-6-2019江蘇高考數學微專題·解析幾何的補充橢圓中六個有意思的定值（需記憶）1.內容：若P,Q為橢圓(a＞b＞0)上兩點，且=，則有以下六個定值：①;②;③;④;⑤;⑥=ab.2.例題：（結論①-⑥的證明）若P,Q為橢圓C:上兩點，且=，證明以上六個結論.證明：結論①：由條件可得，①式平方變形得，②③式代入消去化簡得，證畢.結論②：模仿結論①可證.結論③：結論①②相加可證.結論④：，利用消去整理得，證畢.結論⑤：模仿結論④可證.結論⑥：利用坐標形式的三角形面積公式和結論⑤可證.二、橢圓中的定比分點問題例1.點M為橢圓C：上一動點，A(-2,0)，B(2,0)，AM，BM與橢圓C交于點P,Q，若,,求λ+μ.解：設M，P，Q.由條件可知，（下面有兩種思路）思路一：上述方程組變形得，同理可得又有，代入，表達式整理可得，又因為，代入并消去(λ-1)，整理得，同理有，則λ+μ=6.思路二：，因為M，A(-2,0)，表示出直線MA的方程為，則，與橢圓方程聯立，消去x得，由韋達定理得，即有，則，同理，λ+μ==6.例2.已知橢圓C：，直線l與橢圓C交于M,N兩點，與x軸，y軸交于Q,P兩點（點Q在x軸正半軸），，，，求證直線l過定點.證明：設直線l為y=kx+m，M，N，則P(0,b)，Q，因為，所以，代入橢圓方程得，同理，兩式相減，又因為點Q在x軸正半軸，所以b=-k，所以直線l橫過定點(1,0).例3.已知橢圓C：(a＞b＞0)，離心率為，短軸長為2.求橢圓C的標準方程；如圖，點A為橢圓C的左頂點，點P,Q為橢圓C上兩動點，PO交AQ于點E，QO交AP于點D，OP與OQ的斜率分別為，，且，，，λ與μ均非0，求.解：（1）.（2）設P，D，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，同理，所以，利用橢圓中六個有意思的定值中的結論①，得.例4.已知橢圓，過點P(1,1)作直線l與橢圓交于M,N兩點.（1）若點P平分線段MN，求直線l的方程.（2）設與滿足（1）中條件的直線l的平行的直線，與橢圓交于A,B兩點，AP與橢圓交于點C，BP與橢圓交于D，，，證明：.解：（1）.證明：（2）設A，B，直線AB方程為因為，所以，代入橢圓方程得，則，則，同理，又因為點A,B都在直線AB上，所以，，所以，證畢.三、隱圓問題（1）到定點的距離等于定長①直接,②間接（圓的定弦的中點、四等分點等）.內容補充：矩形的性質若點O為矩形ABCD所在平面上一點，則.例1.已知圓O：，點M(1,1)，，求線段AB長的取值范圍.解：以MA,MB為相鄰兩邊構造一個矩形AMBN.由矩形的性質知,則，點N在以O為圓心，6為半徑平方的圓上運動，又因為AB=MN，易得線段AB長的取值范圍是.例2.（例1的一般化）已知圓O：，點M(1,1)，，求證：點N在一個定圓上運動.證明：連接AB，記線段AB中點為P.由極化恒等式，，則.又由中線定理，有和，所以，所以，所以點N在以原點為圓心，為半徑的圓上運動.四、幾個平幾知識1.角平分線定理內容:內角平分線定理：如圖，AD為∠BAD的內角平分線，則，反之成立.外角平分線定理：如圖，AD為∠BAD的外角平分線，則，反之成立.*注：內外角平分線定理均可用正弦定理證明，在此略.例：一橢圓中，點，分別是該橢圓的左右焦點，點A是該橢圓上一點，射線AD是∠A的角平分線，點I是△A的內心，且滿足關系,試求該橢圓的離心率.解：由角平分線定理，，所以該橢圓的離心率為.2.對于對角線互相垂直的平面四邊形ABCD，有.（證明用勾股定理）3.中垂