第08章化歸與辯證的思想方法

匈牙利數學家路沙?彼得指出：“數學家往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將它

變形，直至把它變成能夠得到解決的問題”，講的就是數學解題中化歸的思維方法，其在作品《無

窮的玩藝一數學的探索與旅行》一書中對“化歸”作過生動而風趣的描述：“假設在你面前有煤

氣灶、水龍頭、水顯，你想燒開水，該怎樣去做?”正確的回答是：“在水壺中放上水，點燃煤氣，再

把水壺放到煤氣灶上接著路沙又提出第二個問題：“如果其他的條件都沒有變化，只是水壺

中已有足夠多的水，那么你又應當怎樣去做?”對此，人們往往回答說：“點燃煤氣，再把壺放到

煤氣灶上.”但路沙認為這并不是最好的回答，因為“只有物理學家才這樣做而數學家則會倒

去壺中的水，并且聲稱他已經把后一問題化歸成先前的已經得到解決的問題了

路沙?彼得的比喻固然有點夸張，但這種思維方式對數學家來說是十分典型的，道出了化歸

的根本特征.這就是說,在解決問題的過程中，數學家往往不是直接解決原問題，而是把所要解決

的問題經過某種變化，使之歸結為另一個問題，再通過另一個問題的求解，把解得的結果作用

于原問題，從而使原問題得解，這種解決問題的思想，我們稱之為化歸思想.

所謂“化歸”，從字面上看，可以理解為轉化和歸結的意思。在對問題作細致觀察的基礎上,

展開豐富的聯想，以求喚起對有關舊知識的回憶，開啟思維的大門，順利地借助舊知識、舊經

驗來處理面臨的新問題，化歸思想的實質是通過事物內部的聯系和矛盾運動，把所需要解決的

問題轉化為已經解決的問題，或容易解決的問題，同原問題相比，化歸后的新問題必須是已經

解決或較為熟悉、簡單的問題，它是數學中最重要、最基本的思想之一.

利用化歸解決問題的過程如圖8-1所示.

圖8-1利用化歸解決問題

解題是數學學習的一個最基本的形式,運用辯證的思想和方法探索問題、分析和研究問題,

解決問題，是培養學生辯證思維，提高數學解題能力的有效途徑.將一個非基本的問題通過分

解、變形、代換或平移、旋轉、伸縮等多種方式，將它化歸為一個熟悉的基本問題，從而求出解

答，這一過程其實也是辯證思維的過程.

數學中充滿著矛盾、運動和變化，充分體現了辯證思想，包括如下幾個重要方面:對立統一思

想、互變思想、轉換思想、一分為二思想等，具體表現在下列方面.

(1)“熟悉”與“陌生”：數學解題過程也就是把陌生的問題通過適當變換、逐步轉化為熟悉的

問題,化陌生為熟悉起到推陳出新、化難為易的作用.

(2)“合”與“分”：從辯證思維的角度分析數學解題中的分與合，就是化整為零和聚零為整思

想的應用，即在解題過程中先將原問題進行分解、化歸為較易解決的小問題，各個手不易解決,

這時應該從問題的反面去思考，這就是“正難則反”，這樣解題會收到意料不

(4)“動”與“靜”：有些數學問題往往是“靜”在其表，而動在其“里”，動和靜是事物狀態表

現的兩個側面，可用動態的觀點來處理靜的形態和數量關系，即以動求靜，當然也有用靜態的

觀點來處理運動過程及其對象，即以靜求動.因此，在求解數學題時，要善于利用“變動”的思

想，動中求靜，靜中思動，培養思維的靈活性.

⑸“進”與“退"：在數學問題的求解過程中既要能“進”，更要能“退”，采用以退求進，進退結

合的方法尋求解題途徑.如分析法是由結論向條件退，把空間問題轉化為平面問題則是由高維

向低維退，由抽象的數學問題向具體的幾何模型退."退”為了“進”，進而解決

⑹“一般"與“特殊”：“一般”概括了“特殊”，“一般”比“特殊”更能反映事物的本質,

命題的一般結論可以從特殊情況中反映出來，而特殊情況往往是更具體化、簡單化，從而易于人

手，發現解題規律，數學中的歸納思想,也可以看作是從特殊到一般的轉換

(7)“強化”與“弱化”很多較難的數學題，一般可采用“弱化”的方法進行思考，但也有

(8)“抽象”與“具體”：抽象是在對事物進行的由表及里、去粗取精、去偽存真的基礎上抽取

提煉出事物的本質屬性，舍棄事物的非本質屬性，借以形成科學的概念和揭示事物的發展規律的

一種思維,具體就是把抽象的概念、結論和規律表現于直觀、簡單、清晰明確的對象或問題.而

人們認識發展的具體過程常表現為:感性具體一抽象一綜合一理性具體.這就是我們運用具體

與抽象的轉換思想解題的路線圖.

