第一章直角三角形的邊角關(guān)系§1.1從梯子的傾斜程度談起課時(shí)安排2課時(shí)從容說(shuō)課直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實(shí)世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之—.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中有著重要的作用.如在測(cè)量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計(jì)算問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，這些實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問(wèn)題.本節(jié)首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第—個(gè)銳角三角函數(shù)——正切.因?yàn)橄啾戎拢惺巧町?dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫(huà)物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類(lèi)比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實(shí)情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角：三角形邊角關(guān)系的過(guò)程中，理解銳角三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說(shuō)明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.本節(jié)的重點(diǎn)就是理解tanA、sinA、cosA的數(shù)學(xué)含義.并能夠根據(jù)它們的數(shù)學(xué)意義進(jìn)行直角三角形邊角關(guān)系的計(jì)算，難點(diǎn)是從現(xiàn)實(shí)情境中理解tanA、sim4、cosA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實(shí)際的問(wèn)題情境，引出銳角三角函數(shù)的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，鼓勵(lì)他們有條理地進(jìn)行表達(dá)和思考，特別關(guān)注他們對(duì)概念的理解.第一課時(shí)課題§1.1.1從梯子的傾斜程度談起(一)教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過(guò)程.理解正切的意義和與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.(二)能力訓(xùn)練要求1.經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點(diǎn).2.體驗(yàn)數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力.3.體會(huì)解決問(wèn)題的策略的多樣性，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.(三)情感與價(jià)值觀要求1.積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2.形成實(shí)事求是的態(tài)度以及獨(dú)立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點(diǎn)1.從現(xiàn)實(shí)情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點(diǎn)理解正切的意義，并用它來(lái)表示兩邊的比.教學(xué)方法引導(dǎo)—探索法.教具準(zhǔn)備FLASH演示教學(xué)過(guò)程1.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課用FLASH課件動(dòng)畫(huà)演示本章的章頭圖，提出問(wèn)題，問(wèn)題從左到右分層次出現(xiàn)：[問(wèn)題1]在直角三角形中，知道一邊和一個(gè)銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問(wèn)題2]隨著改革開(kāi)放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國(guó)際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過(guò)多少年的城市發(fā)展，“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實(shí)際高度嗎?通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.(板書(shū)課題§1.1.1從梯子的傾斜程度談起).Ⅱ.講授新課用多媒體演示如下內(nèi)容：[師]梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ?jiàn)的物體.我們經(jīng)常聽(tīng)人們說(shuō)這個(gè)梯子放的“陡”，那個(gè)梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來(lái)描述梯子什么的?請(qǐng)同學(xué)們看下圖，并回答問(wèn)題(用多媒體演示)(1)在圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?[生]梯子AB比梯子EF更陡.[師]你是如何判斷的?[生]從圖中很容易發(fā)現(xiàn)∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.[生]我覺(jué)得是因?yàn)锳C＝ED，所以只要比較BC、FD的長(zhǎng)度即可知哪個(gè)梯子陡.BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡.[師]我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問(wèn)題(用多媒體演示)(2)在下圖中，梯子AB和EF哪個(gè)更陡?你是怎樣判斷的?[師]我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個(gè)更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問(wèn)中得到什么啟示呢?[生]在第(1)問(wèn)的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長(zhǎng)，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.[師]這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問(wèn)的圖中，哪個(gè)梯子更陡，應(yīng)該從梯子AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來(lái)判斷.那么請(qǐng)同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個(gè)更陡呢？[生],.∵,∴梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示：想一想如圖，小明想通過(guò)測(cè)量B1C1：及AC1，算出它們的比，來(lái)說(shuō)明梯子的傾斜程度；而小亮則認(rèn)為，通過(guò)測(cè)量B2C2及AC2，算出它們的比，也能說(shuō)明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎?(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么關(guān)系?(2)和有什么關(guān)系?(3)如果改變B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么結(jié)論?[師]我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度，即用傾斜角的對(duì)邊與鄰邊的比來(lái)描述梯子的傾斜程度.下面請(qǐng)同學(xué)們思考上面的三個(gè)問(wèn)題，再來(lái)討論小明和小亮的做法.[生]在上圖中，我們可以知道Rt△AB1C1，和Rt△AB2C2是相似的.因?yàn)椤螧2C2A＝∠B1C1A＝90°，∠B2AC2＝∠B1AC1，根據(jù)相似的條件，得Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2.[生]由圖還可知：B2C2⊥AC2，B1C1⊥AC1，得B2C2//B1C1，Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2.