上平方可積（類似可定義無界函數在上平方可積的概念）。⑴對兩種反常積分分別探討平方可積與的反常積分收斂之間的關系；⑵對無窮區間的反常積分，舉例說明，平方可積與絕對收斂互不包含；⑶對無界函數的反常積分，證明：平方可積必定絕對收斂，但逆命題不成立。解（1）收斂不能保證收斂，例如：，則收斂，但發散；收斂不能保證收斂，例如：，則收斂，但發散。（2）收斂不能保證絕對收斂，例如：，則收斂，但不是絕對收斂的；絕對收斂不能保證收斂，例如：，則絕對收斂，但發散。（3）由，可知收斂保證絕對收斂；但絕對收斂不能保證收斂，例如：，則絕對收斂，但發散。16.證明反常積分當時發散，當時條件收斂，當時絕對收斂。證當時，對充分大的，有，由于積分收斂，可知積分絕對收斂。當時，利用等式。這時積分收斂；積分當時收斂，當發散。當時，由于，因為級數發散，所以積分發散。綜上所述，當時，積分條件收斂；當時，積分發散。當時，因為有，由Cauchy收斂原理，可知積分發散。習題12.3含參變量的常義積分1．求下列極限：（1）；（2）。解（1）由積分中值定理，可得（在與之間），于是=。（2）由連續性定理，。2．設當固定時，關于在上連續，且當時，它關于單調增加地趨于連續函數，證明。證若能證明關于是一致的，即，，，：，則，就有。以下用反證法證明關于是一致的。若不然，則，，，：。依次取，，：；，，，；，，，；。由此得到兩列數列。由于有界，由Bolzano-Weierstrass定理，存在收斂子列，為敘述方便，仍記這兩個子列為，其中是遞增的，。設。由，可知：，注意，取足夠大的使得，從而。又在點連續以及，當時，成立，于是。但是對固定的，當時，關于單調遞增地趨于，所以當時，成立，這與，矛盾。用交換積分順序的方法計算下列積分：（1）；（2）。解（1），，于是，所以。（2），，所以。求下列函數的導數：（1）；（2）；（3）。解（1）。（2）=。（3）設，則，所以。設，其中為可微函數，求。解，。設，其中為可微函數，求。解當時，，于是，；當時，，于是，；當時，，于是，。設函數具有二階導數，是可導的，證明函數 滿足弦振動方程， 以及初始條件。證直接計算，可得，，，，所以，且顯然成立。8．利用積分號下求導法計算下列積分：（1）；（2）；（3）。解（1）設，則，于是。令，則，所以。（2）設，則。設，由于，作變換，得到，所以，再由，得到（）。（3）設，且不妨設，。當時，。以下設。由于，記，，則，。由此解得，于是，積分后得到。由，得到，從而，或者一般地有。9．證明：第二類橢圓積分 滿足微分方程。證直接計算，有，，于是，所以。10．設函數在上具有二階連續偏導數。證明：函數 滿足偏微分方程。證由直接計算，可得，，，，，，于是。另一方面，由分部積分可得，，所以。11．設在上連續，且。研究函數的連續性。解設，由于在上連續，可知在處連續。設，則。由于在上連續，且，所以在上的最小值，當時，成立，于是，由，可知，即在處不連續。注在本題中可證明與，其中，由此也說明了在點不連續。證明如下：，取，使得當時，，則。對固定的，取，使得當時，，于是。分別令與，由，和的任意性，即可得到與。習題15.2含參變量的反常積分證明下列含參變量反常積分在指定區間上一致收斂：（1），；（2），；（3），。解（1）因為，而收斂，所以由Weierstrass判別法，在上一致收斂。（2），即關于一致有界；關于單調，且由，可知當時，關于一致趨于零。于是由Dirichlet判別法，可知在上一致收斂。（3）由分部積分法，,其中；再由及，可得到與。當時，上述三式關于在上一致趨于零，所以原積分關于在上一致收斂。2．說明下列含參變量反常積分在指定區間上非一致收斂：（1），；（2），。解（1）取，，取，，則當充分大時，，由Cauchy收斂準則，在上不一致收斂。