第第頁專題6.7平面向量、復數和解三角形綜合練題號一二三四總分得分練習建議用時：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023春·黑龍江雞西·高一雞西市第四中學校考期中）已知向量均為任意向量，m為任意實數，則下列等式不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用向量加法結合律判斷A；利用數量積運算律判斷B；利用數乘向量分配律判斷C；利用數量積的意義判斷D作答.【詳解】對于A，由向量加法結合律知，成立，A正確；對于B，由數量積的分配律知，成立，B正確；對于C，由數乘向量的分配律知，成立，C正確；對于D，表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而是任意的，因此與不一定相等，D錯誤.故選：D2．（2023·江西·校聯考模擬預測）已知復數，則的共軛復數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用復數乘法計算法則計算即可.【詳解】，所以的共軛復數為故選：C3．（2023·新疆喀什·校考模擬預測）已知，，若與模相等，則=（

）.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】利用坐標求出的模長，進而根據已知條件可以得到一個關于的方程，問題即可得到解決.【詳解】因為，所以，故，而又已知，且，所以，解得.故選：C4．（2023春·吉林·高三東北師大附中校考期中）在中，角的對邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意，利用正弦定理求得，再利用余弦定理求得，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理得，又因為，可得，又由余弦定理，可得，因為，所以.故選：B.5．（2023·新疆阿勒泰·統考三模）在中，平分，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】記，在中，，在中，，由平分，得到或，當時，求得；當時，得，再由，結合基本不等式求得結果．【詳解】如圖，記，

在中，，則，在中，，則,∵平分，∴，∴，∴，∴∴，∴∴，∴，∴或，當時，為等腰三角形，∴，，∴；當時，，即，∴，當且僅當，即時，等號成立，∵，∴的最小值為.故選：C.6．（四川省2023屆名校聯考高考仿真測試（四）文科數學試題）已知向量，，則下列命題不正確的是（

）A． B．若，則C．存在唯一的使得 D．的最大值為【答案】D【分析】由向量模的計算公式，可判定A正確；由向量共線的坐標表示，可判定B正確；根據向量的數量積的運算公式，求得，得到，可判定C正確；根據向量的運算法則，化簡得到，求得的最大值，可判定D錯誤.【詳解】由向量，，對于A中，由，所以A正確；對于B中，若，可得且，可得，所以B正確；對于C中，若，可得，整理得，所以，可得，因為，可得，所以C正確；對于D中，由，因為，所以，可得，所以的最大值為，即的最大值為，所以D錯誤.故選：D.7．（云南三校2023屆高三高考備考實用性聯考卷（八）數學試題）已知，是方程的兩個復根，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】利用求根公式求出兩個復根，然后利用復數的運算法則及模的公式直接計算即可.【詳解】已知，是方程的兩個復根，所以，則設，，所以，故選：B.8．（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）如圖，在圓內接四邊形中，.若為的中點，則的值為（

）A．-3 B． C． D．3【答案】C【分析】根據余弦定理得到，確定為圓的直徑，為等邊三角形，建立坐標系，確定點坐標，計算向量的數量積得到答案.【詳解】連接，由余弦定理知，所以.由正弦定理得，所以為圓的直徑，所以，所以，從而，又，所以為等邊三角形，以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系.則，所以.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯考三模）△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據平面向量的數量積的運算律一一判斷求解.【詳解】因為，所以，所以，又因為，所以,所以，所以，A錯誤；因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以的夾角為，即的夾角為，所以，所以，B正確；，C正確，D錯誤；故選:BC.10．（2023·山東青島·統考三模）關于x的方程的復數解為，，則（

）A．B．與互為共軛復數C．若，則滿足的復數z在復平面內對應的點在第二象限D．若，則的最小值是3【答案】BD【分析】根據給定條件，求出，再逐項計算、判斷作答.【詳解】因為，因此不妨令方程的復數解，對于A，，A錯誤；對于B，與互為共軛復數，B正確；對于C，，由，得，則復數z在復平面內對應的點在第四象限，C錯誤；對于D，設，由，得，顯然有，由選項A知，因此，當且僅當，即時取等號，D正確.故選：BD11．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）在銳角中，角所對的邊為，若，且，則的可能取值為（

