學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2019—2020學(xué)年第一學(xué)期福州市高二期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.5 B.3 C。 D。2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模長的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)模長的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。2。命題“，”的否定是(）A。， B。，C。， D.,【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定直接判斷即可。【詳解】命題“,”的否定是“,”.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了特稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題。3。雙曲線的漸近線方程為(）A。 B. C. D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)漸近線公式直接得到答案。【詳解】雙曲線的漸近線方程為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程，屬于簡單題.4。實(shí)數(shù)a＞1,b＞1是a+b＞2的（）A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D。既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】實(shí)數(shù)a＞1，b＞1，由不等式性質(zhì)知a+b＞2;反之不成立,例如a=2，b=,即可判斷出結(jié)論。【詳解】實(shí)數(shù)a＞1，b＞1?a+b＞2;反之不成立,例如a=2，b=.∴a＞1,b＞1是a+b＞2的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)、充要條件的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5。已知函數(shù)，則（)A. B.C。 D。【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分式的求導(dǎo)法則求解即可。【詳解】因?yàn)?故.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的分式運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。6.一艘船的燃料費(fèi)(單位：元/時(shí))與船速（單位:)的關(guān)系是.若該船航行時(shí)其他費(fèi)用為540元/時(shí)，則在的航程中，要使得航行的總費(fèi)用最少,航速應(yīng)為(）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意列出總費(fèi)用與航速的關(guān)系,再求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值求解即可.【詳解】由題,的航程需要小時(shí),故總的費(fèi)用.即。故.令有.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.使得航行的總費(fèi)用最少，航速應(yīng)為故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中最值問題，需要根據(jù)題意列出關(guān)于航速的函數(shù)解析式,再求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值即可。屬于中檔題.7。已知雙曲線：的左頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為.若為的虛軸的一個(gè)端點(diǎn),且，則的坐標(biāo)為()A. B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】求得的坐標(biāo)表達(dá)式，再根據(jù)求解即可.【詳解】由題，,，.因?yàn)椋?即.故。所以.故的坐標(biāo)為。故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中的頂點(diǎn)、虛軸頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系與向量數(shù)量積的運(yùn)用，需要根據(jù)題意求得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo),利用數(shù)量積公式求解。屬于中檔題.8.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象如圖所示，若函數(shù)是的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為(）A. B。C. D.【答案】B【解析】【分析】分與兩種情況，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系觀察求解即可。【詳解】當(dāng)時(shí),若則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,故.當(dāng)時(shí)，若則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義與分段求解不等式的方法，屬于基礎(chǔ)題。二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.9。某學(xué)校規(guī)定同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的同學(xué)有資格參選學(xué)生會(huì)主席：①團(tuán)員或班干部；②體育成績達(dá)標(biāo).若小明有資格參選學(xué)生會(huì)主席，則小明的情況有可能為（)A。是團(tuán)員,且體育成績達(dá)標(biāo) B.是團(tuán)員，且體育成績不達(dá)標(biāo)C。不是團(tuán)員，且體育成績達(dá)標(biāo) D。不是團(tuán)員，且體育成績不達(dá)標(biāo)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)題意逐個(gè)選項(xiàng)判定即可。【詳解】對(duì)A,是團(tuán)員，且體育成績達(dá)標(biāo)同時(shí)滿足①②,滿足資格.對(duì)B，是團(tuán)員，且體育成績不達(dá)標(biāo)不滿足②,不滿足資格。對(duì)C,不是團(tuán)員,且體育成績達(dá)標(biāo),故可能為班干部且體育成績達(dá)標(biāo)。滿足資格.對(duì)D,不是團(tuán)員,且體育成績不達(dá)標(biāo)一定不滿足②，不滿足資格.故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)際問題中的邏輯推理的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題。10。在正方體中，,分別是和的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(）A.