（2）作變量代換，則。取，，取，，則當充分大時，，由Cauchy收斂準則，在上不一致收斂。3．設在上連續，反常積分當與時都收斂，證明關于在上一致收斂。證將反常積分寫成。對于，因為收斂從而關于在上一致收斂，是的單調函數，且，即在上關于一致有界，由Abel判別法，可知關于在上一致收斂。對于，因為收斂從而關于在上一致收斂，是的單調函數，且，即在上關于一致有界，由Abel判別法，可知關于在上一致收斂。所以關于在上一致收斂。討論下列含參變量反常積分的一致收斂性：（1），在；（2），在（I）；（II）；（3），在（I）；（II）；（4），在（I）；（II）；解（1），對于，由于，收斂，由Weierstrass判別法，可知關于一致收斂。對于，由于，即關于一致有界，以及單調，當時，關于一致趨于零，由Dirichlet判別法，可知關于一致收斂，所以關于一致收斂。（2）（I）當，取，使。則，，而與收斂，由Weierstrass判別法的證明，可知反常積分與在上一致收斂。所以在上一致收斂。（II）當，對于，取，，取，，則當充分大時，，由Cauchy收斂準則，在上不一致收斂。同理在上也不一致收斂。所以在上不一致收斂。（3）（I）當，，而收斂，由Weierstrass判別法，在上一致收斂。（II）當，取，由于，由Cauchy收斂準則，可知在上不一致收斂。（4）（I）當，，而收斂，由Weierstrass判別法，在上一致收斂。（II）當，取，，取，，則當充分大時，，由Cauchy收斂準則，在上不一致收斂。證明函數在上連續。證任取，，即關于一致有界；關于單調，且成立，所以當時，關于一致趨于零。由Dirichlet判別法，可知在上一致收斂，從而在上連續，由的任意性，即知在上連續。確定函數的連續范圍。解函數的定義域為。下面我們證明在上內閉一致收斂，即，在上一致收斂，從而得到在上的連續性。由于積分有兩個奇點，所以將寫成。當，時，，而收斂，由Weierstrass判別法的證明，可知反常積分在上一致收斂。當，時，，而收斂，由Weierstrass判別法的證明，可知反常積分在上一致收斂。所以在上一致收斂。設存在。證明的Laplace變換在上連續。證由于收斂即關于在上一致收斂，關于單調，且，即在上一致有界，由Abel判別法，在上一致收斂，從而在上連續。證明函數在上可微。證首先反常積分對任意收斂。其次有。任取，，，即關于一致有界；記，當，時，關于單調，且，即當時，關于一致趨于零。由Dirichlet判別法，可知在上一致收斂，所以在上可微，且有。由的任意性，即知在上可微。利用，計算（）。解當時，，而收斂，所以關于一致收斂，由積分次序交換定理，。10．利用，計算（，）。解當時，，即關于一致有界；關于單調，且當時，關于一致趨于零。由Dirichlet判別法，關于一致收斂，由積分次序交換定理，。利用分部積分，，于是。11．利用（），計算（為正整數）。解由于對一切收斂，關于在上內閉一致收斂，因此在上可微且成立，所以。同理上述積分仍可在積分號下求導，并可不斷進行下去。由與，即可得到。12．計算。解。在最后一個積分中，令，則。13．設在上連續，且，證明（）。證設，，最后一個等式利用了積分中值定理，其中在與之間，在與之間。令，，則，由在上連續，且，即得。14．（1）利用推出（）；（2）利用積分號下求導的方法引出，以此推出與（1）同樣的結果，并計算（）。解（1）令，則，于是。再令，得到。（2）利用積分號下求導，，于是，對等式兩邊積分，得到，注意到，所以。令，得到。15．利用，計算（）。解首先有。利用例15.2.8的結果，可得，于是，其中最后一個等式利用了上題的結論。習題15.3Euler積分計算下列積分：（1）； （2）；（3）