2023屆廣東省湛江一中等“四校”重點中學高三數學試題第一次診斷性檢測試題

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某地區高考改革，實行“3+2+1”模式，即“3”指語文、數學、外語三門必考科目，“1”指在物理、歷史兩門科目中必

選一門，“2”指在化學、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學科中任意選擇兩門學科，則一

名學生的不同選科組合有()

A.8種B.12種C.16種D.20種

/、6

2.若f的展開式中/的系數為150,則/=()

Ix)

A.20B.15C.10D.25

3.已知等差數列{%}的公差為-2,前〃項和為S“，q,a2,與為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為120。，

若S.4S,“對任意的〃eN*恒成立，貝！I實數〃?=().

A.6B.5C.4D.3

4.已知集合A={xIx>0},B={xIx2-x+b=0},若AcB={3},則>=()

A.-6B.6C.5D.-5

5.定義在R上的函數/(x)=x+g(x),g(x)=-2x-2+g(-2-x),若f(x)在區間卜1,物)上為增函數，且存在

-2<t<0,使得/(0)?/(，)<0.則下列不等式不一定成立的是()

A./(r2+z+l)>/WB./(-2)>0>/(r)

C./(?+2)>/(r+l)D.+

6.2019年10月17日是我國第6個“扶貧日”，某醫院開展扶貧日“送醫下鄉”醫療義診活動，現有五名醫生被分配到

四所不同的鄉鎮醫院中，醫生甲被指定分配到醫院A,醫生乙只能分配到醫院A或醫院B,醫生丙不能分配到醫生甲、

乙所在的醫院，其他兩名醫生分配到哪所醫院都可以，若每所醫院至少分配一名醫生，則不同的分配方案共有()

A.18種B.20種C.22種D.24種

7.很多關于整數規律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數學家和數學愛好者，有些猜想已經被數學家證明，如“費馬

大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內容是：對于每一個正整數，如果

它是奇數，則將它乘以3再加1；如果它是偶數，則將它除以2；如此循環，最終都能夠得到1.下圖為研究“角谷猜想”

的一個程序框圖.若輸入〃的值為1（）,則輸出i的值為（）

A.5B.6C.7D.8

8.設復數二滿足|z-3|=2,z在復平面內對應的點為則"不可能為（）

A.（2,百）B.（3,2）C.（5,0）D.（4,1）

（2\

9.已知偶函數/（X）在區間（7,0］內單調遞減，a=/（log&G）,匕=/卜布（一（1|,c=/，則。，人

\7

C滿足（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<h<a

10.已知a,6是兩條不同的直線，a,“是兩個不同的平面，且aua,bug,allfi,blla,則是“a〃夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

11.在ZVIBC中，。為中點，且=若BE=XA3+〃AC,貝!］義+〃=（）

213

A.1B.一一C.一一D.一一

334

12.用數學歸納法證明則當---_?時，左端應在---的基礎上加上（）

?二;=當一…---

A,B.仁+廳

c'二;.+j）+二;;…+（二1+萬D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設集合A={-1,B=|eS2：（其中e是自然對數的底數），且ACBA。，則滿足條件的實數a的個數為.

14.已知向量4=（1,m），1=（2,1）,且則機=.

15.在正方體ABC。-AgG。中，已知點P在直線AB】上運動，則下列四個命題中：①三棱錐。一G6P的體積不

變;②OP，QC；③當尸為A片中點時，二面角P-AG-C的余弦值為當；④若正方體的棱長為2,則+|明

的最小值為J+40；其中說法正確的是（寫出所有說法正確的編號）

16.已知直線x—），+a=O與圓心為C的圓龍2+y2+2x—4y—4=0相交于A3兩點，且AC_LBC,則實數”的值

為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22瓜

17.（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:0+與=1（。＞人＞0）的離心率為立，以橢圓C左頂

a~b-2

點7為圓心作圓T:（X+2）2+/設圓T與橢圓c交于點時與點M

（1）求橢圓C的方程；

（2）求力VT77V的最小值，并求此時圓T的方程；

（3）設點P是橢圓C上異于M,N的任意一點,且直線MP,NP分別與x軸交于點R,S,O為坐標原點,求證：|O7?|-\OS\

為定值.

18.（12分）在AA6C中，＞/3asinC=ccosA.

（I）求角A的大小；

（n）若5^0=6，b+c=2+2?求。的值.

19.(12分)已知C(%)=l?+2].

