第五章二元一次方程組§認識二元一次方程組【教學目標】了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。2.通過討論和練習，進一步培養學生的觀察、比較、分析的能力。3.通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生良好的數學應用意識。【重點】二元一次方程組的含義【難點】判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解，培養學生良好的數學應用意識。【教學過程】引入、實物投影（P181圖）1、師：在一望無際呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這么大的個，才比我多馱2個”老牛氣不過地說：“哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說：“真的？！”同學們，你們能否用數學知識幫助小馬解決問題呢？2、請每個學習小組討論（討論2分鐘，然后發言）這個問題由于涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個未知數，我們設老牛馱x個包裹，小馬馱y個包裹，老牛的包裹數比小馬多2個，由此得方程x-y=2，若老牛從小馬背上拿來1個包裹，這時老牛的包裹是小馬的2倍，得方程：x+1=2(y-1)師：同學們能用方程的方法來發現、解決問題這很好，上面所列方程有幾個未知數？含未知數的項的次數是多少？（含有兩個未知數，并且所含未知數項的次數是1）師：含有兩個未知數，并且含未知數項的次數都是1的方程叫做二元一次方程注意：這個定義有兩個地方要注意①、含有兩個未知數，②、含未知數的次數是一次練習：（投影）下列方程有哪些是二元一次方程+2y=1xy+x=13x-=5x2-2=3xxy=12x(y+1)=c2x-y=1x+y=0議一議、師：上面的方程中x-y=2，x+1=2(y-1)的x含義相同嗎？y呢？（兩個方程中x的表示老牛馱的包裹數，y表示小馬的包裹數，x、y的含義分別相同。）師：由于x、y的含義分別相同，因而必同時滿足x-y=2和x+1=2(y-1)，我們把這兩個方程用大括號聯立起來，寫成x-y=2x+1=2(y-1)像這樣含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。如：2x+3y=35x+3y=8x-3y=0x+y=8做一做、x=6,y=2適合方程x+y=8嗎？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你還能找到其他x,y值適合x+y=8方程嗎？X=5,y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2,y=8呢？你能找到一組值x,y同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？各小組合作完成，各同學分別代入驗算，教師巡回參與小組活動，并幫助找到3題的結論.由學生回答上面3個問題，老師作出結論適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的解x=6,y=2是方程x+y=8的一個解，記作x=6同樣，x=5y=2y=3也是方程x+y=8的一個解，同時x=5又是方程5x+3y=34的一個解，y=3二元一次方程各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。隨堂練習、（P184）小結：含有兩未知數，并且含有未知數的項的次數是一次的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程的解是一個互相關聯的兩個數值，它有無數個解。含有兩個未知數的兩個二元一次方程組成的一組方程，叫做二元一次方程組，它的解是兩個方程的公共解，是一組確定的值。6.作業P188習題。教后感：通過對實際問題的分析、討論和練習，了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。進一步培養學生的觀察、比較、分析的能力，體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生良好的數學應用意識。§求解二元一次方程組（一）【教學目標】1.會用代入消元法解二元一次方程組2.了解解二元一次方程組的消元思想,初步體現數學研究中“化未知為已知”的化歸思想,從而“變陌生為熟悉”3.利用小組合作探討學習,使學生領會樸素的辯證唯物主義思想【重點】用代入法解二元一次方程組,基本方法是消元化二元為一元.【難點】用代入法解二元一次方程組的基本思想是化歸——化陌生為熟悉.【教學過程】引入上節課我們的老牛和小馬的包裹誰的多的問題,經過大家的共同努力,得出了二元一次方程組x-y=2①到底誰的包裹多呢?x+1=2(y-1)②這就需要解這個二元一次方程組.一元一次方程我們會解,二元一次方程組如何解呢?我們大家知道二元一次方程只需要消去一個未知數就可變為一元一次方程,那么我們發現：由①得y=x-2由于方程組相同的字母表示同一個未知數,所以方程②中的y也等于x-2,可以用x-2代替方程②中的y.這樣就得到大家會解的一元一次方程了.做一做我們知道了解二元一次方程組的一種思路,下面我們來做一做解方程組3x+2y=8①x=②解：將②代入①,得3(y+3)+2y=143y+9+2y=145y=5y=1將y=1代入②,得x=4所以原方程組的解是x=4y=1例2、解方程組2x+3y=16①x+4y=13②教師先分析：此題不同于例1,(即用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數)，②式不能直接代入①,那么我們應當怎樣處理才能轉化為例1②式這樣的形式呢?請同學回答(應先對②式進行恒等變化,把它化為例1中②式那樣的形式.)分小組合作完成上述例題,請兩個小組的代表上黑板上來板演解：由②，得x=13-4y將③代入①，得2(13-4)S+3y=1626-8y+3y=16-5y=-10y=2將代入③，得x=5所以原方程組的解是x=5y=2議一議、上面解方程組的基本思路是什么？主要步驟有哪些？上面解方程組的基本思路是“消元”——把“二元”變為“一元”。主要步驟是：①將其中一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，②將這個代數式代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程式。③解這個一元一次方程。④把求得的一次方程的解代入方程中，求得另一個未知數值，組成方程組的解。這種解方程組的方法稱為代入消元法。簡稱代入法。練一練、1、已知x+3y-6=0，用含x的代數式表示y為，用含y的代數式表示x為.2、書本P188隨堂練習小結、1、今天我們學習了二元一次方程組的解法，你有什么體會？2、解二元一次方程組的思路是消元，把二元變為一元3、解題步驟概括為三步即：①變、②代、③解、4、方程組的解的表示方法，應用大括號把一對未知數的值連在一起，表示同時成立，不要寫成x=？y=？5、由一個方程變形得到的一個含有一個未知數的代數式必須代入另一個方程中去，否則會出現一個恒等式。作業、1、已知x=1是方程組ax+by=2的解，則a、b的值是多少？y=1x-by=32、若方程組4x+3y=1的解x與y相等，則a的值是多少？ax+(a-1)y=3教后感：本節課是利用小組合作探討學習,使學生正確掌握用代入消元法解二元一次方程組的方法下，通過學生自己的觀察、發現,初步體現數學研究中“化未知為已知”的化歸思想,從而“變陌生為熟悉”,使學生領會樸素的辯證唯物主義思想.§求解二元一次方程組（二）一、教學目標設計：了解并會用加減消元法解二元一次方程組。了解解二元一次方程組的消元思想，體會數學中“化未知為已知”的化歸思想。初步體驗二元一次方程組解法的多樣性和選擇性。教學重點和難點：二、教學重點：會用加減消元法解二元一次方程組。會用加減消元法解二元一次方程組。三、教學難點：掌握解二元一次方程組的“消元”思想。四、教學過程設計：1、創設情境：怎樣解下面的二元一次方程組呢？分析：觀察方程組中的兩個方程，未知數y的系數互為相反數，把這兩個方程兩邊分別相加，就可以消去未知數y，得到一個一元一次方程；（3x＋5y）+（2x－5y）＝21+(－11)①左邊+②左邊=①左邊+②左邊3X+5y+2x－5y＝105x+0y＝105x=10解:由①+②得:5x=10x＝2把x＝2代入①，得y＝3所以原方程組的解是2、探索嘗試:參考小麗的思路，怎樣解下面的二元一次方程組呢？例1解下列方程組．分析：觀察方程組中的兩個方程，未知數x的系數相等，都是2．把這兩個方程兩邊分別相減，就可以消去未知數x，同樣得到一個一元一次方程．解：把②－①得:8y＝－8y＝－1把y＝－1代入①，得2x－5╳（－1）＝7解得:x＝1所以原方程組的解是隨堂練習:指出下列方程組求解過程中有錯誤步驟，并給予訂正：解:①－②，得解①－②，得－2x＝122x＝4－4，x＝－6x＝0正確的解是：解:①－②，得解:①＋②，得8x＝162x＝4＋4，x＝4x＝24.議一議:上面這些方程組的特點是什么?解這類方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？這些方程組的特點是同一個未知數的系數相同或互為相反數這類方程組基本思路：加減消元----二元----一元主要步驟：加減----消去一個元求解----分別求出兩個未知數的值寫解----寫出方程組的解5.做一做例2．用加減法解下列各方程組分析：(1)用加減消元法解方程組時，若哪個未知數系數的絕對值正好相等，就可先消哪個未知數；若兩個未知數的系數絕對值均不等，則可選定一個未知數，通過變形使其絕對值相等，再進行消元．(2)運用加減消元法解方程組的條件是方程組中兩個方程的某個未知數的系數的絕對值相等，當方程組中兩方程不具備這種特點時，必須用等式性質2來改變方程組中方程的形式，即得到與原方程組同解的且某未知數系數的絕對值已經相等的新的方程組，從而為加減消元法解方程組創造條件．①×3得6x+9y=36③②×2得6x+8y=34④③-④得y=2把y＝2代入①，得解得:x＝3所以原方程組的解是說明：1．加減消元法的依據是等式性質1，即在一個方程左右兩邊分別加上或減去另一個方程的左右兩邊，所得的結果仍是等式．經過這樣的運算，其中一個未知數被消去了，原來的“二元”化為“一元”，轉化為一元一次方程，從而可求出原方程組的解來．2.對于不是標準的二元一次方程組，可先通過去分母或去括號，將其變為標準的二元一次方程組后再消元5.試一試:運用加減消元法解下列方程組：（3）6.探索與思考：在解方程組時，小張正確的解,小李由于看錯了方程組中的C得到方程組的解為，試求方程組中的a、b、c的值。7.小結：加減消元法解方程組基本思路是什么？主要步驟有哪些？加減消元法解方程組基本思路：加減消元----二元---一元主要步驟有：變形----同一個未知數的系數相同或互為相反數加減----消去一個元求解----分別求出兩個未知數的值寫解----寫出方程組的解8.