(9)“直”與“曲”：直與曲是兩種不同的形象，從其幾何特征看，前者曲率是零，后者曲率不

是零；從解析表達式看，前者為直線方程，后者是非直線方程，直與曲的對立是極為明顯的,但也能

夠統一.實際上，曲直轉換的思想早在我國古代就產生了，數學家劉徽在為前人著作《九章算

術》加注時，就在論述割圓術時明確指出了曲直轉換的方向：“割之彌細，所失彌少，割之又割,

以至于不可割，則與圓合體而無所失矣當然，曲與直互相轉換的思想方法是在微積分中才真

正地實現的.立體幾何中有關曲面上的問題，直接求解比較困難，往往把它展開成平面圖形，使曲

面(或折面)有關問題轉化為平面上的問題,使曲線(或折線段)能化為直線段的問題去求解，運用

“曲”向“直”轉化能化難為易。

(10)“主”與“次”：一般而言，代數中的含參數問題以及解析幾何中的含參數問題都有一定難

度,對這類問題的解決，有時需對參數的意義，特別是對主元與次元進行轉換，也就是“變元”，

起到化難為易、化繁為簡的作用,具體為①變換主元、次元的位置；②引人參數代替題中的主元;

③消去主元，使次元升為主元，這些都體現了辯證思想的運用.

用辯證思想解題，除了上述十大關系的轉換之外，還有整體與局部的轉換、有限與無限的轉

換、或然與必然的轉換、正運算和逆運算的轉換、高級運算與低級運算的轉換等.另外，互變思

想也是辯證思想的重要組成部分，包括常量與變量的互變，因果關系的互變、質與量的互變等.

化歸與辯證的思想使我們感悟到：一切固定差別都消失了，一切都可以用相對或相反的形式

表示出來，而這種從一種形態到另一種相對或相反形態的轉換，并不是無聊的游戲，它是數學

科學的最有力的杠桿之一.

第四十八講縱向化歸解題法

縱向化歸是把面臨的新問題，通過減元、降維等加工手段化歸為已知(已解決)的問題，或是化

歸為熟悉的，簡單的、具體的問題來處理，最后通過對新問題的解決而將原問題圓滿解決，比如

解不等式的化歸過程是：

超越不等式一代數不等式一有理不等式一一次或二次不等式.

數列問題的化歸過程是：

一般數列問題尤其是遞推數列問題一等差或等比數列T結合等差或等比數列的性質求解.

解析幾何問題的化歸過程是：幾何問題一函數或方程問題.

立體幾何問題的化歸過程是：空間問題(通過構造輔助平面)T平面問題

［例1］(1)當實數a取何值時，方程lg(^-l)+lg(3-x)=lg(l-ar)有一個實數解、兩

個實數解，沒有實數解？

(2)定義區間(m,n)\m,n\,(rn,n\\m,n)的長度為n-m,其中n>m,由不等式組

［工>1,

<1+x的解集構成的各區間長度的和等于6.求實數t的取值范圍.

log2x+log2(?x+3z)<2

【解題策略】

第(1)問是一道含參數對數方程的根個數的討論，屬于經典例題，可以運用代數的方法解，也

可以運用數形結合的方法解，但不論是哪種方法，首先都要把超越方程化歸為代數方程

(x-l)(3-x)=l-m:(l<x<3),然后再進一步求解.當然若采用數形結合法,關鍵在于構造

函數，構造的函數不一樣，解法也就各異，如方程(x-l)(3-x)=l-辦可以變形為

44

a=x+一一4(1<%<3),令y=x+—-4(l<x<3),y=a,探究這兩個函數的交點個數問題;

xx

若直接令y=(x-1)(3-x),y=l—以(l<x<3),可得數形結合的另一種解法，讀者可以試一

7

試，作個比較，看怎樣的解法是最為簡捷的.第(2)問，若設不等式—>1的解集為A,不

等式Iog2x+log2(a+3r)<2的解集為B,則易得A=(—l,6),而后一個不等式顯然

x>0,要得到不等式組解集的長度為6,易得xe(0,6),log2x+log2(tr+3r)<2應恒成

立，則解題的思路明朗了,當然鍵在于如何處理log2x+椎珪玨式組再進一步解下去！

【解】

(1)【解法1】原方程可化為：(x—1)(3-x)=l—依(1<%<3).