(1)當。=2時，求不等式/(x)>3x的解集；

2

(2)若/⑴,，M,/(2)?M,證明：

x=1+cost,

20.(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為,.。為參數)，以坐標原點。為極點，x軸

y=1+sinr

的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為。=a(0<a<]),直線/交曲線。于AB兩點，尸為A3中

點.

(1)求曲線c的直角坐標方程和點P的軌跡G的極坐標方程；

(2)若|AB||OP|=g,求a的值.

21.(12分)在四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=120°,PA=2,PB=PC=PD,E是PB

的中點.

(2)設尸是直線8C上的動點，當點E到平面A4F距離最大時，求面A4F與面E4C所成二面角的正弦值.

22.(10分)在三棱柱—中，四邊形4月胡是菱形，AB=4,NABg=60。，4G=3,BC1AB,

點M、N分別是A1、AG的中點，且MN_LA4.

(1)求證：平面BCC4上平面A￡84；

(2)求四棱錐A-BCGA的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

分兩類進行討論：物理和歷史只選一門；物理和歷史都選，分別求出兩種情況對應的組合數，即可求出結果.

【詳解】

若一名學生只選物理和歷史中的一門，則有=12種組合；

若一名學生物理和歷史都選，則有C：=4種組合；

因此共有12+4=16種組合.

故選C

【點睛】

本題主要考查兩個計數原理，熟記其計數原理的概念，即可求出結果，屬于常考題型.

2、C

【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到C：4/=150x6,即得解.

【詳解】

由已知得J=墨卜2廣［￡|=C^a)'x'2-3r,

故當r=2時，12-3r=6,

于是有"=C：a2x6=150x6,

則/=10.

故選：C

【點睛】

本題主要考查二項式展開式的通項和系數問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

3、C

【解析】

若S“WS,“對任意的〃eN*恒成立，貝11S,“為S”的最大值，所以由已知，只需求出s“取得最大值時的〃即可.

【詳解】

由已知，4〉。2>。3>°，又三角形有一個內角為120°,所以a；=a；+a；+a2a3，

a；=(%-2尸+(q—4)2+(%—2)(q—4),解得4=7或q=2(舍)，

故S“=7〃+°x(-2)=一/+8〃,當〃=4時，S“取得最大值，所以加=4.

故選：C.

【點睛】

本題考查等差數列前〃項和的最值問題，考查學生的計算能力，是一道基礎題.

4、A

【解析】

由AcB={3},得3e3,代入集合B即可得從

【詳解】

AnB={3},.-.3eB,:.9-3+b=Q,即：b=-6,

故選：A

【點睛】

本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.

5、D

【解析】

根據題意判斷出函數的單調性，從而根據單調性對選項逐個判斷即可.

【詳解】

由條件可得/(一2一0=-2-x+g(-2—x)=-2—x+g(x)+2x+2=g(x)+x=/(x)

函數/(x)關于直線X=-1對稱；

/。)在［-1,包)上單調遞增，且在一2<，<0時使得/(0)"⑺<0；

又/(-2)=/(0)

.??/W<0,./(-2)=/(0)>0,所以選項B成立；

311I

t~+t+2—3=(，++—>0,/./+/+1比e離對稱軸跡，

二可得/+，+l)>/(g),.?.選項A成立；

(r+3)2-?+2)2=2r+5>0,.1r+3|>|r+2|,可知t+2比f+1離對稱軸遠

.-.f(t+2)>f(t+\),選項C成立；

-2<r<0,.,.Q+2)2-Q+l)2=2r+3符號不定，.Uf+ZI,|f+l|無法比較大小，

.?J(f+l)>/Q)不一定成立.

故選：D.

【點睛】

本題考查了函數的基本性質及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

6^B

【解析】

分兩類：一類是醫院A只分配1人，另一類是醫院A分配2人，分別計算出兩類的分配種數，再由加法原理即可得到

答案.

【詳解】

根據醫院A的情況分兩類：

第一類：若醫院A只分配1人，則乙必在醫院3,當醫院3只有1人，則共有C；A；種不同

分配方案，當醫院8有2人，則共有C；A；種不同分配方案，所以當醫院A只分配1人時，

共有C；用+C；A；=10種不同分配方案；

第二類：若醫院A分配2人，當乙在醫院4時，共有A；種不同分配方案，當乙不在4醫院，

在8醫院時，共有種不同分配方案，所以當醫院A分配2人時，

共有A；+C；隹=10種不同分配方案；

共有20種不同分配方案.