作業教后感：1.本節課是使學生正確掌握用加減法解二元一次方程組的方法下，通過學生自己的觀察、發現、總結、歸納，探索加減法解二元一次方程組的過程，進一步發展學生的合情推力意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系。§應用二元一次方程組---雞兔同籠【教學目標】1.使學生初步掌握列二元一次方程組解應用題2.通過將實際問題轉化成純數學問題的應用訓練，培養學生分析問題、解決問題的能力。【教學重點】根據等量關系列二元一次方程組解應用題。【教學難點】根據題意找出等量關系，列出方程。【教學過程】我們偉大祖國具有五千年的文明史，在歷史的長河中，為科學知識的創新和發展作出了巨大的貢獻，特別在數學領域有[九章算術]、[孫子算經]等古代名著流傳于世，普及趨于民眾，許多問題淺顯易懂，趣味性強，如[九章算術]下卷第三題目“雉兔同籠”等，漂洋過海傳到了日本等國，對中國古代文明史的傳播起了很大作用。“雉兔同籠”題為：“今有雉兔同籠，上有三十五關，下有九十四足，問雉兔各幾何？”問題1、“上有三十五頭”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答：“上有三十五頭”指的雞和兔共有三十五個頭，“下有九十四足”指的是雞和兔共有九十四只腳。問題2、你能根據問題1中的的數量關系列出方程嗎？并能解決這個有趣的問題嗎？（分小組進行討論，然后請兩個小組的代表到黑板上板演）解：設有雞x只，兔y只，則x+y=35解之得x=232x+4y=94y=12答：共有雞23只，兔12只。這個古老的數學問題，用今天的方程解決，體現了古為今用的原則，為后人理解了數學的過去和現在，當代的著名的數學家陳省生教授在說起“雞兔同籠”時，曾另有一番別有風趣的延伸：“全體雞兔立正，兔子提起前面的兩只腳，請問現在共有幾只腳？”……中國是一個偉大的四大文明古國，像這樣淺顯有趣的數學題目還有很多，我們的書上就提供了這樣的一個例題以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺，若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？接下來老師看一下，那位同學的古文水平好，那位同學能自告奮勇地解釋一下，這段古文的意思？（用繩子測量水井的深度，如果將繩子折成三等分，一份繩子長比井深多5尺；如果將繩折成四等份，一份繩子比井深多1尺，繩子、井深各是多少尺？）（分小組進行討論，然后請兩個小組的代表到黑板上板演）解：設繩子長x尺，井深y尺，則解之得x=48y=11答：繩子長為48尺，井深11尺。議一議從上面的兩個問題的解決中，你得到了什么感悟，有什么收獲？請與同學們交流。用方程組解決實際問題時應該注意下列幾個問題：認真讀題和審題，弄清古代問題的現實意義正確設出未知數找出相等關系，并列出方程組。解此方程組寫出答案練一練古代有一個馬快，一天晚上他在野外的一個茅屋里，聽到外邊來了一群人，在分臟，在吵鬧，他隱隱約約地聽到幾個聲音，下面有這一古詩為證：隔壁聽到人分銀，不知人數不知銀。只知每人五兩多六兩，每人六兩少五兩，問你多少人數多少銀？列方程組解古算題：“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾何？”題目大意是：5頭牛、2只羊共價值10兩“金”、2頭牛、5只羊共價值8兩“金”、每頭牛、每只羊共價值多少“金”？[可設每頭牛值“金”x兩，每只羊值“金”y兩，則有方程組5x+2y=10解之得x=2x+5y=8y=小結經過本節課的學習，你有什么收獲和體會？六、作業P199習題。教后感：通過將實際問題轉化成純數學問題的應用訓練，使學生根據等量關系列二元一次方程組解應用題。初步掌握列二元一次方程組解應用題培養學生分析問題、解決問題的能力。§應用二元一次方程組---增收節支【教學目標】1.會正確地運用表格分析與“增收節支”相似一類問題的數量關系，會列二元一次方程組這類問題。2.培養學生分析問題和解決問題的能力。3.讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生的數學應用能力。【教學過程】議一議增長（虧損）率問題的公式？原量（1+增長率）=新量，或原量（1—虧損率）=新量，2、銀行利率問題中的公式？利息=本金×利率×期數，本息和本金+利息新授、某工廠去年的利潤（總產值—總支出）為200萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年（小組討論，完成上表）總產值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年（1+20%）x（1—10%）y780根據題意得：x－y=200，解之得：x=2000120%－90%y=780y=1800答：去年的總產值為2000萬元，總支出1800萬元，變式：若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？簡析：如果設今年的總產值為萬元，總支出為萬元，則讓學生動手解這個方程組，體驗這種解法的繁瑣，再讓學生探索，受上例的啟發，應該設間接未知數，設去年的總產值勤x萬元，總支出為y萬元，計算方便。