即X之一(a+4)x+4=0(I<x<3),令/(x)=x2-(<z+4)x+4.

由題意可知，

△=3+4)2-16=0

①原方程有一個解等價于：/(1)/(3),,0或a+4

解上述不等式或不等式組可得：g熟b1或a=O,經檢驗a=\不符合題意，

所以當<1或?=0時，原方程只有一個解.

A>0,

②原方程有兩個解等價于：/(3)>0,解此不等式組可得：0<。<§，

1。+46

1<----<3

2

所以當0<a<g時，原方程有兩個解.

③由①②可知，當?<0或a.A時，原方程沒有實數解.

【解法2]

4

原方程可化為：(%—1)(3—力=1-ox(lvxv3),即a=x+—4(1<x<3).

4

令y=%+—一4(1<X<3),y=6Z,分別作出上述兩個函數的圖像.

X

根據圖像交點的個數即可得與解法一同樣的結論.

7

⑵不等式-->1的解集/I=(-1,6),

設不等式log2x+log2(rA：+3r)<2的解集為B,

x>0,

log2x+log2(tx+3f)<2<tx+3t>0

tx1+3tx-4<0

不等式組的解集為An5,.-.5c(O,+^),Anfic(O,6).

不等式組的解集構成的各區間的和等于6.

/x+3r>0,/、，，、

不等式組《〃斗*在x4°'6)時恒成立，，ACB=(0,6).

IX十JIX——<U

03.工￡(0,6)恒成立

t>f〉0,

等價于,2即，€

4'”為°4

t<2+3，工￡(0,6)恒成立

【例2】(2018年高考江蘇卷第12題)在平面直角坐標系xOy中，A為直線/:y=2x

上在第一象限內的點，5(5,0),以A8為直徑的圓。與直線/交于另一個點D.若

ABCD=0,則點4的橫坐標為()

【解題策略】

本題把直線與圓，平面向量的數量積等知識匯合在一起，求相關點的坐標，當然可以從解析

幾何的角度求解,也可以平面向量為工具求解，解題時的切入點不同,解法也就不同.在同一系統內,

可以從不同的角度思考，巧妙地轉化，本題在幾何中蘊含代數特征,如果引進某一個角，則可構

造出三角函數用來處理解析幾何問題，若借助平面幾何相關知識(如垂徑定理、圓周角定理、直

徑所對圓周角為直角等)，則可構造出用平面幾何知識處理圓的相關問題，只要對題中蘊含的

相關知識融會貫通，從中“悟”出的解題方法彳主往都是優美的、賞心悅目的。

【解法1](構造法一：從直線與圓的交點切人)設A(a,〃)(a>0),而5(5,0),則圓心

以AB為直徑圓C的方程為(x-a)(x-5)+(y-2a)y=(),與直線

l-.y^lx聯立，消去y并整理得：5(x—a)(x—1)=0.

可得x=l或x=a,則0(1,2),

當直線AB斜率不存在時，A（5,10）,C（5,5）,顯然不符合要求，由

2aQ2

kAB-kCD=~—--^—?=-1解得a=3或?=-1（不符合條件，舍去）.

a-5￡+3_]

2

點A的橫坐標為3.

【解法2】（構造法二：從點到直線的距離切入）由于ABCD=O,即AB±CD,而AC=

DC,貝IJZDAC=45.

圓C以AB為直徑，.?./ADB=90,

2x5i-

點3（5,0）到直線I的距離為d=\DB\=-j===245.

設A（a,2?）（a>（））,貝IJ=府牙=&0百=2加,解得a=3或

a=-l（舍去點A的橫坐標為3.

【解法3】（構造法三以向量法切入油題意可設4（。,2〃）,。（h2））（4>0）,則

AB=（5-a,-2a）,CD=（b-^-,2b-a\BD=（b-5,2b）,OA=（a,2a）

I2）

圓。以A8為直徑，則有/AO3=90,.?.O4BO=0,又A3CO=0,

。3-5）+2。.2匕=0,[i-3

（5-a^b--2clpb—a）=0,解得h=—1（負值舍去”

..?點A的橫坐標為3.

【解法4】（構造法四:引入三角知識結合斜率公式求解）由ABCD=G即AB_LCO,而

AC=DC,則^DAB=45.