故選：B

【點睛】

本題考查排列與組合的綜合應用，在做此類題時，要做到分類不重不漏，考查學生分類討論的思想，是一道中檔題.

7、B

【解析】

根據程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結果.

【詳解】

輸入”=10,〃=1不成立，”是偶數成立，則〃=W=5,i=O+l=1；

2

〃=1不成立，〃是偶數不成立，貝!)〃=3x5+l=16,z=l+l=2；

16。

〃=1不成立，?是偶數成立，貝n!l!〃=—=8,i=2+1=3；

2

8“

n-\不成立，?是偶數成立，則nl〃=一=4,z=3+1=4；

2

〃=1不成立，?是偶數成立，則〃=一=2,/=4+1=5；

2

E2，

〃二1不成立，?是偶數成立，則〃=_=1,z=5+1=6；

2

“=1成立，跳出循環，輸出i的值為6.

故選：B.

【點睛】

本題考查利用程序框圖計算輸出結果，考查計算能力，屬于基礎題.

8、D

【解析】

依題意，設2=。+初，由|z—3|=2,得①一3)2+6=4,再一一驗證.

【詳解】

設z=a+bi,

因為|z-3|=2,

所以3—3)2+從=4,

經驗證M(4,l)不滿足,

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了復數的概念、復數的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.

9、D

【解析】

2

首先由函數為偶函數，可得函數“X)在［(),”)內單調遞增，再由k)g&G>sin71、二即可判定大小

3>7

【詳解】

因為偶函數在(3,0］減，所以/(x)在［0,內)上增,

log也6>1,

故選：D

【點睛】

本題考查函數的奇偶性和單調性，不同類型的數比較大小，應找一個中間數，通過它實現大小關系的傳遞，屬于中檔題.

10、D

【解析】

根據面面平行的判定及性質求解即可.

【詳解】

解：aua,bug,a//fi,b//a,

由a〃兒不一定有a〃/?,a與夕可能相交；

反之，由。〃“，可得a〃Z>或。與5異面，

.,.a,8是兩條不同的直線，a,/?是兩個不同的平面，且aua,bap,a//p,b//a,

則“a〃"是"a〃/T的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質，屬于基礎題.

11、B

【解析】

選取向量AB，AC為基底，由向量線性運算，求出BE，即可求得結果.

【詳解】

BE^AE-AB^^AD-AB,A0=g(A6+AC),

51

：.BE---AB+-AC^AAB+/iAC,

,512

/.A,-9U=-9?=彳+〃=?

663

故選：B.

【點睛】

本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎題.

12、C

【解析】

首先分析題目求用數學歸納法證明l+l+3+...+n'=..:時，當n=k+l時左端應在n=k的基礎上加上的式子，可以分別

一.一

2

使得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案.

【詳解】

當n=k時，等式左端=1+1+…+kl

當n=k+l時，等式左端=1+1+…+*+^+1+1+1+…+(k+1),,增加了項(k*+l)+(k'+l)+(k*+3)+…+(k+1)].

故選：C.

【點睛】

本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

可看出“中一，這樣根據父,田。0即可得出。=2,從而得出滿足條件的實數”的個數為1.

【詳解】

解：＜8*0,

.?"=2或。=/

在同一平面直角坐標系中畫出函數y=x與二「的圖象,

由圖可知y=x與y=[無交點，.?“=》無解，則滿足條件的實數”的個數為

故答案為：1.

【點睛】

考查列舉法的定義，交集的定義及運算，以及知道方程1=2無解，屬于基礎題?

14、-2

【解析】

根據垂直向量的坐標表示可得出關于實數〃的等式，即可求得實數小的值.

【詳解】

a=(l,〃z),b=(2,1)且“_!_/，，則a?加=2+機=0，解得/〃=—2.

故答案為:-2.

【點睛】

本題考查利用向量垂直求參數，涉及垂直向量的坐標表示，考查計算能力，屬于基礎題.

15、?(2)(4)

【解析】

①???Ag〃DG，.?.431〃平面DBC1,得出A4上任意一點到平面DBQ的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點尸在面OCGA上的射影在OG上，根據線面垂直的判定和性質或三垂線定理，可判斷命題②；

③當P為A片中點時，以點。為坐標原點，建立空間直角系。-孫Z,如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角p-Aa-c的余弦值，可判斷命題③；

④過A片作平面44例交AR于點M，做點。關于面對稱的點G,使得點G在平面ABBIA內，根據對稱

性和兩點之間線段最短，可求得當點P在點《時，。，匕8在一條直線上，|。尸|+|明取得最小值|G..可判斷命題

④.

