二次函數與相似的結合

題型一：動點在線段上

如圖，平面直角坐標系X。)，中，5(—1,0),一次函數y=—x+5的圖像與x軸、y軸分別

交于點A、C兩點，二次函數y=—d+bx+c的圖像經過點A、點8；

(1)求這個二次函數的解析式；

(2)點P是該二次函數圖像的頂點，求△APC的面積；

(3)如果點。在線段AC上，且△4BC與△AOQ相似，求點Q的坐標；

如圖，拋物線、=改2+2依+。3>0)與彳軸交于4—3,0)、B兩點(A在6的左側)，

與y軸交于點

C(0,-3),拋物線的頂點為M；

(1)求4、C,的值；

(2)求tanNAI4c的值：

(3)假設點尸是線段AC上一個動點，聯結OP；問是否存在點P,使得以點。、C、P

為頂點的三角形與△ABC相似？假設存在，求出尸點坐標；假設不存在，請說明理由;

如圖，拋物線y=a/-x+c的對稱軸為直線x=l,與x軸的一個交點為A(-1,0),

頂點為8.點C(5,m)在拋物線上，直線BC交x軸于點￡

(1)求拋物線的表達式及點E的坐標；

(2)聯結43,求的正切值：

1,3

.二..拋拋物物線線的的表達式為>>%X一-]1.............................................................................（(22分)）

...頂點8（1,-2）......................................................（1分）

?.?點C(5,m)在拋物線上，，加=6.；.C點坐標為(5,6).

設直線8c的表達式為y=kx+b(k#0),

6=_2

那么15k+bk即8c的表達式為y=2x-4.

-2=k+b[Z?=-4.

：.E[2,0)..............................................................(1分)

(2)作C”_Lx軸，垂足為從作BP_Lx軸，垂足為P,

VC[5,6),A(-1,0),CH=6=AH.：.ZCAH=45°.

'：B(1,-2),A(-1,0),BP^AP.：.ZBAP^5°.

：.ZCAB=90°...........................................................(1分)

,/CH=6=AH,CH_Lx軸，AAC=60.

：BP=2=4P,8P_Lx軸，；.AB=20.

：.tanZfi=—=3.....................................................(2分)

AB

(3)'：ZCAB=90°,，N8+/ACB=90°.

VG/W1BC,AZCGM+ZACB^.：.ZCGM=ZB.........................(1分)

△CGM與AABE相似，；.NBAE=NCMG或NR4E=NMCG.

情況1：當NBAE=NCMG時，

VZS4f=45°,AZCMG=45°.'：GM±BC,：.ZMCE=45°.：.ZMCE=ZEAB.

VZAEB^ZCEM,.?.△ABEsACME....................................(1分)

BEAEV53,、,

二----=——.即nn二一=—=,/.￡/W=5.：.M(,7,0)........................(1

EMCEEM3非

情況2：當N8AE=//WCG時，

VZBAE=ZCAM,：.ZMCG=ZCAM.：.MC^MA.........................(1分)

設M(x,0),VC(5,6),A(-1,0),/.(x+1)2=(x-5)2+62./.x=5.

：.M（5,0）...........................................................（1分）

題型二：動點在線段的延長線上

如圖7,拋物線y=-無2+"+3與x軸交于點A和點8（點A在點3的左側），與y軸交

于點C,且OB=OC,點。是拋物線的頂點，直線AC和30交于點E。

（1）求點。的坐標；

（2）聯結C。、BC,求NO8C的余切值；

（3）設點M在線段C4延長線上，如果和△ABC相似，求點M的坐標。

63

【答案】（1）D（l,4）⑵3⑶(5，-5)

【解析】（1）???拋物線丫=一/+加+3與軸的交于點A和點6（點A在點8的左側）

與y軸交于點C，C（0,3），且03=OC,以3,0）

.?.一9+3》+3=0,角軍得6=2

>'.y=—x~+2x+3;??D(1,4)

(2)'：OB=OCZOCB=ZOBC=45°:.ZDCy=45；

(3)由y=—X?+2x+3，可得，在AOC和BCD中，--3,

AOCD

ZAOC=NDCB=90°/.AAOC^ABCD,

又ZACO=ZCBD;ZACB=ZACO+OCB=ZE+ZCBD

；.NE=NOCB=45。;

當和AABC相似時，可知NE=NCB4;

又點在線段的延長線上，ZACB=NEBA,可得NEMB=ZACB;

MB=BC=35,

由題意，得直線的表達式為y=3x+3；設M(x,3x+3).

