專題5.10直角三角形（基礎篇）

一、單選題

1.（2014?山東濱州?統(tǒng)考中考真題）下列四組線段中，可以構成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,3

2.（2022?四川資陽?中考真題）將直尺和三角板按如圖所示的位置放置.若4=40。,

則N2度數(shù)是（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

3.（2022.湖南永州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtZVLBC中，ZABC=90°,ZC=60°,

點。為邊AC的中點，瓦）=2,則8c的長為（)

B

A.6B.2gC.2D.4

4.（2021?四川雅安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtABC中，ZABC=90°,點尸為AC中

點，O■E是ABC的中位線，若DE=6,則()

nf：c

A.6B.4C.3D.5

5.（2007?江蘇連云港?中考真題）如圖所示,直線/上有三個正方形。，b,c,若a,c

的面積分別為5和11,則b的面積為（）

A.4B.6C.16D.55

6.（2022.內蒙古.中考真題）如圖，在；ABC中，AB=BC,以B為圓心，適當長為半

徑畫弧交84于點M,交BC于點N,分別以M,N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩

弧相交于點D,射線8。交AC于點E,點尸為BC的中點，連接EF,若BE=AC=4,則4CEF

7.（2020?遼寧盤錦?中考真題）我國古代數(shù)學著作《九章算術》記載了一道有趣的問題.原

文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.譯

為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水

面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與

這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？設蘆葦?shù)拈L度是x尺.根據(jù)題意，可列方程為（）

A.（X-1）2+52=/B.『+1。2=（X+1）2

C.（x-1）2+102—^D./+5?=（x+1）2

8.（2022?四川南充?中考真題）如圖,將直角三角板ABC繞頂點A順時針旋轉到△AB'C',

點"恰好落在C4的延長線上，ZB=30°,ZC=90°,則/84。'為（）

B

C

CAB'

A.90°B.60°C.450D.30°

9.（2022?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，在放△ABC中,ZC=90°,ZB=30°,AB

=8,以點C為圓心，。的長為半徑畫弧，交AB于點O,則弧4。的長為（）

33

10.（2022.山東濟寧.統(tǒng)考中考真題）如圖，三角形紙片ABC中，ZBAC=90°,AB=2,

AC=3.沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點。處；再折疊紙片，使點C

與點。重合，若折痕與AC的交點為E,則AE的長是（）

二、填空題

11.（2011?山東濟南?中考真題）已知一個直角三角形的兩邊長分別為6和8,則第三邊

長為.

12.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在；ABC和人ABD中，ZACB=ZADB=90°,

E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，若DE=1,則FG=.

D

13.（2018?全國?專題練習）如圖，把AABC繞點C按順時針方向旋轉35°,得至I」△A'3'C,

A9交AC于點D,若NA'￡>C=90。，則NA=°

14.（2022?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）在活動課上，“雄鷹組”用含30。角的直角三角尺設

計風車.如圖，NC=90o,/4BC=30o,AC=2,將直角三角尺繞點A逆時針旋轉得到△/18c,

使點。落在AB邊上，以此方法做下去……則B點通過一次旋轉至所所經過的路徑長為

.（結果保留兀）

C--------------B

15.（2022.廣西梧州.統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，4CB=90,點。，E分別是

AB,AC邊上的中點，連接8,OE.如果鉆=5m,BC=3m,那么CD+DE的長是m.

16.（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABC。沿CE折疊，使點B落在

邊40上的點尸處.若點E在邊AB上，AB=3,BC=5,則AE=.

17.（2014.四川涼山.統(tǒng)考中考真題）如圖，圓柱形容器高為18cm,底面周長為24cm,

在杯內壁離杯底4cm的點8處有乙滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與

蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外幣A處到達內壁B處的最短距離為.

18.（2021?廣西玉林?統(tǒng)考中考真題）如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙

輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，

1小時后兩船分別位于點A,8處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，

則乙船沿方向航行.

三、解答題

19.（2013?黑龍江綏化?中考真題）如圖，在△ABC中,于點D,AB=S,ZABD=30°,

ZCAD=45°,求BC的長.

20.(2022?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題)如圖，在矩形ABCQ中，E為A8的中點，連接CE

并延長，交D4的延長線于點足

(1)求證：XAEF空XBEC.

(2)若C￡>=4,/尸=30。，求CF的長.

21.(2021?貴州安順?統(tǒng)考中考真題)如圖，在矩形ABCD中，點〃在。C上，AM=AB,

且垂足為N.