三、做一做醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配制營養品，每克甲原料含單位蛋白質和1單位鐵質，每克乙原料含單位蛋白質和單位鐵質，若病人每餐需要35單位蛋白質和40單位鐵質，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？解：設每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：甲原料各x克乙原料各y克所配制營養品其中所含營養品單位單位+單位其中所含鐵質x單位單位(x+單位根據題意，可得方程組+=35x+=40化簡，得5x+7y=350①5x+2y=200②①－②，得5y=150y=30將y=30代入①，得x=28。所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。解此題需要注意以下兩點：甲（乙）原料所含蛋白質（鐵質）=甲（乙）原料的質量×每克所含蛋白質（鐵質）的含量。甲原料所含蛋白質（鐵質）+乙原料所含蛋白質（鐵質）=營養品所含蛋白質（鐵質。例2、甲、乙兩相距6千米，兩人同時出發，同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時相遇，兩人的平均速度各是多少？解：設甲的平均速度是每小時行x千米，乙的平均速度是每小時行y，根據題意，得：3x=3y+6x+y=6解這個方程組，得：x=4y=2答：平均每小時甲行4千米，乙行2千米。練一練1、一、二班共有100名學生，他們的體育達標率（達到標準的百分率）為81%，如果一班的學生的體育達標率為87.%，二班的達標率為75%，那么一、二班的學生數各是多少？解：可設班有x人，二班有y人，則有方程組x+y=6x=48%+75%=81(x+y)y=522、甲、乙兩相距36千米兩地相向而行，如果甲比乙先走2時，那么他們在乙出發時后相遇；如果乙比甲先走2時，那么他們在甲出發3時后相遇，甲、乙兩人每時各走多少千米？解：設甲、乙兩人每小時分別行走x千米、y千米。根據題意可得：+=36x=63x+5ky=36解此方程可得：y=4所以甲每小時走6千米，乙每小時走4千米。小結1、做應用題時應強調列表分析數量關系的重要性。設未知數有兩種方法：（1）直接設元（2）間接設元，當直接設元較繁時應間接設元。作業P202習題。教后感：讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生的數學應用能力。正確地運用表格分析與“增收節支”相似一類問題的數量關系，會列二元一次方程組這類問題。§應用二元一次方程組---里程碑上的數【教學目標】【知識目標】1、用二元一次方程式組解決“里程碑上的數”這一有趣場景中的數字問題和行程問題2、歸納出用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟。【能力目標】讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型，讓學生學會列方程組解決實際問題的一般步驟【情感目標】在本節課上讓學生體驗把復雜問題化為簡單問題的同時，培養學生克服困難的意志和勇氣，鼓勵學生合作交流，培養學生的團隊精神。【教學重點】用二元一次方程組刻畫學問題和行程問題，初步體會列方程組解決實際問題的步驟。【教學難點】將實際問題轉化成二元一次方程組的數學模型。【教學過程】想一想，憶一憶：解二元一次方程組的基本思路各基本方法是什么？（解二元一次方程組的基本思路是通過“消元”把“二元”化為“一元”，基本方法是代入法和加減法創設情景，引入新課小明爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一小時看到的里程碑上的數字情況如下：12∶00時，這是兩位數，它的兩個數字之和為7，13∶00時，十位與個位數字與12∶00時看到的正好顛倒了；14∶00時，比12∶00時看到的兩位數中間多了個0，你能確定小明在12∶00時看到的里程碑上的數字嗎？如果設小明在12∶00時看到的十位數字是x，個位數字是y，那么12∶00時小明看到的數可表示為根據兩個數字和是7，可列出方程（10x+y；x+y=7）13∶00時小明看到的數可表示為12∶00~13∶00間摩托車行駛的路程是[10y+x；(10y+x)-(10x+y)]14∶00時小明看到的數可表示為13∶00~14∶00間摩托車行駛的路程是[10x+y；(100x+y)-(10x+y)]12∶00~13∶00與13∶00~14∶00兩段時間內摩托車的行駛路程有什么關系？你能列出相應的方程嗎？[答：因為都勻速行駛1小時，所以行駛路程相等，可列方程(100x+y)-(10x+y)=(10y+x)-(10x+y)，根據以上分析，得方程組：x+y=7(100x+y)-(10x+y)=(10y+x)-(10x+y)解這個方程組得：x=1y=6因此，小明在12∶00時看到里程碑上數是16。同學們：你能從此題中得到何種啟示？答：從中得到解數字問題常設十位數字為x，個位數字為y，這個兩位數為10x+y。練一練兩個兩位數的和是68，在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較小的兩位數，也得到一個四位數，已知前一個四位數比后一個四位數大2178，求這兩個兩位數。設較大的兩位為x，較小的兩位數為y。分析：問題1：在較大數的右邊寫上較小的數，所寫的數可表示為[100x+y]問題2：在較大數的左邊寫上較小的數，所寫的數可表示為[100y+x]解：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y。