.?.。-3)+(3%+3)2=18,解得不=—±%,=0(舍去)

5■

???點M的坐標是(-?!，—當

題型三：動點在對稱軸上

如圖，拋物線了=一無2+"+。經過點8(3,0),。(0,3),。為拋物線的頂點。

(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；

[2)點C關于拋物線yn—i+bx+c的對稱點為￡點，聯結BC,BE,求NCBE的正

切值；

13)點M是拋物線對稱軸上一點，且△DMB和△BCE相似，求點"的坐標。

【答案】⑴y=—/+2x+3；0(1,4)⑶-M(l,-2)或

'2(3)I3；

【解析】(1)二拋物線3=--+樂+。經過點5(3,0),。(0,3)

—9+3人+c=0b=2

可解得\

c=3c=3

y=-x2+2x+3頂點坐標0(1,4)

(2)過點E作垂直于BC交于點”

???點。與點E關于對稱軸x=1對稱

E(2,3),CE=2,CE平行于x軸

OC=O3=3

/OBC=NECB=45。,BC=3g

在等腰直角三角形ECH中，CE=2

：.CH=EH=41

在直角三角形EHB中，BH=BC-CH=272,

EH=41

：.tanNCBE=2=^^=L

BH2V22

...NCBE的正切值為-

2

(3)設拋物線對稱軸x=l交x軸與點廠

?在直角三角形。尸B中，DF=4,BF=2

BF1

AtanZ5Z)F=^-=-,ZBDF=ZCBE

DF2

...點M在點。的下方

當ADMB與ABCE相似時，有以下兩種情況:

①當也_=BCDM=出可解得QM=6

時，即

DB~BE2V5V10

：.M（l,-2）

②當也=BEDM=少可解得OA/=W

時，即

DBBC2V53V23

綜上所述:M(l,—2)或

2)動點在平移后的對稱軸上

在平面直角坐標系中，點A(4,0)是拋物線＞=4/+2%+。上的一點，將此拋物線向下平移

6個單位以后經過點3(0,2),平移后的新拋物線的頂點記為C,新拋物線的對稱軸和線段

A8的交點記為P。

(1)求平移后得到的新拋物線的表達式，并求出點C的坐標；

(2)求NC48的正切值；

(3)如果點。是新拋物線對稱軸上的一點，且△BCQ和△ACP相似，試求點。的坐標。

【答案】(1)y=-x1+2x+2-,C(l,3)(2)tan/CAB=；⑶。。,|)或。2(1，-1)

【解析】

⑴?.,點A(4,0)是拋物線y=G?+2x+c上的一點，代入得：lGz+8+c=0①

又?.?拋物線向下平移6個單位以后經過點8(0,2),平移后的拋物線解析式為:

y=ax2+2x+c-6。

代入得：c—6=2,c=8②，由①②得：a=—l,c=8

平移后得到的新拋物線的表達式：y=-x2+2x+2,頂點C(l,3)

(2)?.?44,0)、8(0,2)、C(l,3).易得。8=痣,04=3后,胡=2百

由勾股定理逆定理得△A8C是直角三角形，tanZ.CAB=—=-

CA3

(3)設拋物線對稱軸與x軸相交于點”

133

XAPHsXABO,PH=—AH=—,CP=—

222

易得N6CP=ZACP=45°,CB=Q,CA=3幾CP='

2

點。只能在對稱軸點。的下方，△8CQ和△ACP相似，有以下兩種情況：

3

①普去詈帚。乩|)

②也與半=半,CQ=4,Q,(f

CBCP422上--

2

綜上，。(1,|)或。2(1,-1)

題型四：動點在某直線上

如圖，拋物線y=ax2-2x+c經過AABC的三個頂點，其中點A(0,1),點8(9,10),AC〃x

軸.