[生]相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，得.如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到Rt△B2C2A∽R(shí)t△Rt△B1C1A，仍能得到因此，無(wú)論B2在梯子的什么位置(除A外)，總成立.[師]也就是說(shuō)無(wú)論B2在梯子的什么位置(A除外)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是不會(huì)改變的.現(xiàn)在如果改變∠A的大小，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變嗎?[生]∠A的大小改變，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)改變.[師]你又能得出什么結(jié)論呢?[生]∠A的對(duì)邊與鄰邊的比只與∠A的大小有關(guān)系，而與它所在直角三角形的大小無(wú)關(guān).也就是說(shuō)，當(dāng)直角三角形中的一個(gè)銳角確定以后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.[師]這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們?cè)俜祷厝タ匆幌滦∶骱托×恋淖龇ǎ阕骱卧u(píng)價(jià)?[生]小明和小亮的做法都可以說(shuō)明梯子的傾斜程度，因?yàn)閳D中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對(duì)邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與B1、B2在梯子上的位置無(wú)關(guān)，即與直角三角形的大小無(wú)關(guān).[生]但我覺(jué)得小亮的做法更實(shí)際，因?yàn)橐獪y(cè)量B1C1的長(zhǎng)度，需攀到梯子的最高端，危險(xiǎn)并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.[師]這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實(shí)際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：(多媒體演示)如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊之比便隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切(tangent)，記作tanA，即tanA=.注意：1.tanA是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示∠A的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符號(hào)“∠”.2.tanA沒(méi)有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中∠A的對(duì)邊與鄰邊的比.3.tanA不表示“tan”乘以“A”.4.初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，∠A是銳角的正切.思考：1.∠B的正切如何表示?它的數(shù)學(xué)意義是什么?2.前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖1—3，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎?[生]1.∠B的正切記作tanB，表示∠B的對(duì)邊與鄰邊的比值，即tanB=.2.我們用梯子的傾斜角的對(duì)邊與鄰邊的比值刻畫(huà)了梯子的傾斜程度，因此，在圖1—3中，梯子越陡，tanA的值越大；反過(guò)來(lái)，tanA的值越大，梯子越陡.[師]正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等.正切經(jīng)常用來(lái)描述山坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m，就升高60m，那么山坡的坡度(即坡角α的正切——tanα就是tanα=α.這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱(chēng)為坡度.坡度越大，坡面就越陡.Ⅲ.例題講解多媒體演示[例1]如圖是甲，乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，哪一個(gè)自動(dòng)扶梯比較陡?分析：比較甲、乙兩個(gè)自動(dòng)電梯哪一個(gè)陡，只需分別求出tanα、tanβ的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，tanα=.乙梯中，tanβ=.因?yàn)閠anβ＞tanα，所以乙梯更陡.[例2]在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB的值.分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長(zhǎng)度.解：在△ABC中，∠C＝90°，所以AC==16(cm),tanA=tanB=所以tanA=，tanB=.Ⅳ，隨堂練習(xí)1.如圖，△ABC是等腰直角三角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎?分析：要求tanC.需從圖中找到∠C所在的直角三角形，因?yàn)锽D⊥AC，所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的對(duì)邊與鄰邊的比，即的值.解：∵△ABC是等腰直角三角形，BD⊥AC，∴CD＝AC＝×3＝1.5.在Rt△BDC中，tanC＝=＝1.2.如圖，某人從山腳下的點(diǎn)A走了200m后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)B，已知點(diǎn)B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度.(結(jié)果精確到0.001)分析：由圖可知，∠A是坡角，∠A的正切即tanA為山的坡度.解：根據(jù)題意：在Rt△ABC中，AB=200m，BC＝55m，AC==192.30(m).TanA=所以山的坡度為0.286.Ⅴ.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在“Rt△”中定義了tanA＝.接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問(wèn)題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在現(xiàn)實(shí)生活中是一個(gè)具有實(shí)際意義的一個(gè)很重要的概念.Ⅵ.課后作業(yè)1.習(xí)題1.1第1、2題.2.觀察學(xué)校及附近商場(chǎng)的樓梯，哪個(gè)更陡.Ⅶ.活動(dòng)與探究(2003年江蘇鹽城)如圖，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長(zhǎng)為12m，它的坡角為45°，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD，求DB的長(zhǎng).(結(jié)果保留根號(hào))[過(guò)程]要求DB的長(zhǎng)，需分別在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，AB＝12m，則可根據(jù)勾股定理求出BC；在Rt△ADC中，坡比為1：1.5，即tanD=1：1.5，由BC＝AC，可求出CD.[結(jié)果]根據(jù)題意，在Rt△ABC中，∠ABC=45°，所以△ABC為等腰直角三角形.設(shè)BC=AC＝xm，則x2+x2＝122，x=6，所以BC＝AC=6.在Rt△ADC中，tanD=,即CD=9.所以DB＝CD-BC＝9-6=3(m).板書(shū)設(shè)計(jì)§1.1.1從梯子的傾斜程度談起(一)1.當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對(duì)邊與鄰邊之比也隨之確定.2.正切的定義：在Rt△ABC中，銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與鄰邊的比隨之確定，這個(gè)比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA＝.注：(1)tanA的值越大.梯子越陡.(2)坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3.例題講解(略)4.隨堂練習(xí)5.課時(shí)小結(jié)備課資料[例1](2003年浙江沼興)若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前進(jìn)10米，則他所在的位置比原來(lái)的位置升高_(dá)_______米.分析：根據(jù)題意(如圖)：在Rt△ABC中AC：BC＝3：4，AB＝10米.