x+y=68（100x+y）-（100y+x）=2178化簡，得：x+y=6899x-99y=2178即，x+y=68x-y=222解該方程組得x=45y=23做一做一個兩伯數，減去它的各位數字之和的3倍，結果是23；這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5，余數是1，這個兩位數是多少？[解：設十位數為x，個位數為y，則10x+y-3(x+y)=2310x+y=5(x+y)+1解之得：x=5所以這個兩位數是56y=6議一議列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是怎樣的？1、“設”：弄清題意和題目中的數量關系，用字母表示題目中的兩個未知數；2、“列”：找出能夠表達應用題全部含義的兩個等量關系，根據這兩個相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組；3、“解”：解這個方程組，求出未知數的值；4、“驗”：檢驗這個解是否正確，并看它是否符合題意；5、“答”：與設前后呼應，寫出答案，包括單位名稱；小結通過這節課的學習你有什么收獲？（學生分小組討論，并相互補充交流）本節課主要研究有關數字問題，解題的關鍵是設各位數字為未知數，用這些未知數表示相關數量，再列出方程。用二元一次方程組解應用題一般步驟有五步：設、列、解、驗、答作業P205習題。教后感：1.在本節課上讓學生體驗把復雜問題化為簡單問題的同時，培養學生克服困難的意志和勇氣，鼓勵學生合作交流，培養學生的團隊精神。2.用二元一次方程式組解決“里程碑上的數”這一有趣場景中的數字問題和行程問題，讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，歸納出用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟。體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型

§二元一次方程與一次函數【教學目標】【知識目標】1、使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解.3、能利用二元一次方程組確定一次函數的表達式【能力目標】通過學生的思考和操作,在力圖提示出方程與圖象之間的關系,引入二元一次方程組圖象解法,同時培養了學生初步的數形結合的意識和能力.【情感目標】通過學生的自主探索,提示出方程和圖象之間的對應關系,加強了新舊知識的聯系,培養了學生的創新意識,激發了學生學習數學的興趣.【教學重點】1、二元一次方程和一次函數的關系2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解【教學難點】方程和函數之間的對應關系即數形結合的意識和能力xyxyo1憶一憶同學們:什么叫二元一次方程的解?一次函數的圖像是什么?如圖,求一次函數的圖像的解析式試一試問題：方程x+y=5的解有多少個？寫出其中的幾個解來[方程x+y=5的解有無數多個，如：x=-1x=0x=1x=2x=3y=6y=5y=4y=3y=2等在直角坐標系中分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數y=5－x的圖像上嗎？在一次函數y=5－x的圖像上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數y=5－x的圖像相同嗎？做一做在同一直角坐標系內分別作出一次函數y=5－x和y=2x－1的圖像，這兩個圖像有交點嗎？交點的坐標與方程組x+y=52x－y=1的解有什么關系？你能說明理由嗎？[一次函數y=5－x和y=2x－1的圖像的交點為（2，3），因此，x=2就是方程組y=3x+y=52x－y=1的解。]xyoxyo12x–y=2解：由x-2y=-2可得y=，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐標系中作出一次函數y=的圖像和y=2x–2的圖像，觀察圖像，得兩直線交于點（2，2），所以方程組x-2y=-22x–y=2的解是x=2y=3同學們你從本題中感悟到什么？原來我們解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖像法，那么用作圖法來解方程組的步驟如下：把二元一次方程化成一次函數的形式在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖像，并標出交點。交點坐標就是方程組的解。練一練1、用作圖象的方法解方程組2x+y=42x-3y=12[由2x+y=4得y=-2x+4由2x-3y=12可得y=在同一直角坐標系中作出函數y=-2x+4和函數y=的圖像，觀察圖像可得交點為（3，-2），所以方程組2x+y=4的解是x=32x-3y=12y=-22、在圖中的兩直線l1、l2的交點坐標可以看作的解。xyO24xyO246-4y=4-x試一試1、有一組數同時適合方程x+y=2和x+y=5嗎？2、一次函數y=2–x，y=5-x的圖像之間有何關系？你能從中“悟”出些什么嗎？[沒有一組數同時適合方程x+y=2和x+y=5；一次函數y=2–x，y=5-x的圖像是兩條平等的直線。我們可以得到：二元一次方程組無解<=>一次函數的圖像平行（無交點）二元一次方程組有一解<=>一次函數的圖像相交（有一個交點）二元一次方程組有無數個解<=>一次函數的圖像重合（有無數個交點）小結二元一次方程的圖像實際上就是一次函數的圖像2、用圖像法可以解二元一次方程組，原來我們還可以用幾何的圖像法來解代數問題。