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)求tanNABC的值；

(3)假設點。為拋物線的頂點，點E是直線AC上一點,

當ACDE與AABC相似時，求點E的坐標.

(第24題圖)

【參考答案】24.解：(1)；拋物線丁=公2—2%+。經過點4(0,1)和點8(9,10)

c=l

1分

81a-18+c=10

1

d——

解得32分

c=1

.?.這條拋物線的解析式為y=gr-2x+l............................................1分

(2)過點B作8〃_L4C,垂足為H

,AC//,A(O,1),B(9,10).,.小9,1)

:.BH=AH=9又”NBHA=9()。

.?.△”48是等腰直角三角形

.?.NH4B=45°..............................................................................1分

.AC〃x軸，A(O,1),點C也在該拋物線上

過點。作CGLAB,垂足為點G

：.CG=AC?sin45°=372...............................................................1分

sin45°

BG=9我-3夜=60.......................................................................1分

.?.在RtZsBCG中，tan/A8C=^=工.......................1分

BG2

(3)過點D作。KJ.AC,垂足為K

:點D是拋物線y=；/-2x+1的頂點；.2)(3,-2).....................1分

K(3,l)

CK=DK=3又,:NCKO=90°ACDK是等腰直角三角形

ZDCK=45°

又???ZBAC=45°

.../DCK=/BAC...............................................................................1分

.?.當4CDE與4ABC相似時，存在以下兩種情況：

ACEC.6_EC

10：.EC=2A￡(4,1)1分

"9V2"3V2

〃玲喑?瑞=瞑89?㈤TD

1分

題型五：動點在九軸上

如圖9,在平面直角坐標系中，頂點為M的拋物線y=辦2+法(。＞0)經過點A和x

軸正半軸上的點8,AO=OB=2,ZAO5=120°.

11)求這條拋物線的表達式；

(2)聯結OM,求NAOM的大小；

(3)如果點。在x軸上，且AABC與aAOM相似，求點C的坐標.

t

2023年青浦一模24】，如圖8,在平面直角坐標系中，拋物線'y=ad-4ax+l與x軸正半

小

\/

軸交于點A和點3,與y軸交于點C,且03=3OC,點P是第一象限內的點，聯結3C,

△P3C是以3c為斜邊的等腰直角三角形.________\___________=

(1)求這個拋物線的表達式；°.B

(2)求點P的坐標；加

圖9

(3)點。在x軸上，假設以Q、0、P為頂點的三角形與以點C、A、B為頂點的三角形

相似，求點0的坐標.

1,4

【答案】(1),-.y=-x2一一x+\：.P(2,2)點Q坐標為(一2,0)或(-4,0)

33(2)

【解析】⑴由題意可得C(0,l)；.O3=3OC=3.?.5(3,0)

代入y=ax2-4ax+l^a--y--x2-—x+\

333

(2)過點P作

PE±y軸,PF1x軸APBC為等腰直角三

角形

:.PC=PB

???ZEPC+ZCPF=ZFPB+ZCPF=90°

:.NEPC=NFPB

：.Rt"CE/RtAPF氏AAS)/.EC=BF

可證四邊形PEOF為正方形EC+OC=OB-BF-：OC=1,OB=3EC+\=3-BF,

解得EC=BF=1：.OE=OF=2:P在第一象限內，尸(2,2)

(3)AC=V2,AS=2vC(0,l),A(l,0)/.OC^OA,可得A4OC為等腰直角三角形

NOAC=45°NC4B=135°,那么點。在y軸左側

。。:C4

\Q,OP^\CAB

~OP~~AB

O。1=0P號=￥*2正=2,2,(-2,0)

OPCA

bPOQ]s\CAB

ii.~OQ,~~XB

OQ?=OP*=2后x正=4Q2(-4,0)

AC

假設點。在y軸右側，不存在

綜上所述：點Q坐標為(一2,0)或(-4,0)

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-/+fer+c與x軸相交點4-1,0)和點8,與y軸相