設直線/:y=2x的傾斜角為a,貝IJtana=2,

,▲ncjccAU\(AU\tan45+tana、

tan^fABO=tan(18()-45-a]=-tan(45+a)=------------------------=3

')')1-tan45tana

則直線AB的斜率kAB=-tanZABO=-3.

2〃

設A(a,2a),則由k=------=-3,得a=3.，點A的橫坐標為3.

ABa-5

【解法5](構造法五:運用平面幾何知識求解)由ABCD=0,:.AB1CD,而AC=DC.

則/D4C=45,而圓C以AB為直徑，則ZADB=90,

設OD=m(m>Q),由于直徑I的斜率為2,可知tan/AOB=^=2,故DB=2m.

在RtODB中，加2+(2m)2=OB2=25,解得m=s/5.

在RtADB中，可得AD=DB=2G由三角形的等面積法可得

^xOAxDB=^xOBxyA,解得力=6,代人直線/:y=2x,可得乙=3,

點A的橫坐標為3.

【例3］如圖8-2所示在斜三棱柱ABC-AB￡中，側面與側面ACC,A,成

60角，且兩個側面的面積之比為SABB向：SACGA=8:5,若這個棱柱的側面積為60兆m2,

體積為15百cnr）且.已知斜三棱柱的體積等于直截面面積與側棱長之積，求側棱長/.

【解題策略】

有關斜棱柱側面積和體積的計算直接求解是困難的，可以通過斜棱柱的直截面這個輔助平面求

解，斜棱柱的直截面就是與各條側棱垂直且相交的截面，于是有S辭棱柱側=直截面周長

*側棱；。梭柱=直截面面積*側棱，因此，構造斜棱柱的直截面能方便快捷地求解斜棱柱

的側面積和體積（實質上已化歸為平面問題）.

【解】

作直截面DEF,如圖8-3所示.則/EDF=60,

：S*CGA=（A4°E）：（4\DF^=8:5,DE:DF—8:5.

設DE=Sx,DF=5x,由余弦定理得

EF=J（8x）2+（5x，-2.8%.5元.cos60=”

c

圖8-3

（8x+5x+7x）/=60

由<1廠得/=6（cm）.

—?8x-5x-sin60-I=15v3

[2

x2y2

【例4]⑴設片,區是橢圓可+,=1的左右焦點，弦A3過點F?,求ABK的面積

的最大值；

x2y~

（2）過橢圓—+^-=1的左焦點月作一直線交橢圓于P,Q兩點，A為橢圓的右頂點,

求..PAQ面積的最大值.

【解題策略】

本例兩小題都是求與橢圓相關的三角形面積的最大值，由于兩小題都涉及動直線問題，引進參

變量顯得很重要.第（1）問，設動直線A8的傾斜角為參數，則可扣住橢圓定義結合余弦定理獲

得一種巧妙的解法，其解題過程是把解析幾何問題化歸為三角函數問題，并通過換元化歸為耐

克函數性質的研究.第（2）問，以動直線PQ的斜率左為參數,則要分類討論斜率不存在的

情況，而且要求三角形面積的最值，由于解析式較為復雜，解題的技巧性很強，且方法也多，如可以

通過變形化歸為代數函數求最值,或通過去分母并換元化歸為二次方程用判別式法求最值，還可

通過三角換元與代數換元化歸為“耐克函數”求最值.

【解】

圖8-4

(1)如圖8-4所示，設/俎3=2(()<2V4),[247^=〃2,忸用=".由橢圓的定義知

|A娟=26一〃2,忸制=26一〃，忻閭=2o

在⑥人入耳和BF?F\中，應用余弦定理得

(2退一相了=4+m2-4mcosa,

<__

(2>/3-n)2=4+A?+4〃cosa,

22

m=—j=------,n——j=------

>J3-cosaj3+cosa

?二SQA6=g|K8||力一力|二gx2x(m+〃)sina

,22).4Gsina

=—j=---------+-T=------sin<7=----z—

<>/3-cosaV3+cosaJ2+sin~a

令sina=r,g(f)=^^y(O<&1)

■z^O,.-.g(z)=-一在(0,1]上是增函數，

一+1

t

14r~

當t=\即a=-時，g(/)niax=-.故A電的面積的最大值為-V3.

(2)耳(一1,0),4(2,0),且當直線PQ的斜率不存在時，|凹一%|=3.