）A． B．2 C． D．【答案】ACD【分析】由面積公式及余弦定理求出，再由正、余弦定理將角化邊，即可求出，再由正弦定理及三角恒等變換公式將轉化為關于的三角函數，最后由三角函數的性質計算可得.【詳解】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又，由正弦定理、余弦定理得，，化簡得：，由正弦定理有：，即，，又是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以，結合選項，的可能取值為，，.故選：ACD12．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，記，則（

）

A．B．C．D．在方向上的投影向量為【答案】BC【分析】根據題意，由平面向量數量積的運算律，對選項逐一判斷即可得到結果.【詳解】，故A錯誤；因為，故B正確；，又，所以，故C正確；在方向上的投影向量為，故D錯誤.故選：.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．（2023·重慶·統考模擬預測）如圖，某中學某班級課外學習興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_________m．

【答案】【分析】確定，，，在中，利用正弦定理求出，再由銳角三角函數計算得到答案.【詳解】依題意，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.

故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習）計算________.【答案】【分析】利用特殊角的三角函數值及復數的四則運算法則求解計算.【詳解】原式故答案為：.15．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考期中）已知復數，若為實數，則________．【答案】2【分析】根據復數的加法和除法運算求得，進而得到，求得，即可求得答案.【詳解】，所以，得，所以.故答案為：216．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學校考模擬預測）設是平面內的兩條互相垂直的直線，線段AB，CD的長度分別為2，10，點A，C在a上，點B，D在b上，若M是AB的中點，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】設直線與直線的交點為，線段的中點為，由條件確定點的軌跡，結合數量積的運算求的取值范圍.【詳解】設直線與直線的交點為，因為M是AB的中點，，所以，故點在以為圓心，半徑為的圓上，設線段的中點為，，所以，故點在以為圓心，半徑為的圓上，因為，，所以，又，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.

四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考期中）已知復數z滿足，且z的虛部為-1，z在復平面內所對應的點在第四象限．(1)求z；(2)若z，在復平面上對應的點分別為A，B，O為坐標原點，求∠OAB．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用復數幾何意義設出，再結合共軛復數定義寫出，再運用復數乘法運算求得結果.（2）運用復數幾何意義、兩點間距離公式及勾股定理可求得結果.【詳解】（1）由題意知，設（），則，所以，解得：，所以.（2）由（1）知，，所以，所以，，如圖所示，

所以，，，，所以.所以.18．（2023春·河南洛陽·高三統考期中）已知平行四邊形中，E是的中點，F是邊上靠近點B的三等分點，與交于點M，，設，且．(1)用表示；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量的線性運算即可求得答案；（2）求得，,根據向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意得，，故；（2）為向量和的夾角，且,而，所以,同理,，,而，所以.19．（2023·廣東廣州·統考模擬預測）在銳角中，角所對的邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若邊，邊的中點為，求中線長的取值范圍.【答案】(1)(2).【分析】（1）由余弦定理結合正弦定理，可得出角的正切即可求出角；（2）由，結合正弦定理應用輔助角公式，根據銳角三角形中角的范圍，即可應用三角函數值域求出范圍【詳解】（1）由余弦定理得，即，由正弦定理得，，即，.（2）由余弦定理得：，則.由正弦定理得所以，因為是銳角三角形，所以，即，則.中線長的取值范圍是.20．（2023·廣東深圳·校考二模）記的內角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知.(1)證明：；(2)若角B的平分線交AC于點D，且，，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理結合條件即得；（2）利用余弦定理結合條件可得，然后利用角平分線定理及余弦定理即得.【詳解】（1）由正弦定理得：所以可化為,因為,，所以所以，所以，即，所以；（2）角B的平分線交AC于點D，且，,由角平分線定理可得，,,又，由余弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，所以.所以.21．（2023·全國·高三專題練習）已知在等腰中，，．(1)；(2)若點是外接圓上的動點，為圓心，求的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據題意，由平面向量的數量積的定義，代入計算，即可得到結果；（2）根據題意，將轉化為，然后結合數量積的定義，代入計算即可得到結果.【詳解】（1）等腰中，，，則，.（2）

等腰中，，，點是外接圓上的動點，為圓心，，設，，，，，最大值為，最小值為．故的取值范圍：.22．（2023·上海松