交于點C(0,3),拋物線的頂點為點D,聯結AC.BC,DBDC。

(1)求這條拋物線的表達式及頂點。的坐標；

(2)求證：ACO^\DBC

(3)如果點E在x軸上，且在點3的右側，ZBCE=NACO,求點￡的坐標。

【答案】(1)y=-x2+2x+3.D(1,4)⑵略⑶E(6,0)

【解析】⑴：拋物線過點A(-i,0)和點C(0,3),

將兩點坐標代入解析式可得：

T—[J3c=°可解得,：3

Ay=-x2+2x+3

根據頂點公式可得D(1,4)

⑵代入y=0到y=-(x-1)-+4求得％=-1,x2=3,所以有3(3,0)

可以求得：Q4=1,OC=3AC=?2+32=715,

BD="4-0『+(2-4『=V20,

mRD_

在,ACO和.DBC中，有--------=----=y/2,,

AOOCAC

(3)在OC上取一點F使得OF=OA,

由(2)得B(3,0),C(0,3),OB=OC,/.ZOBC=45°,ZCBE=135°

?.?OA=OF,/AFO=45°,NAFC=135°,ZAFC=ZCBE,又；/BCE=/AC。，

AAFC^ABCE

CFAF

"~CB~~BE'

BE=3,；.OE=UB+BE=6

題型六：動點在拋物線上

如圖1,拋物線的方程Cl：y=—_l(x+2)(x—機)(m>0)與x軸交于點8、C,與y軸交于點

m

E,且點8在點C的左側.

(1)假設拋物線C1過點”(2,2),求實數m的值；

(4)在第四象限內，拋物線C1上是否存在點F,使得以點8、C、F為頂點的三角形與

△BCE相似？假設存在，求m的值；假設不存在，請說明理由.

圖1

【解析】(1)將M(2,2)代入y=-■-(x+2)(x-/n)?得2=-■-x4(2-z/7)-解得m=4.

mm

(4)①如圖3,過點8作EC的平行線交拋物線于F,過點F作FF」x軸于尸.

由于N8CE=NFBC,所以當笠=生，即3C2=CE-3尸時，ABCES/^FBC.

CBBF

117J71pc—(X+2)(X—777)Q

設點F的坐標為由竺"一絲.得&-------------±.

mBF，COx+2m

所以F'(m由空="，得m=空±.所以

解得x=m+2.+2,0).

CEBF，〃/+4BF

(m+4)J〃L+4

Dr=----------------------------

m

得(加+2)2=，及2+4X0”+爾府+4.整理，得0=16.此方程無

由BC2=CE-3尸，

m

解.

圖2圖3圖4

②如圖4,作NCBF=45°交拋物線于F,過點F作印，x軸于尸，

由于/EBC=NCBF,所以匹="_,即時，ABCESABFC.

BCBF

在RtaBFF'中，由FF'=8F',W—(x+2)(x-m)=x+2.

m

解得x=2m.所以尸(2肛0).所以BF'=2m+2,3/=忘(2m+2).

由=尸，得QW+2)2=2&X應(2帆+2).解得加=2±2&.

綜合①、②，符合題意的m為2+20.

2)動點在直線下方的拋物線

24.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=f+Z?x+c的圖像與％軸交于A、8兩點,

8點的坐標為(3,0),與＞軸交于點C(0,-3),點p是直線8C下方拋物線上的任意一

點;

(1)求這個二次函數yuV+Ax+c的解析式；

(2)聯結PO、PC,并將△POC沿y軸對折，得到四邊形

POP'C,如果四邊形POPC為菱形，求點P的坐標；

(3)如果點P在運動過程中，能使得以尸、C、B為頂點的

三角形與△AOC相似，請求出此時點P的坐標；

【正確答案】

3)動點在直線上方的拋物線

如圖11所示，拋物線y=Y-l與x軸交于4、B兩點，與y軸交于點C.

(1)求A、B、C三點的坐標.

(2)過點A作AP〃C8交拋物線于點P,求四邊形ACBP的面積.

(3)在X軸上方的拋物線上是否存在一點M,過M作軸

于點G,使以A、M、G三點為頂點的三角形與APCA相似.

假設存在，請求出M點的坐標；否那么，請說明理由.

【解析：】(1)令y=0,得/一1=0解得