13Q

5%0=5|弘一對|百山=習乂一%|=1當直線尸。的斜率存在時，設直線P。的方程為

y=k(x+l)(Z：HO),P(X|X),。(々%)

y=k(x+l),

聯立方程組y2_消去X并整理得(3+4F)y2-6ky-9k2=0,顯然A>0,

143

6k9k2

X+%=3+4*X〉L3+4公,

4+

小7=h+%)-^=13+4^]3+4^36k2+36公(3+4產)

-v(3+4㈠2

42

?q擠-y2MAi=18二、2,設/(%)=18

一PAQ

(3+4左2)

下面用多種方法求/小）的最大值.

【解法1】設A=tan6,其中0,|u71,

2

2

(tan^+l)tan^sec仇an6jkecOtanq

則/(%)=g(e)I，S^e=18X4sec^-l

(3+4tan2^)23+4tan2<9

S，n]

18x-l^^18x,設r=|sin^|,/G((),l).

3+side扁+M喇

3Q

則〃?）=/+：在re（0,1）上是減函數，二./2，）＞/2（l）=4,/.Sw=18力⑺＜5；

jrQ9

當e=5時，sPAQ..綜上，_PA。面積的最大值為

解法21

/+公5（m+3f4（叱+3）-21

3

〃?(％)

(3+4左2/(叱+3)2168(4公+3)16(4二+3)2

八1，八1

令t=―——，貝(I0<r<-,

4F+33

1

+21t+~

3

又函數g⑺在（（）,；）上是減函數，..*（；）＜g（/）＜g（（））,即0＜gQ）＜《.當

TT9

時，由解法一得s?股=3,

9

綜上，..PAQ面積的最大值為

k4+k211

【解法3］加（%）=--------------=------------<---

16/+24二+9入8/+916

16+—：---z-

9

綜上，PAQ的面積的最大值為-

第四十九講橫向化歸解題法

橫向化歸就是通過對命題的有關量進行轉換，各學科知識間的轉換，等價變換命題，運用

同構變換等手段將生疏、復雜、困難的問題轉化為熟悉、簡單的問題來處理.

【例1】設a,b^R且方程x4+axJ+bx2+ax+l=O至少有一個實數解，試求/+〃的

最小值

【解題策略】本例是一個有實數解的高次方程，求方程系數構成的代數式a2+b2的最小值.

從方程角度去解是困難的，但是我們分析方程系數的特點,發現其具有對稱性，且又都是一次

的，如果把它看成是a,b的方程，顯然是一條直線的方程;如果設片+〃=產,可看成點（區為

在圓上，則原命題等價變換成直線與圓的位置關系問題，即求直線與圓至少有一個公共點時，半徑

平方的最小值.這就是運用同構變換等手段將復雜的高次方程問題化歸為熟悉、容易處理的直

線與圓的位置關系問題.

【解】因方程至少有一個實數解，不妨設為m^O,代人得加2+4m+6+@+_\=0

mnr

設a2+/?2=r2,構造直線+—a+b+［m2+^-=0.圓。:/十尸二產.則兩者

kmJV3J

之間必有公共點（。/），因此圓心到直線的距離小于或等于半徑，

444

所以r2...-,即a2+b2的最小值為y,當且僅當m=+\時a2+b2取得最小值不

［例2］如圖8-5所示NM0N=6G,邊長為a的正三角形ABP在NMON內滑

動（不能翻轉），使得A點始終在OM上，B點始終在ON上，求P點的軌跡方程.

AM

圖8-5

【解題策略】

本例中A點在射線OM上移動，B點在射線ON上移動，求正三角形另一個頂點P

的軌跡方程,常用的求軌跡方程的基本方法如直接法、轉移法、參數法很難用上,定義法則根本

不相關.對于這類與旋轉有關的軌跡問題，采用復數方法來處理具有方便、直觀,簡捷的優點,

因為復數的向量表示把代數與幾何融為一體，復數的乘法運算反映在幾何上正好是向量的旋

轉.這種橫向化歸命題實質上也是同構變換.

【解:】

圖8-6

如圖8-6所示，以O為原點，OM所在直線為x軸建立復平面.

設AB,P3點對應的復數分別為ZA=m,ZB=H4-V3ni,Zp=x+yi,

則ZftA=Z*_Zp=,

又BP可由BA逆時針旋轉60而得到.

m+2nV3(m-2n).

ZBp=ZBA-(cos60+isin60)=(加一〃一

(2222

加+4〃V3.

?7—74.7+——m\.

..乙一乙乙BP：-----

P8T22

加+4〃2卦①

x=------

2

=>V

6

y=——m②

22>/3

又KJ=。，即(m-n)2+(A/3H)2=a2,

將①②R人，整理得：3￡+7/-4方孫-3/=0,

故P點的軌跡方程為3X2+7/-4V3A>'-3?2=0在NMON內的部分.