(1)求證：ABNMMAD；

(2)若AO=2,AN=4,求四邊形BCMN的面積.

22.(2022.浙江麗水?統(tǒng)考中考真題)如圖，將矩形紙片ABC。折疊，使點B與點。重

合，點A落在點尸處，折痕為EF.

（1）求證：4PDE也4CDF；

(2)若C￡>=4cm,EF=5cm,求BC的長.

23.（2016?湖北荊州?中考真題）如圖，將一張直角三角形ABC紙片沿斜邊A8上的中線

CD剪開，得到AACD,再將△ACO沿08方向平移到的位置，若平移開始后點。

未到達點8時，4c交CQ于E,DC交CB于點、F,連接EF,當四邊形尸為菱形時,

試探究AA75E的形狀，并判斷△AZ>E與是否全等？請說明理由.

24.（2019?湖北省直轄縣級單位?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形

OABC的頂點坐標分別為0(0,0),A(12,0),B(8,6),C(0,6).動點P從點O出發(fā)，以每秒3個單

位長度的速度沿邊向OA終點A運動；動點Q從點B同時出發(fā)，以每秒2個單位長度的速

度沿邊BC向終點C運動.設運動的時間為t秒，PQ2=y.

(1)直接寫出y關于t的函數(shù)解析式及t的取值范圍：；

(2)當PQ=3正時，求t的值；

(3)連接OB交PQ于點D,若雙曲線＞=幺。*0)經過點D,問k的值是否變化？若

X

參考答案

1.B

【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

解：A、42+52=41,62,不可以構成直角三角形，故本選項錯誤；

B、1.52+22=6.25=2.52,可以構成直角三角形，故本選項正確；

C、22+32=13*2,不可以構成直角三角形，故本選項錯誤：

D、F+(0『=3H32,不可以構成直角三角形，故本選項錯誤.

故選：B

【點撥】本題主要考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

2.B

【分析】如圖，易知三角板的NA為直角，直尺的兩條邊平行，則可得N1的對頂角和N2

的同位角互為余角，即可求解.

解：如圖，根據(jù)題意可知NA為直角，直尺的兩條邊平行，

AZ2=ZACB,ZACB+ZABC^9Q0,ZABC=Z\,

：.Z2=90°-Z1=90°-40°=50°,

故選：B.

【點撥】本題考查了對頂角，三角形內角和定理，平行線的性質，解題的關鍵是靈活運

用定理及性質進行推導.

3.C

【分析】根據(jù)三角形內角和定理可得N4=30。，由直角三角形斜邊上的中線的性質得出

AC=2BD=4,再利用含30度角的直角三角形的性質求解即可.

解：VZABC=90°,ZC=60°,

，NA=30。，

?.?點。為邊AC的中點，BD=2

：.AC=2BD=4,

：.BC=-AC=2,

2

故選：C.

【點撥】題目主要考查三角形內角和定理及直角三角形斜邊上中線的性質，含30度角

的直角三角形的性質等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

4.A

【分析】由。￡是，A3C的中位線，可得AC=12,在RtABC中，點F為AC中點，可

得即=6即可.

解：是,ABC的中位線，

."C=2M；=2x6=12,

?.?在RtABC中，NA8C=90。，點尸為AC中點，

/.BF=—AC=—x12=6,

22

故選擇A.

【點撥】本題考查三角形中位線與三角形中線性質，掌握三角形中位線與三角形中線性

質是解題關鍵.

5.C

【分析】運用正方形邊長相等，結合全等三角形和勾股定理來求解即可.

「小b,c都是正方形,

/.AC=CDfNACD=/ABC=/CED=9伊,

.：/ACB+NDCE=NACB+NBAC=90。,

:.ZDCE=ZBACf

在4ABe和△CEO中，

NBAC=NDCE

<NABC=NCED

AC=CD

.-.ZkABC^ACEZXAAS),

：?AB=CE,BC=DE,

在RtAABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,

Sb=S&+S,=11+5=16.

故選：c.

【點撥】此題主要考查對全等三角形和勾股定理的綜合運用，結合圖形求解，對圖形的

理解能力要比較強，解題的關鍵是靈活運用正方形邊長相等，結合全等三角形和勾股定理來

求解.