七、作業P205習題。教后感：1.通過學生的思考和操作、自主探索,力圖提示出方程與圖象之間的關系,引入二元一次方程組圖象解法,同時培養了學生初步的數形結合的意識和能力.使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系并能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解2.通過學生的提示出方程和圖象之間的對應關系,加強了新舊知識的聯系,培養了學生的創新意識,激發了學生學習數學的興趣.§用二元一次方程組確定一次函數表達式【教學目標】1、使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解.3、能利用二元一次方程組確定一次函數的表達式【教學重點】1、二元一次方程和一次函數的關系2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解【教學難點】方程和函數之間的對應關系即數形結合的意識和能力xyxyo1憶一憶同學們:什么叫二元一次方程的解?一次函數的圖像是什么?如圖,求一次函數的圖像的解析式試一試問題：方程x+y=5的解有多少個？寫出其中的幾個解來[方程x+y=5的解有無數多個，如：等在直角坐標系中分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數y=5－x的圖像上嗎？在一次函數y=5－x的圖像上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數y=5－x的圖像相同嗎？做一做在同一直角坐標系內分別作出一次函數y=5－x和y=2x－1的圖像，這兩個圖像有交點嗎？交點的坐標與方程組的解有什么關系？你能說明理由嗎？[一次函數y=5－x和y=2x－1的圖像的交點為（2，3），因此，就是方程組的解。]xyo1xyo1解：由x-2y=-2可得y=，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐標系中作出一次函數y=的圖像和y=2x–2的圖像，觀察圖像，得兩直線交于點（2，2），所以方程組的解是同學們你從本題中感悟到什么？原來我們解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖像法，那么用作圖法來解方程組的步驟如下：把二元一次方程化成一次函數的形式在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖像，并標出交點。交點坐標就是方程組的解。練一練1、用作圖象的方法解方程組2、在圖中的兩直線l1、l2的交點坐標可以看作的解。xyO2xyO246-4試一試1、有一組數同時適合方程x+y=2和x+y=5嗎？2、一次函數y=2－x，y=5－x的圖像之間有何關系？你能從中“悟”出些什么嗎？[沒有一組數同時適合方程x+y=2和x+y=5；一次函數y=2–x，y=5-x的圖像是兩條平等的直線。我們可以得到：二元一次方程組無解一次函數的圖像平行（無交點）二元一次方程組有一解一次函數的圖像相交（有一個交點）二元一次方程組有無數個解一次函數的圖像重合（有無數個交點）小結二元一次方程的圖像實際上就是一次函數的圖像2、用圖像法可以解二元一次方程組，原來我們還可以用幾何的圖像法來解代數問題。第六章數據的分析§平均數（一）教學目標：（一）知識目標：1、掌握算術平均數，加權平均數的概念。2、會求一組數據的算術平均數和加權平均數。（二）能力目標：1、通過對數據的處理，發展學生初步的統計意識和數據處理的能力。2、根據有關平均數的問題的解決，培養學生的合作意識和能力。（三）情感目標：1、通過小組合作的活動，培養學生的合作意識和能力。2、通過解決實際問題，讓學生體會數學與生活的密切聯系。教學重點：算術平均數，加權平均數的概念及計算。教學難點：加權平均數的概念及計算。教學方法：討論與啟發性。教學過程：一、引入新課：在某次數學測試后，你想了解自己與班級平均成績的比較，你先想了解該次數學成績什么量呢？（引入課題）二、講授新課：1、引例：下面是某班30位同學一次數學測試的成績，各小組討論如何求出它們的平均分：95、99、87、90、90、86、99、100、95、87、88、86、94、92、90、95、87、86、88、86、90、90、99、80、87、86、99、95、92、92甲小組：X==91（分）甲小組做得對嗎？有不同求法嗎？乙小組：X=×××××××=91（分）乙小組的做法可以嗎？還有不同求法嗎？丙小組：先取一個數90做為基準a，則每個數分別與90的差為：5、9、-3、0、0、-4、……、2、2求出以上新的一組數的平均數X'=1所以原數組的平均數為X=X'+90=91想一想，丙小組的計算對嗎？2、議一議：問：求平均數有哪幾種方法？（1）X=（X1+X2+…+Xn）——算術平均數（2）X=(f1+f2+…fk=n)——利用加權求平均數（3）X=X'+a——利用基準求平均數問：以上幾種求法各有什么特點呢？公式（1）適用于數據較小，且較分散。公式（2）適用于出現較多重復數據。公式（3）適用于數據較為接近于某一數據。3、練習：P213利用計算器（1）計算兩支球隊的平均身高，哪支球隊隊員的身材更為高大？（2）計算兩支球隊的平均年齡，哪支球隊隊員的年齡更為年輕？