Y

［例3］在平面直角坐標系xOy中，設P（x,y）是橢圓y+/=1上的一個動點，求

S=x+y的最大值.

【解題策略】

本例思考方法不同導致形成求解過程的多樣性，可以橫向化歸轉化為由方程組有解求S

的最大值，可以利用橢圓的參數方程橫向化歸為求三角函數的最大值，也可以縱向化歸,通過坐

標變換討論圓與直線有公共點時求S的最大值.

X2T

【解法1】由方程組T+y='消去x后整理得方程4y2—2Sy+S2—3=0①方程①

x+y=S

有實根，則判別式A=4S2-16（S2-3）=48-1252..0,解得-2掰2.

：.S=x+y的最大值為2.

【解法2】橢圓—+/=1的參數方程為7,。為參數，代入S=x+y

3［y=sin。

Q1

得S=Gcos6+sine=2sin（e+60）,當6=30,即x=—,y=—時，

S=x+y的最大值為2.

【解法3］對橢圓和直線方程進行如下坐標變換：

令卜'=不,則卜=3’’則橢圓和直線方程分別變成F+^=1,②

,［fs="y,③

。一），

此時圓方程②和直線③仍有公共點，

_|-5|

則圓②的圓心（7（0,0）到直線^3x'+y'-S=0的距離d=-\=J=?i,

V3+1

解得—2效JS2,故S=J§x'+y'=x+y的最大值為2.

第五十講同向化歸解題法

同向化歸就是把面臨的新問題進行命題分割或命題分解，化歸為某一（或幾）個可簡捷處理的子

問題，解決了這一（或幾）個子問題，從而也就解決了所有子問題，或在推演中，進行同理推導同解

變形化簡等，這種化歸是在同一層次上“平行”轉化.

［例1］已知數列M，｛bn｝都是公差為1的等差數歹上其首項分別為4，白，且

4+4=5,q,4eN*,設求數列｛c?｝的前10項和.

【解題策略】當我們接觸的問題存在著大量可能的答案（或中間過程），而暫時又無法用逡輯方

法排除時，我們只能對每一種可能的情況逐個加以討論，解決了這些子問題，原來的命題也就完

全解決了，本例中由條件可知4,&的取值有多種情況,必須對每種情況進行研究，才能得到原

問題的最后結果.

解：由題設4+4=5,q,4@N*,可將適合條件的可能情況一一列舉出來,一共有4種

=1,q=2,1%=3,q=4,

情況：《下面逐一求解

4-4,瓦=4,4=3,〔4=1,

子問題(1)：當q=l,4=4時，an=n,bn=n+3,cn=arl+3.

10(a+.3)

4=

S]0=q+++CJQ=+Cl^++。]3=---------85.

子問題(2):當。］=2,4=3時，an=n+\,hn=n+2,cn=an+2.

10(%+al2)

S］o=G+Q++Go=%+%+…+《2=-----------=85.

子問題(3):當%=3也=2時，4=〃+2也=〃+l,c〃=a〃+l.

10(〃2+%1)c

S］。=q+c,++C|Q=々2+03++41=------------85.

子問題⑷：當q=4,4=1時,an=n+3,bn=n,cn=an.

K)(a+a0)

Si。=c'|+c,++C|Q=q+a,++q。=-----------=85.

因此，無論哪種情況均得到數列｛cn｝的前10項和為85.

【例2］設/(6=%2一天+左，若log2/(?)=2,/(log2a)=k(a1,a>0),求使得

/(logx)>/(l)

,22)成立的x的取值范圍.

【解題策略】

本題結構較為復雜，初看似乎難以下手去做，若根據同向化歸解題法，把原問題分解為幾個基本

的子問題，然后逐個解決，所有的子問題全部解決了，整個大問題也就獲解了.由題意，原問題可

以分解為如下4個子問題：

子問題1：由方程/(log2?)=A:,求a的值；

子問題2:由方程log2/(a)=2,求k的值；

子問題3:求/(1)的值；

子問題4:解不等式組求x的取值范圍.

［解］

按上述子問題的順序逐一解答.

子問題1：由/(log2?)=A:=>logjtz-log2<7+k-k=>log2fz(log2?-1)=().

,a#0,ar1,log2a*0,log2a-1=0log2a=1=a=2.

子問題2:由Iog2.f(a)=2nk)g2(a2—a+%)=2.

2

a-a+k=4,把a=2代人得：k=2.

子問題3:/(l)=F-l+左=2.

