PAGEPAGE6第3章賦范線性空間3.1賦范線性空間和Banach空間3.1.1定義3.1.1(范數(shù)，賦范線性空間)設(shè)為是實(shí)（或：復(fù)）數(shù)域的線性空間，若對(duì)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)于之對(duì)應(yīng)，且滿足下列條件：(1);且；（非負(fù)性(non-negativity)）(2)，；（正齊（次）性(positivehomogeneity)）(3)，；（三角不等式(triangleinequality)）則稱為的范數(shù)(norm)，稱（或：）為賦范線性空間(normedlinearspace)，簡(jiǎn)稱賦范空間(normedspace).例3.1.1空間是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)全體所成的線性空間。對(duì)，規(guī)定,(3.1.1)易證是的范數(shù)，則按上述范數(shù)成為賦范線性空間。例3.1.2設(shè)是閉區(qū)間上的Lebesgue可積函數(shù)全體所成的線性空間。對(duì)，規(guī)定,(3.1.2)若將在上滿足的兩個(gè)函數(shù)視為同一個(gè)函數(shù)，即將在上滿足的函數(shù)視為恒等于零的函數(shù)，即，則在上，是的范數(shù)，從而按上述范數(shù)成為賦范線性空間。例3.1.3在維實(shí)向量空間或維復(fù)向量空間（稱為酉空間）中，對(duì)（或），令，(3.1.3)或或,它們都是的范數(shù)，稱(3.1.3)中的范數(shù)為Euclidean范數(shù)，按范數(shù)(3.1.3)所得到的賦范線性空間稱為Euclidean空間。例3.1.4（空間）是閉區(qū)間上連續(xù)，在中處處次連續(xù)可微的函數(shù)全體所成的線性空間。對(duì)，令，(3.1.4)則是的范數(shù)，按上述范數(shù)成為賦范線性空間。定義3.1.2設(shè)是賦范線性空間，對(duì)，令，(3.1.5)則稱為由范數(shù)決定的度量。注1易驗(yàn)證滿足度量的3個(gè)條件。注2我們今后對(duì)每個(gè)賦范線性空間總是按照(3.1.5定理3.1.1設(shè)是線性的度量空間（即：既是線性空間，又是度量空間），若度量是由某個(gè)范數(shù)決定的，則滿足：對(duì)，是數(shù)，有，.(3.1.6)反之，若滿足(3.1.6)，則就是的范數(shù)。也就是說(shuō)：(3.1.6)是線性的度量空間成為賦范線性空間（指范數(shù)與度量滿足(3.1證設(shè)度量是由某個(gè)范數(shù)決定的，即，則對(duì)，是數(shù)，有.反之，若度量滿足(3.1.6)，定義.(1)若；(由度量的定義立得。)(2).(由(3.1.6)得)(3).證畢！注并不是所有的度量都是由某個(gè)范數(shù)所決定的。例如,在數(shù)列空間中，度量為，若令，則對(duì)常數(shù)，顯然它不滿足正齊（次）性條件.又如離散度量空間。設(shè)為任一非空集，定義如下：對(duì)，若令，則對(duì)常數(shù)，顯然它也不滿足正齊（次）性條件.(.)由此可知：由范數(shù)所決定的度量主要是針對(duì)線性空間定義的度量，它除了滿足一般度量的3個(gè)條件，還必須滿足正齊（次）性，這是一般度量所不具備的。另外，范數(shù)是向量長(zhǎng)度的推廣，因此向量的長(zhǎng)度當(dāng)然要滿足：，而一般度量（距離）卻沒(méi)有這樣的要求。例3.1.5（空間）（即方絕對(duì)收斂的實(shí)（或：復(fù)）數(shù)列的全體），按照對(duì)每個(gè)坐標(biāo)的線性運(yùn)算成為線性空間。對(duì)，是的范數(shù)，按照成為賦范線性空間。例3.1.6（空間）設(shè)是有界實(shí)（或：復(fù)）數(shù)列全體按通常的線性運(yùn)算所成的線性空間（它是的線性子空間）。對(duì)于，是的范數(shù)，則按照成為賦范線性空間。例3.1.7（空間）設(shè)是區(qū)間上的實(shí)（或：復(fù)）有界變差函數(shù)的全體，按照通常的線性運(yùn)算，它是一個(gè)線性空間。對(duì)，令，(3.1.8)則是的范數(shù)，則按范數(shù)成為賦范線性空間。令,它是的線性子空間。在上，范數(shù)等于全變差.證按照通常的線性運(yùn)算是線性空間，這一點(diǎn)是顯然的。今證(3.1.8)定義的范數(shù)滿足定義3.1.1的3(1)對(duì)，顯然;且.(2)顯然；(3);故由定義3.1.1知：是的范數(shù)，且按范數(shù)成為賦范線性空間。證畢！3.1.2Banach空間定義3.1.3設(shè)是賦范線性空間，，若當(dāng)時(shí)，，則稱點(diǎn)列依范數(shù)收斂于(convergestoinnorm)，記作(或：).并稱為收斂點(diǎn)列(convergentsequence)，稱為點(diǎn)列的極限(limit).定義3.1.4設(shè)是度量空間，是中的點(diǎn)列。若對(duì)，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱是中的基本點(diǎn)列，或Cauchy點(diǎn)列。定理3.1.2(1)度量空間中的收斂點(diǎn)列必是基本點(diǎn)列.(2)設(shè)是度量空間中的基本點(diǎn)列，若有子點(diǎn)列收斂于中的點(diǎn)，則也收斂于.定義3.1.5設(shè)是度量空間，若中的每個(gè)基本點(diǎn)列都收斂，則稱是完備（度量）空間。若是度量空間的子空間，若作為度量空間是完備的，則稱是中的完備子空間。完備的賦范線性空間稱為巴拿赫（Banach）空間。注1一個(gè)不完備的度量空間可以有完備的子空間。注2完備度量空間的閉子空間必是完備的子空間；任何度量空間的完備的子空間必是的閉子集。例3.1.8維Euclidean空間按范數(shù)，，是Banach空間。例3.1.9按范數(shù)是Banach空間。證在空間中，因?yàn)閷?duì)，在上一致收斂于,所以由數(shù)學(xué)分析知：.只要證明中的任意基本點(diǎn)列是上的一致收斂點(diǎn)列即可。Infact設(shè)是中的任意基本點(diǎn)列，即對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有.從而只要，對(duì)任何，必有.由數(shù)列的Cauchy收斂條件知：在上收斂于某一個(gè)函數(shù).再在上式中令，得因此由的任意性得：，即在上一致收斂于.證畢！例3.1.10按范數(shù)是Banach空間。證（自證！