平面 B。平面C。 D.點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等【答案】AC【解析】【分析】對(duì)A,根據(jù)判定即可。對(duì)B,建立空間直角坐標(biāo)系證明與平面中的不垂直即可。對(duì)C，建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算即可。對(duì)D，判斷點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)是否在平面上即可。【詳解】對(duì)A,因?yàn)?分別是和的中點(diǎn)故,故平面成立。對(duì)B，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體邊長為2則，。故。故不互相垂直。又屬于平面。故平面不成立。對(duì)C,同B空間直角坐標(biāo)系有，.故成立.對(duì)D,點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等則點(diǎn)與點(diǎn)中點(diǎn)在平面上。連接易得平面即平面。又點(diǎn)與點(diǎn)中點(diǎn)在上,故點(diǎn)不在平面上.故D不成立。故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的線面關(guān)系和利用空間直角坐標(biāo)系判定垂直的方法與空間向量的運(yùn)算等。屬于中檔題.11。已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是(）A.是奇函數(shù)B.若是增函數(shù)，則C。當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)A,根據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可.對(duì)B,求導(dǎo)后利用恒成立問題分析即可。對(duì)C,根據(jù)單調(diào)性分析即可.對(duì)D，求導(dǎo)后令導(dǎo)函數(shù)等于0畫圖分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可。【詳解】對(duì)A,的定義域?yàn)椋?故A正確。對(duì)B,,因?yàn)槭窃龊瘮?shù)故恒成立。即恒成立.令,則,因?yàn)?故單調(diào)遞增，又,故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).故最小值為。故.故B正確.對(duì)C,當(dāng)時(shí)由B選項(xiàng)知，是增函數(shù),故不可能有3個(gè)零點(diǎn)。故C錯(cuò)誤。對(duì)D,當(dāng)時(shí),,令則有.作出的圖像易得有兩個(gè)交點(diǎn),且交點(diǎn)左右的函數(shù)值大小不同.故函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)。故D正確。故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)等問題,屬于中檔題。12。已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，直線與交于，兩點(diǎn)，軸，垂足為,直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是(）A.四邊形為平行四邊形 B.C。直線的斜率為 D。【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)橢圓對(duì)稱性判斷即可。對(duì)B，根據(jù)的最值判定即可。對(duì)C,根據(jù)傾斜角的正切值判定即可.對(duì)D，根據(jù)橢圓中斜率的定值關(guān)系證明即可。【詳解】對(duì)A,根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，.故四邊形為平行四邊形.故A正確.對(duì)B，根據(jù)橢圓性質(zhì)有當(dāng)在上下頂點(diǎn)時(shí),。此時(shí).由題意可知不可能在上下頂點(diǎn)，故。故B正確.對(duì)C，如圖,不妨設(shè)在第一象限,則直線的斜率為,故C正確。對(duì)D,設(shè)則。又由C可知直線的斜率為，故.所以.故.故D錯(cuò)誤。故選:ABC【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中的三角形與邊角關(guān)系等的判定。需要根據(jù)題意根據(jù)橢圓的對(duì)稱性以及斜率的定值性質(zhì)求解.屬于中檔題。第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題,每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故，又，故在點(diǎn)處的切線方程為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程的問題,屬于基礎(chǔ)題.14.已知為平面的一個(gè)法向量，為直線的方向向量。若,則______。【答案】【解析】【分析】根據(jù)面的法向量與平行于面的向量垂直求解即可。【詳解】由題，,解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了法向量的性質(zhì)應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線：的焦點(diǎn)為。若為與的一個(gè)公共點(diǎn),且，則的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線與橢圓的定義轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系求解即可。【詳解】由拋物線的定義可知,準(zhǔn)線為過左焦點(diǎn)且垂直與軸的直線.作,則，又,故。故為等腰直角三角形.故，又，故。又，同理可得.故也為等腰直角三角形.故橢圓離心率為。故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)拋物線與橢圓的定義與三角形中的關(guān)系求解橢圓離心率的問題，屬于中檔題.16。《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑。在如圖所示的鱉臑中,平面，，，,為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且。①當(dāng)在上時(shí)，______;②點(diǎn)的軌跡的長度為______.【答案】(1）。2（2）.【解析】【分析】(1)根據(jù)與鱉臑的性質(zhì)證明平面再求解即可.(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算可知垂直于所在的平面，再得出垂直于在平面內(nèi)的軌跡再計(jì)算長度即可.【詳解】（1)當(dāng)在上時(shí),因?yàn)槠矫妫?又，故平面.故.又，為中點(diǎn)，故所以為中點(diǎn)。故。(2）取中點(diǎn)則由(1）有平面，故,又,設(shè)平面則有平面。故點(diǎn)的軌跡為.又此時(shí)，,故.所以。故答案為：(1）。2（2）。【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)線面垂直與線面垂直的性質(zhì)求解立體幾何中的軌跡問題，需要根據(jù)垂直關(guān)系求解對(duì)應(yīng)的線段長度。