子問題4:由上述所求各值，原不等式可化為：

log^x-log2x+2>2(log2x(log2x-l)>0,J］睢M(1域2x)

log,2—2)<2%2—x+2<4x~-x—2<0

0<x<l或x>2,

\=0<x<l,此即為x的取值范圍.

-l<x<2

［例3］一個小于400的3位數，它是平方數，它的前兩個數字組成的兩位數還是平方數,

其個位數也是一個平方數,求這個3位數.

【解題策略】

可采用同向化歸解題法和枚舉與笑選并用的策略，即依據題中限定的三個條件步步深入，面對

枚舉出的情況逐步排除不符合條件的三位數確定滿足條件的三位數.

【解】

本題共提出3個條件：

(1)一個小于400的三位數是平方數；

(2)這個三位數的前兩位數字組成的兩位數還是平方數；

⑶這個三位數的個位數也是一個平方數.

先找出滿足第一個條件的三位數：

100,121,144,169,196,225,256,289,324,361

再考慮第二個條件，從中選出符合條件者：169,256,361.

最后考慮第三個條件，排除不符合條件的256，于是找到答案是169和361.

【例4】設集合A={x[l<x<3},又設集合B是關于x的不等式組

x2-2x+a,,0,①

2，、的解集，且試確定a,b的取值范圍.

x2-2bx+5?0,②

【解題策略】

若設集合B]是不等式⑴的解集，集合B2是不等式⑵的解集，則B=BQBZ,由于

兩個不等式都含參數，求5,n52并非易事,既要分類討論又極易出錯，如果運用同向化歸，則

簡捷多了！根據題設AuBoAqBi且層.兩個參數“分而治之"，清清楚楚！

【解】

2

若記/(x)=x-2x+?,fi,為不等式①的解集；記g(x)=爐-2bx+5,B2為不等式②的

,⑴，，。，曰

解集，則B=國.于是AcBoAcB,且A^B.結合圖像易得

2/⑶，，0

g⑴,,0,

=-3且b..3.

g⑶,,0

第五十一講逆向化歸解題法

人們在處理問題時，常常按照習慣的思維途徑去進行思考，運用習慣的化歸方式方法去轉化解決

問題,但按照這種思考方式或化歸方式在很多時候也會出現較繁或較難人手的情形，或出現一些

邏輯上的困惑，這時，從辯證思維的觀念出發，從問題或其中的某個方面的另一面人手進行思考,

例如針對常規處理方法,針對問題條件、結論、求解程序、推理步驟進行逆向化歸，采取順繁則逆、

正難則反的適時化歸措施，這就是所謂的逆向化歸思想，逆向化歸的形式，常有升格(升維、升次、

增項、增元、擴域等),倒推、反求、反證、舉反例等.

【例1】已知sin%+cos%=1,求sin?+cosa的值.

【解題策略】若直接從條件出發通過變形求sina+cosa的值，其運算肯定繁雜，順繁則逆，如

果從sine+cosa這個所求式出發卻易得siir'a+cos%；,故逆向化歸求解本題較為方便.

【解】

設sinc+cosa=A,兩邊平方，得：sinacosa=-------.

2

由已知條件可得sin3cz+cos3ez=(sinor+cosa)fsin2?-sincifcostz+cos2a)=1.

代換后得女{1—=1.即女3—3左+2=0,亦即(公―1)—3伙—1)=0,亦即

("1)(公+女—2)=0,.?.僅一Ip仕+2)=0,解得k=l或k=-2(不合題意，舍去).

故知sincr+coscr=l.

［例2］解方程：&-10x+26-4+10x+26=6.

【解題策略】

若直接解此無理方程，運算量相當大，由根式聯想到兩點間的距離并通過升維化歸為一個

動點到兩個定點距離之差，進而聯想到雙曲線方程,這是一種妙思巧解.

［解］__________________

原方程可化為“r7y+l-7(%+5)2+1=6.令1=/，得：

{(x-Sy+y2-J(x+57+丁=6.；

上式表示動點P(x,y)到大(一5,0),與(5,0)的距離之差為6的點的軌跡.

22

顯然是雙曲線的左支，其標準方程為：--匚=1(%,-3),

916

當/=1時，x=—?J萬，故原方程的解為x=萬.

44

［例3］若a3+b3^2,求證：a+b?2.

【解題策略】

不論是綜合法還是分析法證明此題都很困難，運用反證法即假設結論a+b?2的反面即

a+b>2成立，結合條件a3+Z?3=2推出與假設予盾，反證法也是逆向化歸解題法的一種.