4、加權平均數：例1，某廣告公司欲招聘廣告策劃人員一名，對A，B，C三名候選人進行了三項素質測試，他們的各項測試成績如下表所示：（1）如果根據三項測試的平均成績確定錄用人選，那么誰將被錄用？（2）根據實際需要，公司將創新，綜合知識和語言三項測試得分按4:3:1的比例確定各人的測試成績，此時誰將被錄用？小結：實際問題中，一組數據里的各個數據的“重要程度”未必相同，因而，在計算這組數據的平均數時，往往給每個數據一個“權”，如例1中4，3，1分別是創新、綜合知識、語言三項測試成績的權，而稱為A的三項測試成績的加權平均數。三、練一練：P216隨堂練習四、小結：通過本節課的學習，你有哪些收獲與體會？五、作業：書P220習題教后感：通過小組合作的活動，讓學生體會數學與生活的密切聯系,掌握算術平均數，加權平均數的概念,培養學生的合作意識和能力。§平均數（二）教學目標：（一）知識目標：1、會求加權平均數，并體會權的差異對結果的影響。2、理解算術平均數和加權平均數的聯系與區別，并能利用它們解決一些現實問題。（二）能力目標：1、通過利用平均數解決實際問題，發展學生的數學應用能力。2、通過探索算術平均數和加權平均數的聯系和區別，發展學生的求同和求異的思維。（三）情感目標：通過解決實際問題，體會數學與自然及人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心。教學重點：加權平均數中權對結果的影響及與算術平均數的聯系與區別。教學難點：探索算術平均數和加權平均數的聯系和區別。教學方法：探討教學教學過程：一、引入新課：1、什么是算術平均數？加權平均數？2、算術平均數與加權平均數有什么聯系與區別嗎？（引入）二、講授新課：1、例題講解：我校對各個班級的教室衛生情況的考查包括以下幾項：黑板、門窗、桌椅、地面。一天，三個班級的各項衛生成績分別如下：（1）小明將黑板、門窗、桌椅、地面這四項得分依次按15%、10%、35%、40%的比例計算各班的衛生成績，那么哪個班的成績最高？（2）你認為上述四項中，哪一項更為重要？請你按自己的想法設計一個評分方案，根據你的方案，哪一個班的衛生成績最高？與同伴進行交流。解：（1）一班的衛生成績為：95×15%+90×10%+90×35%+85×40%=二班的衛生成績為：90×15%+95×10%+85×35%+90×40%=三班的衛生成績為：85×15%+90×10%95×35%+90×40%=91因此，三班的成績最高。（2）分組討論交流小結：以上四項所占的比例不同，即權有差異，得出的結果就會不同，也就是說權的差異對結果有影響。2、議一議：小穎家去年的飲食支出為3600元，教育支出為1200元，其他支出為7200元，小穎家今年的這三項支出依次比去年增長39%，3%，6%，小穎家今年的總支出比去年增長的百分數是多少？問：如何求今年的總支出比去年總支出的百分比呢？百分比=今年總支出—去年總支出去年總支出以下是小明和小亮的兩種解法？誰做得對？小明：（9%+30%+6%）=15%小亮：=%由于小穎家去年的飲食、教育和其他三項支出金額不等，因此，飲食、教育和其他三項支出的增長率“地位”不同，它們對總支出增長率的“影響”不同，不能簡單地用算術平均數計算總支出的增長率，而應將這三項支出金額3600，1200，7200分別視為三項支出增長率的“權”，從而總支出的增長率為小美的求法是對的。三、課堂練習：1、小明騎自行車的速度是15千米/時，步行的速度是5千米/時。（1）如果小明先騎自行車1小時，然后又步行了1小時，那么他的平均速度是多少？（2）如果小明先騎自行車2小時，然后步行了3小時，那么他的平均速度是多少？2、某市七月中旬各天的最高氣溫統計如下：求該市七月中旬的最高氣溫的平均數。四、小結1、加權平均數受什么因素的影響？權的差異對結果有影響。2、算術平均數與加權平均數有哪些聯系與區別？五、作業：P223習題試一試教后感：過解決實際問題，體會數學與自然及人類社會的密切聯系，了解數學的價值，增進對數學的理解和學好數學的信心。會求加權平均數，并體會權的差異對結果的影響。§中位數和眾數一、教學目標：1.掌握中位數、眾數等數據代表的概念，能根據所給信息求出相應的數據代表。2.合具體情境體會平均數、中位數和眾數三者的差別，能初步選擇恰當的數據代表對數據做出自己的判斷。3.培養學生對統計數據從多角度進行全面的分析，從而避免機械的、片面的解釋。二、教學重點和難點：重點：掌握中位數、眾數等數據代表的概念。難點：選擇恰當的數據代表對數據做出判斷。三、教學過程：（一）創設情景，引出課題師：在當今信息時代，信息的重要性不言而喻，而人們又經常要求一些信息“用數據說話”，所以對數據做出恰當的分析是很重要的。今天我們一起來學習數據的代表以及如何選擇恰當的數據代表對數據做出判斷。我們一起來看下列一組數據：課件顯示：問題1：數據誤導：某次數學考試，婷婷得到78分。全班共30人,其他同學的成績為1個100分，4個90分,22個80分,以及一個2分和一個10分。婷婷計算出全班的平均分為77分，所以婷婷告訴媽媽說，自己這次成績在班上處于“中上水平”。師：婷婷有欺騙媽媽嗎？【板書：平均數：對于n個數x1,x2,…,xn,我們把(x1+x2+…+xn)叫做這n個數的算術平均數(mean)，簡稱平均數。】生：沒有。師：平均數是我們常用的一個數據代表，但是在這里，利用平均數把倒數第三的分數說成處于班級的“中上水平”顯然有投機取巧之嫌，大家思考：那么問題出在哪里呢？生：平均分受兩個極端數據2分和10分的影響。師：你對此有何評價？生：…（復習了平均數的概念，同時說明有些數據利用平均數是反應不出問題的，為引入其他數據代表奠定基礎。