eq\a\vs4\al\co1(第一節函數的概念)考點一函數的概念及表示1．(2015·湖北，7)設x∈R，定義符號函數sgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))則()A．|x|＝x|sgnx| B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnx D．|x|＝xsgnx解析對于選項A，右邊＝x|sgnx|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≠0，,0，x＝0，))而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然不正確；對于選項B，右邊＝xsgn|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≠0，,0，x＝0，))而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然不正確；對于選項C，右邊＝|x|sgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0,0，x＝0,x，x<0))，而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然不正確；對于選項D，右邊＝xsgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))而左邊＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))顯然正確；故應選D.答案D2．(2013·陜西，10)設[x]表示不大于x的最大整數，則對任意實數x，有()A．[－x]＝－[x] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝[x]C．[2x]＝2[x] D．[x]＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝[2x]解析令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，所以A錯；令x＝－eq\f(1,2)，[－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)]＝0，[－eq\f(1,2)]＝－1，所以B錯；令x＝0.5，[2x]＝1，2[x]＝0，所以C錯；故選D.答案D3．(2013·湖北，5)小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是()解析根據其運動情況，開始時勻速行駛，離學校距離越來越近，是一個減函數．后交通堵塞停留了一段時間，距離不變，最后加速行駛，離學校越來越近，且變化趨勢越來越快．結合圖象，選C.答案C4．(2012·江西，3)設函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x＞1，))則f(f(3))＝()A.eq\f(1,5) B．3 C.eq\f(2,3) D.eq\f(13,9)解析∵f(3)＝eq\f(2,3)＜1，∴f(f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋1＝eq\f(13,9)，故選D.答案D5．(2011·廣東，10)設f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意實值函數，如下定義兩個函數(f°g)(x)和(f·g)(x)：對任意x∈R，(f°g)(x)＝f(g(x))；(f·g)(x)＝f(x)g(x)．則下列恒等式成立的是()A．((f°g)·h)(x)＝((f·h)°(g·h))(x)B．((f·g)°h)(x)＝((f°h)·(g°h))(x)C．((f°g)°h)(x)＝((f°h)°(g°h))(x)D．((f·g)·h)(x)＝((f·h)·(g·h))(x)解析((f·g)°h)(x)＝(f·g)(h(x))＝f(h(x))g(h(x))＝(f°h)(x)(g°h)(x)＝((f°h)·(g°h))(x)．答案B6．(2013·浙江，11)已知函數f(x)＝eq\r(x－1).若f(a)＝3，則實數a＝________．解析由eq\r(a－1)＝3，解得a＝10.答案107．(2015·新課標全國Ⅱ，13)已知函數f(x)＝ax3－2x的圖象過點(－1，4)，則a＝________．解析由函數f(x)＝ax3－2x過點(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案－28．(2011·浙江，11)設函數f(x)＝eq\f(4,1－x)，若f(α)＝2，則實數α＝________．解析由f(α)＝2，得eq\f(4,1－α)＝2，解得α＝－1.答案－1考點二函數的三要素1．(2015·重慶，3)函數f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定義域是()A．[－3，1]B．(－3，1)C．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析需滿足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定義域為(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案D2．(2015·湖北，6)函數f(x)＝eq\r(4－|x|)＋lgeq\f(x2－5x＋6,x－3)的定義域為()A．(2，3) B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4] D．(－1，3)∪(3，6]解析依題意，有4－|x|≥0，解得－4≤x≤4①；且eq\f(x2－5x＋6,x－3)>0，解得x>2且x≠3②；由①②求交集得函數的定義域為(2，3)∪(3，4]．故選C.答案C3．(2014·山東，3)函數f(x)＝eq\f(1,\r(log2x－1))的定義域為()A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析由題意可知x滿足log2x－1＞0，即log2x＞log22，根據對數函數的性質得x＞2，即函數f(x)的定義域是(2，＋∞)．答案C4．(2013·重慶，3)函數y＝eq\f(1,log2（x－2）)的定義域是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)解析由題知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＞0，,log2（x－2）≠0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞2，,x－2≠1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞2，,x≠3.))所以該函數的定義域為(2，3)∪(3，＋∞)，故選C.答案C5．(2013·陜西，1)設全集為R，函數f(x)＝eq\r(1－x)的定義域為M，則?RM為()A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析要使f(x)＝eq\r(1－x)有意義，則須1－x≥0，即x≤1，所以M＝{x|x≤1}，?RM＝{x|x＞1}．答案B6．(2013·廣東，2)函數y＝eq\f(lg（x＋1）,x－1)的定義域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．[－1，1)∪(1，＋∞)解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,x＋1＞0，))解得x＞－1且x≠1，故選C.答案C7．(2012·安徽，2)設集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B為函數y＝lg(x－1)的定義域，則A∩B＝()A．(1，2) B．[1，2] C．[1，2) D．(1，2]解析由題知A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，∴A∩B＝(1，2]，故選D.答案D8．(2010·重慶，4)函數y＝eq\r(16－4x)的值域是()A．[0，＋∞) B．[0，4] C．[0，4) D．(0，4)解析∵16－4x≥0且4x＞0，∴0≤16－4x＜16，0≤eq\r(16－4x)＜4，故選C.答案C9．(2013·安徽，11)函數y＝ln(1＋eq\f(1,x))＋eq\r(1－x2)的定義域為________.解析由條件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)＞0，,x≠0，,1－x2≥0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＜－1或x＞0，,x≠0，,－1≤x≤1))?x∈(0，1]．答案(0，1]10．(2012·廣東，11)函數y＝eq\f(\r(x＋1),x)的定義域為________．解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥－1，,x≠0))得函數y＝eq\f(\r(x＋1),x)的定義域為{x|x≥－1，且x≠0}．答案{x|x≥－1，且x≠0}考點三分段函數1．(2015·新課標全國Ⅰ，10)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1－2，x≤1，,－log2（x＋1），x>1，))且f(a)＝－3，則f(6－a)＝()A．－eq\f(7,4) B．－eq\f(5,4) C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,4)解析若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3，2a－1＝－1(無解)；若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，a＝7，f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝eq\f(1,4)－2＝－eq\f(7,4).答案A2．(2015·山東，10)設函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－b，x＜1，,2x，x≥1.))若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))))＝4，則b＝()A．1 B.eq\f(7,8) C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,2)解析由題意，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))＝3×eq\f(5,6)－b＝eq\f(5,2)－b.若eq\f(5,2)－b≥1，即b≤eq\f(3,2)時，2eq\f(5,2)－b＝4，解得b＝eq\f(1,2).若eq\f(5,2)－b＜1，即b＞eq\f(3,2)時，3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－b))－b＝4，解得b＝eq\f(7,8)(舍去)．所以b＝eq\f(1,2).答案D3．(2015·陜西，4)設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－\r(x)，x≥0，,2x，x＜0，))則f(f(－2))＝()A．－1 B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)解析∵f(－2)＝2－2＝eq\f(1,4)＞0，則f(f(－2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\r(\f(1,4))＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故選C.答案C4．(2014·江西，4)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≥0,2－x，x＜0))(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，則a＝()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C．1 D．2解析因為－1＜0，所以f(－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝eq\f(1,4).答案A5．(2012·福建，9)設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數，,0，x為無理數，))則f(g(π))的值為()A．1 B．0 C．－1 D．π解析g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0，故選B.答案B6．(2013·福建，13)已知函數f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x3，x＜0，,－tanx，0≤x＜\f(π,2)，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))＝________．解析由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝－taneq\f(π,4)＝－1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc