專題5.2函數的基本性質TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點1：函數的單調性及單調區間】 1【考點2：已知函數的單調性求參或求自變量】 2【考點3：利用函數的單調性求最值】 3【考點4：判斷或證明函數的奇偶性】 4【考點5：函數奇偶性的應用】 5【考點6：函數單調性與奇偶性的綜合應用】 6【考點1：函數的單調性及單調區間】【知識點：函數的單調性及單調區間】1、函數單調性的定義增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的2．復合函數單調性的規律若兩個簡單函數的單調性相同，則它們的復合函數為增函數；若兩個簡單函數的單調性相反，則它們的復合函數為減函數．即“同增異減”．3．函數單調性的性質(1)若f(x)，g(x)均為區間A上的增(減)函數，則f(x)＋g(x)也是區間A上的增(減)函數．更進一步，有增＋增→增，增－減→增，減＋減→減，減－增→減．(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調性相反．(3)在公共定義域內，函數y＝f(x)(f(x)≠0)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)單調性相反；函數y＝f(x)(f(x)≥0)與y＝eq\r(fx)單調性相同．1．（2021秋?東海縣期中）函數f（x）=1A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0）和（0，+∞）2．（2021秋?邗江區期中）下列函數中，在（﹣∞，0）上為減函數的是（）A．y=?1x B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝（多選）3．（2021秋?灤南縣校級月考）下列函數中滿足“對任意x1，x2∈（0，+∞），都有f(xA．f（x）=?2x B．f（x）＝﹣3xC．f（x）＝x2+4x+3 D．f（x）＝x﹣14．（2021秋?灤南縣校級月考）函數y=1x25．（2021秋?朝陽區校級月考）已知函數f（x）＝x|x|﹣2x的單調增區間為．6．（2021秋?鼓樓區校級月考）已知函數f(x)=x+1（1）討論函數f（x）在（﹣2，+∞）上的單調性，并用定義證明；（2）當m∈（﹣2，2）時，有f（﹣2m+3）＜f（m2），求m的范圍．【考點2：已知函數的單調性求參或求自變量】【知識點：已知函數的單調性求參或求自變量】1．（2021?河北區學業考試）已知函數f（x）＝x2﹣kx﹣8在區間[5，20]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（）A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞） C．[10，+∞） D．[40，+∞）2．（2021秋?河西區期末）若函數f（x）=x+1x?k在區間（﹣2，+∞）上單調遞增，則實數A．（﹣∞，﹣1） B．{﹣2} C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣∞，﹣2）3．（2021秋?遼寧期中）已知函數f(x)=x2?2ax，x≥1ax?1，x＜1是A．（0，23） B．（0，23] C．（0，1）4．（2021秋?涼山州期末）已知f（x）＝ax2+1是定義在R上的函數，若對于任意1≤x1＜x2≤3，都有f(x1)?f(A．{0} B．[0，+∞） C．[?13，+∞)5．（2021秋?灤南縣校級月考）若函數f（x）＝x2+（2a﹣1）x+1在區間（﹣∞，2]單調遞減，則實數a的取值范圍為．6．（2021秋?武漢期末）若函數f（x）＝ax2+2x﹣1在區間（﹣∞，6）上單調遞增，則實數a的取值范圍是．【考點3：利用函數的單調性求最值】【知識點：利用函數的單調性求最值】1．函數的最值前提設函數f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件對于任意x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M對于任意x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值2.函數最值存在的兩條結論(1)閉區間上的連續函數一定存在最大值和最小值．當函數在閉區間上單調時最值一定在端點處取到．(2)開區間上的“單峰”函數一定存在最大值或最小值．1．（2022春?愛民區校級期末）若函數f(x)=2x+mx+1在區間[0，1]上的最大值為52A．3 B．52 C．2 D．52．（2022春?閻良區期末）設函數f(x)=2xx?2在區間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則M+A．4 B．6 C．10 D．243．（2021秋?南充期末）函數f(x)=kx?1(k＞0)在[4，5]上的最大值為1，則k4．（2021秋?山西期末）函數f（x）=x+1x?1，x∈[2，6]的最大值為5．（2022春?渭濱區校級期中）已知函數f(x)=2x?1（1）求f（x）的單調區間；（2）求f（x）在[﹣2，2]上的最大值與最小值．【考點4：判斷或證明函數的奇偶性】【知識點：判斷或證明函數的奇偶性】1．函數的奇偶性奇函數偶函數定義一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x都有f(－x)＝－f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數都有f(－x)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數圖象特征關于原點對稱關于y軸對稱2.判斷函數奇偶性的方法：(1)定義法：(2)圖象法：函數是奇(偶)函數?函數圖象關于原點(y軸)對稱.3.函數奇偶性的常用結論(1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性．(3)在公共定義域內有：奇±奇→奇，偶±偶→偶，奇×奇→偶，偶×偶→偶，奇×偶→奇．1．（2020秋?蓬江區期末）函數f（x）＝x+4x（A．奇函數，且在（2，+∞）上單調遞增 B．奇函數，且在（2，+∞）上單調遞減 C．偶函數，且在（2，+∞）上單調遞增 D．偶函數，且在（2，+∞）上單調遞減2．（2021秋?銅鼓縣校級月考）下列函數中，既是偶函數又在區間（0，+∞）上單調遞增的函數是（）A．y＝x B．y＝|x| C．y＝﹣x2+1 D．y=?3．（2021秋?海安市校級月考）設函數f（x）=x?2A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+14．（2022春?楊陵區校級期末）若函數f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數，則g（x）＝2ax3+bx2+9x是（）A．奇函數 B．偶函數 C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數5．（2022春?云浮期末）已知f（x）為R上的奇函數，g（x）為R上的偶函數，且g（x）≠0，則下列說法正確的是（）A．f（x）+g（x）為R上的奇函數 B．f（x）﹣g（x）為R上的奇函數 C．f(x)g(x)為R上的偶函數D．|f（x）g（x）|為R上的偶函數【考點5：函數奇偶性的應用】【知識點：函數奇偶性的應用】利用奇偶性解題的類型及方法：(1)求解析式：利用奇偶性將待求值轉化到方程問題上，進而得解．(2)求參數值：在定義域關于原點對稱的前提下，根據奇函數滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據等式兩側對應相等確定參數的值．特別要注意的是：若能夠確定奇函數的定義域中包含0，可以根據f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法．1．（2021秋?濱海新區校級月考）定義在R上的奇函數，當時x＜0，f（x）＝2x2﹣x，則f（2）＝（）A．6 B．10 C．﹣6 D．﹣102．（2021秋?高州市校級月考）已知函數f（x）＝ax3+bx2+cx+d是R上的奇函數，g（x）＝f（x）+1，已知g（2）＝5，則g（﹣2）＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．33．（2021?東湖區校級一模）已知f（x）＝ax2+bx是定義在[a﹣1，2a]上的偶函數，那么a+b的值是（）A．?13 B．13 C．?4．（2017秋?周村區期末）已知函數y＝f（x）在R上為奇函數，且當x≥0時，f（x）＝x2﹣2x，則當x＜0時，f（x）的解析式是（）A．f（x）＝﹣x（x+2） B．f（x）＝x（x﹣2） C．f（x）＝﹣x（x﹣2） D．f（x）＝x（x+2）5．（2018秋?南木林縣校級期中）若函數f（x）（f（x）≠0）為奇函數，則必有（）A．f（x）?f（﹣x）＞0 B．f（x）?f（﹣x）＜0 C．f（x）＜f（﹣x） D．f（x）＞f（﹣x）6．（2016秋?蘄春縣期中）已知f（x）＝ax?5bx+2（a，b∈R），且f（5）＝5，則f7．（2015秋?蕭山區校級期中）函數f（x）是定義在R上的偶函數，當x＜0時，f（x）＝x（x﹣1），則當x＞0時，f（x）＝．8．（2018秋?太湖縣校級期中）定義在R上的偶函數f（x）滿足：對任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有f(x2)?f(x1)x2?【考點6：函數單調性與奇偶性的綜合應用】【知識點：函數單調性與奇偶性的綜合應用】函數奇偶性與單調性綜合的兩種題型及解法：比較大小問題一般解法是利用函數奇偶性，把不在同一單調區間的兩個或多個自變量的函數值轉化到同一單調區間上，利用其單調性比較大小抽象不等式問題其解題步驟為：①將所給的不等式化歸為兩個函數值的大小關系；②利用奇偶性得出區間上的單調性，再利用單調性脫去函數的符號“f”，轉化為解不等式(組)的問題1．（2021秋?美蘭區校級月考）定義在[﹣1，1]上的函數y＝f（x）是減函數，且是奇函數，若f（a2﹣a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求實數a的取值范圍．2．（2021秋?順義區校級月考）設y＝f（x）是偶函數，且x≥0時，f（x）＝x（x