6.D

【分析】由尺規(guī)作圖可知為48C的平分線,結合等腰三角形的性質可得

AE=CE=，AC=2,利用勾股定理求出AB、BC的長度，進而可得EF=AB=2亞,CF=；BC=

5即可得出答案.

解：由題意得，BE為/A8C的平分線，

AB=BC,

BELAC,AE=CE=-AC=2,

2

由勾股定理得，

48=3c="2+22=2石，

?.?點F為BC的中點，

，EF=gAB=&,CF=；BC=&,

...ACEF的周長為：石+石+2=2岔+2.

故選：D.

【點撥】本題考查尺規(guī)作圖、等腰三角形的性質、勾股定理，熟練掌握角平分線的作圖

步驟以及等腰三角形的性質是解答本題的關鍵.

7.A

【分析】首先設蘆葦長為x尺，則水深（x-1）尺，根據(jù)勾股定理可得方程.

解：設蘆葦長為x尺，則水深（x-1）尺，

由題意得：（rl）2+52=/,

故選：A.

【點撥】本題主要考查了勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與

方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型.

8.B

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，求出/A4C的度數(shù)，由旋轉可知4AC=NB'AC,

在根據(jù)平角的定義求出NB4C的度數(shù)即可.

解：VZB=30°,NC=90°,

ZB/1C=90°-ZB=90°-30°=60°,

由旋轉可知ABAC=ZB'AC=60°，

ZBAC'=180°-ABAC-ABAC=180°-60°-60°=60°,

故答案選：B.

【點撥】本題考查直角三角形的性質以及圖形的旋轉的性質，找出旋轉前后的對應角是

解答本題的關鍵.

9.B

【分析】連接CZ),根據(jù)NACB=90。，/8=30。可以得到/A的度數(shù)，再根據(jù)AC=C。以

及的度數(shù)即可得到NACC的度數(shù)，最后根據(jù)弧長公式求解即可.

解：連接CD,如圖所示：

VACB=90°,ZB=30°,AB=8,

AZA=90°-30°=60°,AC=^AB=4,

由題意得：AC=CD,

...△ACC為等邊三角形，

，ZACD=60°,

弘607rx44

??AO的k為：i&n=￡乃'

1oUJ

故選：B.

【點撥】本題考查了弧長公式，解題的關鍵是：求出弧所對應的圓心角的度數(shù)以及弧所

在扇形的半徑.

10.A

【分析】根據(jù)題意可得AO=A8=2,NB=NADB,CE=DE,/C=NCOE,可得

ZADE=90°,繼而設AE=x,則CE=￡>￡=3-x,根據(jù)勾股定理即可求解.

解：???沿過點A的直線將紙片折疊，使點8落在邊8c上的點。處,

：.AD=AB=2,NB=NADB,

???折疊紙片，使點C與點。重合，

:?CE=DE,ZC=ZCDE,

VZB^C=90°,

/.ZB+ZC=90°,

；?ZADB+NCOE=90。，

???ZADE=90°,

222

：.AD+DE=AEt

設AE=x,則CE=DE=3?x,

/.22+(3-X)2=X2,

13

解得x

6

13

即AE=—

6

故選A

【點撥】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握折疊的性質以及勾股定理是解題的關

鍵.

II.10或2幣##2將或10

【分析】分邊長為8的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得.

解：由題意，分以下兩種情況：

(1)當邊長為8的邊是斜邊時，

則第三邊長為麻彳=25；

(2)當邊長為8的邊是直角邊時，

則第三邊長為正常=10；

綜上，第三邊長為10或2",

故答案為：10或2".

【點撥】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關鍵.

12.1

【分析】由直角三角形斜邊中線的性質得出A8=2DE,再由三角形中位線的性質可得

FG的長;

解：???R3ABC中，點E是AB的中點，DE=\,

：.AB=2DE=2,

?.?點F、G分別是4C、BC中點，

FG=-AB=\,

2

故答案為：1

【點撥】本題考查了直角三角形的性質及三角形中位線的性質等知識；熟練掌握中位線

定理是解題的關鍵.

13.55

【分析】根據(jù)旋轉的性質可得NAC4'=35。，ZA=ZA\再由直角三角形兩銳角互余,

即可求解.

解：?.?把A48C繞點C按順時針方向旋轉35。，得到△A'5'C

ZAC4'=35。，ZA=ZA',

'：ZA'DC=90°,

：.NA'=55°

ZA=55°.

故答案為：55

【點撥】本題主要考查了圖形的旋轉，直角三角形兩銳角的關系，熟練掌握旋轉的性質，

直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵.