屬于中檔題。四、解答題:本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17。已知復(fù)數(shù).(1)若是純虛數(shù),求的值；（2）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,求的取值范圍。【答案】（1）2；（2)。【解析】【分析】(1）利用復(fù)數(shù)的乘法化簡再根據(jù)純虛數(shù)的定義計(jì)算即可。(2）求得,再根據(jù)復(fù)數(shù)的象限求得實(shí)部與虛部的范圍即可.【詳解】（1),由，得.（2）由（1)知，，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,所以,解得，所以的取值范圍為。【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與基本概念和幾何意義.屬于基礎(chǔ)題.18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，.(1)求的方程;(2）過點(diǎn)作傾斜角為的直線，與相交于,兩點(diǎn)，求的面積.【答案】（1)；（2）.【解析】【分析】(1）根據(jù)橢圓的基本量求解即可.（2)聯(lián)立直線與橢圓的方程，求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo),再根據(jù)求解即可.【詳解】(1）依題意,，分別為橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，的焦點(diǎn)在軸上。設(shè)的方程為，則,，所以的方程為。(2）設(shè)，，不妨設(shè)，依題意,直線的方程為.由，得，解得，，記點(diǎn)為,則。所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的基本量求解以及直線與橢圓聯(lián)立求三角形面積的問題，屬于中檔題.19.已知函數(shù)在處有極小值。(1)求實(shí)數(shù)的值；（2)求在上的最大值和最小值。【答案】(1）1；（2）的最小值為，最大值為.【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后根據(jù)求解再檢驗(yàn)所得的值是否滿足題意即可。(2）由（1)得，再求得極值點(diǎn)列表分析函數(shù)單調(diào)性再求最值即可.【詳解】（1)依題意，，因?yàn)樵谔幱袠O小值，所以,解得。經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意,故的值為1。(2)由(1)得,令，得或.當(dāng)變化時(shí)，,的變化情況如下表:-4—134+0—0+—7由上表可知,的最小值為;的最大值為。【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求解參數(shù)以及求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性的問題,屬于中檔題。20。如圖,在等腰梯形中,,，,，為梯形的高，將沿折到的位置,使得.(1）求證:平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值。【答案】(1)證明見解析；(2）。【解析】分析】（1）過點(diǎn)作，垂足為，連接.再分別證明與即可.（2)分別以，,的方向?yàn)?,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)空間向量求解線面所成的角即可。【詳解】（1)證明:過點(diǎn)作,垂足為，則,，連接,依題意,為等腰直角三角形,故，又,故，所以,在四棱錐中,因?yàn)椋?所以,故，因?yàn)?,且平面,所以平面.（2)由(1）知,平面,所以,，又，所以,，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，分別以,,的方向?yàn)?，軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：，,,,，,,,設(shè)平面法向量為，則，故,取,故.所以.設(shè)直線與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的證明與建立空間直角坐標(biāo)系求解線面角的問題，屬于中檔題.21。在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)，為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過作的垂線,該垂線與線段的垂直平分線交于點(diǎn)，記的軌跡為。（1)求的方程；(2）若過的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，直線，與直線分別交于，兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由。【答案】(1）；(2）是，和。【解析】【分析】(1)根據(jù)拋物線的定義直接判定求解方程即可。（2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立與拋物線的方程，再根據(jù)韋達(dá)定理求得以為直徑的圓的方程,進(jìn)而化簡求解定點(diǎn)即可。【詳解】(1)連接,則,則根據(jù)拋物線的定義,點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線.則點(diǎn)的軌跡的方程為。（2）設(shè)直線的方程為，,，聯(lián)立整理得：，,，，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為,則，,所以..圓的半徑為.所以以為直徑的圓的方程為.展開可得，令，可得，解得或。所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和。（2)①當(dāng)直線不與軸垂直時(shí)，設(shè)其方程為,,,由得,，所以,,。所以，，直線的方程為，同理可得,直線的方程為,令得,,,所以以為直徑的圓的方程為,即，即,令,可得，解得或。所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和.②當(dāng)直線與軸垂直時(shí),,,以為直徑的圓的方程為,也經(jīng)過點(diǎn)和.綜上,以為直徑圓經(jīng)過定點(diǎn)和。【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)拋物線的定義求解拋物線方程的方法以及聯(lián)立直線與拋物線方程求解韋達(dá)定理解決定點(diǎn)的問題.屬于難題.22.已知函數(shù).（1)討論的單調(diào)性；(2)證明：。【答案】(1）當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2）證明見解析。【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后分與兩種情況分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，求得最小值從而得出當(dāng)時(shí)，,再構(gòu)造函數(shù)式證明。或構(gòu)造,求導(dǎo)后根據(jù)隱零點(diǎn)的方法證明。【詳解】(1)依題意,的定義域?yàn)?,當(dāng)時(shí)，；當(dāng)