【詳解】

①A與〃。G，；?AB"平面DBQ,所以上任意一點到平面DBG的距離相等，所以三棱錐。-G3P的體積

不變，所以①正確；

②P在直線上運動時，點P在面。CGA上的射影在。G上，所以OP在面。CGA上的射影在。G上，又

DC,±CD,,所以。所以②正確；

③當P為A片中點時，以點。為坐標原點，建立空間直角系。-孫z,如下圖所示，設正方體的棱長為2.

則:4(2,0,0),B,(2,2,2),P(2,1,1),A(2,0,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

AG=(一2,2,0),=(0,—l,l),CG=(0,0,2),

m-AC,=0-2x+2v=0

設面AGP的法向量為〃z=（x,y,z）,則，11，即《.八，令1=1,則y=l,z=l,;.m=(l,l,l),

m?PA=o一y+z=0

「?AG=。,即—2x+2y=0

設面4G。的法向量為〃=（%,y,z）,.12z.

nCCj=0

湍=口=9'由圖示可知‘二面角人年|一。是銳二面角'所以二面角「一40一。

cos<m,n>=

的余弦值為逅，所以③不正確;

3

④過AB|作平面A4M交AR于點"，做點。關于面A用M對稱的點G,使得點G在平面48片4內，

則。尸=62,94=64,。6_1"1,所以|凹+忸"=|6"+怛”，當點P在點打時，。,匕8在一條直線上,

|。月+忸月取得最小值|6印

因為正方體的棱長為2,所以設點G的坐標為G（2,加,〃），DG=（2,m,n）,領=（0,2,2）,所以

DG-AB、=2m+2n=0,

所以加二一〃,又DA=GA=2,所以機=—y/2,9n=5/2，

所以G（2,—夜,夜），B（2,2,0）,儂=“2—2'+卜0一2『+（0-0『=48+40，故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查空間里的線線，線面，面面關系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的

思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.

16、0或6

【解析】

計算得到圓心。（一1,2）,半徑廠=3,根據AC_LBC得到d—,利用圓心到直線的距離公式解得答案.

2

【詳解】

f+y2+2x_4y-4=0,即(x+iy+(y—2)2=9,圓心C(—1,2),半徑r=3.

ACJ.BC,故圓心到直線的距離為"=逑，即=逑，故。=6或“=0.

2y/22

故答案為：0或6.

【點睛】

本題考查了根據直線和圓的位置關系求參數，意在考查學生的計算能力和轉化能力。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

21o

17、(1)>/=]；2()|困3=4

(2)(X+2)+/=1|.3

【解析】

(1)依題意，得。=2,e=￡=迫，由此能求出橢圓C的方程.

a2

(2)點M與點N關于x軸對稱，設“(X，X),N(玉，一y),設,>0,由于點M在橢圓C上，故y;=i—1

由T(-2,0),知TM-77V=(玉+2,yJ?(玉+2,_yj=?(x]+|)_(,由此能求出圓7的方程.

(3)設。(毛,%)，則直線M尸的方程為：y—%=&x5"x(》一為)，令y=。，得"W'M,同理：

o~iVo一X

,由此能證明|OR|-|OS|=|與卜同=瓦多|=4為定值.

【詳解】

(1)依題意，得。=2,e=-=—,

a2

c=垂i,b=！4-3=19

Y2

故橢圓C的方程為L+y2=i.

4

(2)點M與點N關于x軸對稱，設/(X|,y),N(玉，一X),設乂>0,

2

由于點M在橢圓C上，所以>「=1一

由T（—2,0）,則7M=（%+2，x）,77V=（xl+2,_y）,

7M?777=（%+2,必＞（玉+2,_弘）

=（玉+2）~—yj=（%+2）2—1_點）

5..5f8?1

2+毋+3=#+燈

由于一2c玉v2,

oi3

故當％=-二時，7M?刀V的最小值為一g，所以弘=勺，故加

又點”在圓T上，代入圓的方程得到尸=石.

1Q

故圓7的方程為：（%+2）9一+丁=9

（3）設P（Xo，%）,則直線MP的方程為：y一%=&5^（“一天），

玉）一玉

令y=o,得",同理：/=x°（）+x。〉.