14.——

3

【分析】根據(jù)題意，點B所經過的路徑是圓弧，根據(jù)直角三角形30。角所對的邊等于斜

邊的一半，易知A8=4,結合旋轉的性質可知NBA夕=N3AC=60。,，最后求出圓弧的長度

即可.

解：VZC=90°,N4BC=30°,AC=2,

."8=2AC=4,N&4C=60。，

由旋轉的性質得，ZBAB'=ZBAC^60°,

???8點通過一次旋轉至9所經過的路徑長為腎-=T，

4萬

故答案為：-1.

【點撥】本題主要考查了直角三角形30。角所對的邊等于斜邊的一半，旋轉的性質，以

及圓弧的求法，熟練地掌握相關內容是解題的關鍵.

15.4

【分析】由4E分別是和AC的中點得到DE是AABC的中位線，進而得到

DE=-1BC=^3-,由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到￡^=彳1川=5=，由此即

2222

可求出CD+DE.

解：?.?￡>、E分別是AB和AC的中點，

.,.。后是443c的中位線，

13

:.DE=-BC=-,

22

,/ZACB-90,

???由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知：DC=^AB=|,

22

35

,CD+DE=-+-=4,

22

故答案為：4.

【點撥】本題考查了三角形的中位線定理及直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，屬

于基礎題，熟練掌握中位線定理是解決本題的關鍵.

,4,1

16.-##1-

33

【分析】由折疊性質可得CF=8C=5,BE=EF,由矩形性質有8=48=3,8c=40=5,

勾股定理求得。尸，AF.設BE=EF=x,則在直角三角形AE尸中，根據(jù)勾股定

理，建立方程，解方程即可求解.

解：由折疊性質可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性質有CC=4B=3,BC=AD=5,

,:/￡)=90°,

￡>F=Jc產-CD?=4,

所以AF=AP—￡)F=5-4=1,

所以BE=EF=x,則AE=ARBE=3-x,在直角三角形AEF中：

AE2+AF-=EF2,

(3-X)2+12=X2,

解得x=|

4

故答案為：—.

【點撥】本題考查了圖形折疊的性質，勾股定理，矩形的性質，在直角三角形AEF中

運用勾股定理建立方程求解是關鍵.

17.20cm##20厘米

【分析】將杯子側面展開，建立4關于E尸的對稱點根據(jù)兩點之間線段最短可知48

的長度即為所求.

解：如圖，將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點4,連接48,則48即為最短距

離?

根據(jù)勾股定理，得

A'B=ylA'D2+BD2=V122+162=20m.

故答案為：20cm.

【點撥】本題考查了平面展開一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股

定理進行計算是解題的關鍵.同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力.

18.北偏東50。（或東偏北偏北

【分析】由題意易得AP=12海里，28=16海里，ZAPN=40°,則有A尸+3/=A4，

所以NAPB=90。，進而可得NW>N=50。，然后問題可求解.

解：由題意得：AP=lxl2=12海里，PB=lxl6=16海里，ZAPN=40°,AB=20海里，

/?AP2+BP2=400=AB2.

ZAPB=90°,

：.ZBPN=50。,

乙船沿北偏東50。（或東偏北40。）方向航行;

故答案為北偏東50。（或東偏北40。）.

【點撥】本題主要考查勾股定理的逆定理及方位角，熟練掌握勾股定理的逆定理及方位

角是解題的關鍵.

19.473+4.

【分析】首先解RdAB。，求出40、8。的長度，再解心△AOC,求出力C的長度，

然后由BC=BD+DC即可求解.

解：于點￡),

ZADB=ZADC=90°.

在RmABD中，

?；AB=8,NABQ=30。，

：.AD=^AB=4,BD=6AD=4g.

在RmADC中，

VZCAZ)=45°,ZADC=90°,

：.DC=AD=4.

：.BC=BD+DC=445+4.

20.(1)見分析(2)8

【分析】(1)先根據(jù)矩形性質得出4J//5C,然后證得NF=NBCE,再根據(jù)A4S即可

證明：ZiAEF0△BEC.

(2)根據(jù)矩形的性質得出ND=90。，然后根據(jù)/尸=30。得出C尸=2CD即可解答.

(1)證明：???四邊形A8C。是矩形，

AD//BC,

:.NF=NBCE,

是A8中點，

：.AE=EB,

,/NAEF=NBEC,

：./\AEF^/\BEC(AAS).