［證明］

(1V3

彳度設a+b>2,a"—ab+b~=a—hH—h"..0.

I2J4

而取等號的條件為a=b=0,顯然不可能，所以a2-ab+b2>0.

貝ija。+"=(a+8),(4—ab+b~>2(a~—ah-\-b~,而+b'=2,故a?—ab+

h2<1.

所以1+。。>。2+匕2..2。。，從而ab<l,所以a1+b2<\+ab<2.

所以(a+6)2=。2+/+2。匕<2+2。人<4,所以a+b<2

這與假設矛盾，故a+b?2.

【例4】已知集合71=1x|1g(x2-2ax+a2+1)<lg2},B={x|(2x-a)(x-4)>0),

若Ac3w0,求實數a的取值范圍.

【解題策略】

易求得集合A={xla—l<x<a+l},而集合B中對應方程(2x-a>(x—4)=()的

a

兩個根為-和4.若要確定集合B,則需要對。的取值分類討論，同時為使

2

Ac5#0成立,還要對最或4與或a+l的大小關系進行分類討論.兩重討論甚

為煩瑣，按照正難則反的解題原則，從的反面AnB=0方向去思考，適時采取

逆向化歸措施，正如德國數學家雅可比(C.G.J.Jacobi,1804-1851)所言，“運用逆向思維要

經常反向思考問題”，常常可找到簡捷的解法.

【解】

易得A={x|a_l<x<a+l},設函數/(%)=(2x-?)(%-4).

當=0時，由于拋物線開口向上，則

/(a-1)=[2(a-1-4)”0,

解得2黜3.

/(a+l)=[2(a+l)-a](a+l-4),,0,

故要使Ac8w0,只須a<2或a>3.

第五十二講互變思想在解題中的運用

矛盾著的東西往往也都互相聯系著，不但可以在一定條件下共處于一個統一體中，而且可以

在一定條件下互相轉變，如“熟悉"與“陌生"，"合”與“分"，"正"與“逆"，"動"與

“靜”，“進”與退”，“一般”與特殊”，“強化”與“弱化”，“抽象”與“具體“，"直”與

“曲"，“主"與‘次‘，“整體"與“部分”，“有限”與“無限”，"或然"與“必然’等.-

個事物矛盾的兩個方面，既是對立又是統一的，更是可以相互轉換的，從哲學上講既是“一分

為二”，又是“合二為一”，互變是化歸的一種手段，但比化歸更深刻，哲學的意味更濃，當今學

術界倡導的批判性思維,在數學上的體現就是“互變”，就是對立又統一的辯證思想.

關于互變思想在解題中的運用，本書各章都有涉及，在“轉化與變換的思想”這一章中已有

多個專題進行論述.本章及本專題對此稍加拓展，可以這樣來表述:互變思想是指在處理、解決

數學問題的過程中有意識地考慮對問題進行相互變化，從彼此相反的狀態、形式中尋找相互變

化的途徑.

【例1】在實數集內解方程：一出d一為衿一g=0

【解題策略】

本題是一個四次方程，且系數含無理數，用通常的方法不易求解，但如果把省視為主元，把

X視為參數，由衿=(次)2,可得以班為主元的二次方程，解之就簡單了，這種題中元素

之間角色的互換為某些看似難以解答的問題開辟了一條通道.

【解】

原方程變為(次)2-(/+*+1)次+(/+/)=0

解上述關于癡的二次方程得：出=9,次=x+l.

于是,%=不,&=昭-1.

【例2】在坐標平面xOy上有一運動著的梯形48。。,4。//8。,2。=45,/4=90,

AB=AD=2y/3,梯形在04+03=4的條件下運動，求原點0到直線CD的最短距離.

【解題策略】

相對于原點。，梯形是在運動的，直線CD是動直線很難表示，若“動”與“靜”互換角

式，將梯形看作是靜止的，則原點。是運動的，A,B就成為兩個定點，則。的軌跡可求,

CO也就成為定直線了，解題思路在角色的“動”“靜”互變中產生了.

［解］

因為梯形是運動的，所以動直線的方程難以表示，即使求得，也必含參數且比較復雜.若將梯

形看作靜止而原點。是運動的，則由OA+OB=4,AB=26可知，動點。的軌跡是

以A8為焦點的橢圓.建立以AB中點。'為“原點”，AB中垂線為V軸的新坐標

'2

交x'0'y',則直線CD的方程為：x'+y'-3百=0,動點。的軌跡方程為x2+^-=l

設。在新坐