%—x%+x

又點M與點P在橢圓上，

故x°2=4（1-婕）,犬=4（1一城），代入上式得：

4（1-消為2_4（］_%2）y243一城）

XR.Xs=-------------------——=~~盧=4，

%-y%—y

所以|。印3|=間?kI=|4?々|=4

【點睛】

本題考查了橢圓的幾何性質、圓的軌跡方程、直線與橢圓的位置關系中定值問題，考查了學生的計算能力，屬于中檔

題.

18、（1）A=-；（2）。=2.

6

【解析】

試題分析：(1)由正弦定理得到百siM.sinC=sinC-cosA.消去公因式得到所以tanA=立.

3

進而得到角A；(2)結合三角形的面積公式，和余弦定理得到b+c=2+2百，聯立兩式得到a=2.

解析:

(I)因為由asinC=ccosA,所以cosAwO,

b

由正弦定理「

sinAsinBsinC

得VSsinA-sinC=sinC?cosA?

又因為Ce(O,^),sinCwO,

所以tanA=3.

3

又因為Ae(O,乃)，

TT

所以A=：.

6

(II)由2；^18c=5匕csinA=，得be=，

由余弦定理a2^b2+c2-2hccosA,

^a2=b2+c2-2&ccos—,

6

2

即a=(人+c)2—2bc—屜c=(8+c)2—8g—12,

因為b+c=2+2>/L

解得片=4.

因為a>0,

所以a=2.

19、(1)(-oo,2)(2)見證明

【解析】

(1)利用零點分段法討論去掉絕對值求解;

(2)利用絕對值不等式的性質進行證明.

【詳解】

(1)解：當a=2時，不等式可化為|2x+2|>3<

2..

當工工一1時，-2x-2>3x,x<--,所以x〈-l；

當x>-l時，2x+2>3x,-l<x<2.

所以不等式/(X)>3x的解集是(-8,2).

(2)證明：由/(2)<M,得M?|a+2|,M>\2a+2\,

3M=2M+M>2\a+2\+\2a+2\,

X2|?+2|+|2a+2|>|4-2|=2,

2

所以3M22,即MN—.

3

【點睛】

本題主要考查含有絕對值不等式問題的求解，含有絕對值不等式的解法一般是使用零點分段討論法.

20、(1)(x-l)2+(j-l)2=l,p=V2cos(0<^<|；(2)口喑或a71

12

【解析】

(1)根據曲線C的參數方程消去參數/,可得曲線C的直角坐標方程，再由|OC|=&,|OP|=|oqcosNPOC,

可得點P的軌跡G的極坐標方程；

(2)將曲線C極坐標方程求,與直線/極坐標方程聯立，消去3,得到關于夕的二次方程，由P的幾何意義可求出IA8|,

而(1)可知|OP|=0COS然后列方程可求出a的值.

【詳解】

(1)曲線。的直角坐標方程為(x—+(>—1)2=1,

圓c的圓心為c,|oc|=g,設所以/poc=e—

則由|op=|oc|cosZPOC,即展正cos(e-7)[o<e<9為點P軌跡的極坐標方程.

(2)曲線C的極坐標方程為p1-200COS/-+1=0,

將與曲線C的極坐標方程聯立得，P2-202cos(a-7)+1=0,

設A(/7|,a),8(/?2，a“0<a4

n

所以="-村=J8cos2)-4=2J2cos2(a

由IA8|一|0P|=G,BP2J2COS2\a---1x72cosa--=5

V、I4；I4；

令V3

cos]”?＜以，1,上述方程可化為16根4一8m2一3=0,解得m=——?

2

由3卜一(卜字-所以a-+±2即。若或。

【點睛】

此題考查參數方程與普通方程的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，利用極坐標求點的軌跡方程，考查運算求

解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題.

21、(1)證明見解析(2)也

7

【解析】

(1)取8C中點M,連接根據菱形的性質，結合線面垂直的判定定理和性質進行證明即可;

(2)根據面面垂直的判定定理和性質定理，可以確定點3到直線A尸的距離即為點3到平面P4尸的距離，結合垂線

段的性質可以確定點E到平面小尸的距離最大，最大值為1.

以A為坐標原點，直線A￡AB,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系A-xyz.利用空間向量夾角公式，結合同角

的三角函數關系式進行求解即可.

【詳解】

(1)證明：取BC中點M，連接PM,AM,

因為四邊形ABC。為菱形且NBAD=120°.

所以AA/