(2)解：；四邊形ABC。是矩形，

ND=90。,

：CD=4,ZF=30°,

二C尸=28=2x4=8,

即CF的長為8.

【點撥】本題考查矩形的性質、全等三角形的判定和性質、含30。角的直角三角形，解

題的關鍵是準確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

21.(1)見詳解；(2)475-8

【分析】(1)由矩形的性質可得從而得NANANB,NBAN=NAMD,

進而即可得到結論；

(2)由,ABN會以及勾股定理得AN=DW=4,AB=2y[5,進而即可求解.

解：(1)證明：在矩形ABC。中，

AZD=90°,AB//CD,

：.NBAN=NAMD,

BNLAM,

；.NANB=90。,即：ND=4ANB,

又：AM=AB,

：.ABNgMAD(A4S),

(2),:—ABNgMAD、

：.AN=DM=4,

'：AD=2,

-AM=^+42=2x/5>

."B=2石，

矩形ABCD的面積=2石x2=4后,

又；SABN=SMAD=-1x2x4=4,

四邊形BCMN的面積=4石44=4石-8.

【點撥】本題主要考查矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握

AAS證明三角形全等，是解題的關鍵.

22.(1)證明見分析(2)與cm

【分析】(1)利用ASA證明即可；

(2)過點E作EGJ_BC交于點G,求出尸G的長，設AE=xcm,用x表示出CE的長,

在放△2￡：￡>中，由勾股定理求得答案.

解：(1);四邊形4BCQ是矩形，

：.AB=CD,ZA=ZB=ZADC=ZC=90°,

由折疊知，AB=PD,ZA=ZP,NB=NPDF=90。,

:?PD=CD,NP=NC,ZPDF=ZADC,

；?NPDF-NEDF=NADC-NEDF,

：.ZPDE=ZCDF,

在^PDE^\LCD/中，

'ZP=ZC

<PD=CD,

NPDE=/CDF

:?△PDE"4CDF(ASA)；

(2)如圖，過點E作EGLBC交于點G,

,??四邊形A5CO是矩形，

/.AB=CD=EG=4cn\,

又?:￡F=5cm,GF=」EF?-EG?=3cm,

設AE=xcn\,

/?EP=xcn\,

由ARDE/△CW7知，EP=CF=xcm,

：.DE=GC=GF+FC=3+xf

在放△PED中，PE2-^-PD2=DE\

即x2+42=(3+x)2,

7

解得，尤=g

o

771A

BC—BG+GC=—H3H—=—(cm).

663

【點撥】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，根

據(jù)翻折變換的性質將問題轉化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關鍵.

23.是等腰三角形；證明過程見分析.

【分析】當四邊形尸為菱形時，△4DE是等腰三角形，4A'DE咨LEFC'.先證明

CD=DA=DB,得到ND4c=NOC4,由AC〃4C即可得到NO4E=NQE4由此即可判斷

△DVE的形狀.由￡F〃AB推出NC'EF=NDVE,ZA'DE=ZA'D'C=ZEFC,再根據(jù)

A'D=OE=EF即可證明.

解：當四邊形￡7)。尸為菱形時，△47JE是等腰三角形，

理由：?.?△8CA是直角三角形，/AC8=90。，AD=DB,

：.CD=DA=DB,

：.ZDAC=ZDCA,

'：A'C//AC,

：.NDA，E=NA,ZDEA'=ZDCA,

：.ZDA'E=ZDEA',

：.DA'=DE,

...△4DE是等腰三角形.

?.?四邊形。EF。是菱形，

:.EF=DE=DA',EF//DD',

：.NC'EF=NDA'E,NEFC=ZCD'A',

'：CD//C'D',

：.NA，DE=NA'D，C=NEFC',

在△和AEFC中，

ZEA'D=ZC'EF

<A'D=EF,

ZA'DE=ZEFC'

：.^\A'DE^/\EFC.

【點撥】本題主要考查了菱形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定，等腰三

角形的判定和性質，平移的性質，熟練掌握菱形的性質，全等三角形的判定，平移的性質是

解題的關鍵.

11432

24.（1）y=25r-80f+100（0<f<4）；（2）r,=l,r,=—；（3）——

'525

【分析】（1）過點尸作PELBC于點E,由點尸，。的出發(fā)點、速度及方向可找出當運

動時間為f秒時點尸，