另外新課伊始，力求創設一種引人入勝的教學情景，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引學生的課堂投入，符合學生的心理特征和認識規律。）師：類似的受平均數誤導例子還是很多的。婷婷的爸爸的公司在一次招聘時就出現了如下的情景。問題2阿沖應聘先請一位同學給畫面編一段話。然后提問：經理所說的公司的平均月薪2000元是否欺騙了阿沖？平均月薪2000元能客觀反映公司員工的平均收入嗎？若不能，你認為用哪個數據表示該公司員工收入的平均水平更合適？（二）交流對話，探究新知提出一個真實的問題，揭示學生認識上的矛盾，產生新的疑點，引起學生對“平均水平”的認知沖突，從而引入中位數和眾數的概念.板書：中位數——把n個數據按大小、順序排列，處于最中間位置的一個數據(或)叫做這組數據的中位數（median）.眾數——組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這批數據的眾數（mode）.教師提問：大家對這兩個概念還有什么疑問嗎？生：如果數據有偶數個時，如何求中位數？師：取最中間兩個數據的平均數。（用彩色粉筆板書補充）生：如果數據中兩個數據出現次數相等，眾數是哪一個？師：兩個都是.（用彩色粉筆板書：眾數可以有多個）生：如果數據中每個數據都只有出現一次呢？師：這組數據沒有眾數。（用彩色粉筆板書:眾數也可能沒有）生：一組數據總是重復一個數呢？師：這個數就是這組數據的眾數。（用彩色粉筆板書補充）師：還有什么疑問嗎？那么我們一起來做幾個練習。練習1、數據1285395454的眾數、中位數分別為（）A．、5B．5、C．5、4D．5、5武漢市初中畢業（升學）考試數學試題答：B2、對于數據組3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2①這組數據的眾數是3；②這組數據的眾數與中位數的數值不等；③這組數據的中位數與平均數的數值相等；④這組數據的平均數與眾數的數值相等。其中正確的結論有（）。（A）1個；（B）2個；（C）3個（D）4個。(2000年天津市數學中考試題)答：A3、婷婷的媽媽是一位校鞋經銷部的經理，為了解鞋子的銷售情況，隨機調查了9位學生的鞋子的尺碼，由小到大是：20，21，21，22，22，22，22，23，23。對這組數據的分析中，婷婷的媽媽最感興趣的數據代表是（）(A)平均數(B)中位數(C)眾數答：C（三）梳理概括，形成結構師：通過剛才的練習，我們基本掌握了數據三個代表的概念。（結合課件畫面）在實際生活中針對同一份材料，同一組數據，當人們懷著不同的目的，選擇不同的數據代表，從不同的角度進行分析時，看到的結果可能是截然不同的。婷婷同學利用自己的分數正好高出平均分的優勢，采用了平均數作為數據代表來向她媽媽匯報，從而得出自己的分數還是處于班級中上水平的結論。婷婷爸爸也是利用自己公司的平均工資較高的優勢，拿平均工資來吸引應聘者。作為信息的接受者，分析數據應該從多角度對統計數據作出較全面的分析，從而避免機械的，片面的解釋.（四）應用新知，體驗成功下面我們自己也試著把學過的知識應用到實際中。（課件顯示例1）例1某班的教室里，三位同學正在為誰的數學成績最好而爭論，他們的五次數學成績分別是：小玲：62，94，95，98，98.小明：62，62，98，99，100.小麗：40，62，85，99，99.他們都認為自己的成績比另兩位同學的好，請你結合各組數據的三個數據代表，談談你的觀點。（教師把班級學生分為4大組，分別代表小玲、小明、小麗和裁判組。讓學生充分利用本組數據中的優勢數據代表進行討論。教師適當點評）（六）變式練習，擴展新知師：剛才大家知識的應用得很好。（結合課件）議一議：平均數、中位數與眾數都有哪些自己的特點？教師引導學生圍繞以下內容展開：平均數:充分利用數據所提供信息,應用最為廣泛，但…中位數:計算簡單,受極端值影響較小,但…眾數:當一組數據中有些數據多次重復出現時,眾數往往是人們尤為關心的一個量.下面由我們自己去收集一組生活中的數據，然后再選擇恰當的數據代表來說明本組數據的特征。全班每個學習小組分別測出一組和本組同學相關的生活數據（例如每分鐘心跳的次數，每分鐘呼吸的次數，同學眼鏡近視的度數、中指的長度、身高等等），然后由各組選擇一位代表上來發布本組同學的所得數據的平均數、中位數和眾數，并選擇其中一個數據代表來說明本組數據的特征。（教師發給每個小組一張《活動報告單》，深入到學生活動中，適當答疑）（教師視課堂具體的時間的情況選擇是否講解：假如你是一名廠長……）（五）反饋評價，提示作業平均數、中位數和眾數各有所長，也各有其短。請你分別結合具體實例，說明平均數、中位數和眾數各自的現實意義。1.用平均數作為一組數據的代表，比較可靠和穩定，它與這組數據中的每一個數都有關系，對這組數據所包含的信息的反映最為充分，因而其應用最為廣泛，特別是在進行統計推斷時有重要的作用；但計算時比較煩瑣，并且容易受到極端數據的影響。2.用眾數作為一組數據的代表，著眼于對各數據出現的頻數的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關，可靠性比較差，但眾數不受極端數據的影響．當一組數據中有不少數據多次重復出現時，其眾數往往是我們關心的一種統計量。3.用中位數作為一組數據的代表，可靠性也比較差，但中位數也不受極端數據的影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，可用它來描述其集中趨勢。總結：今天我們都學到哪些知識？1.根據不同的實際需要，確定用平均數、中位數還是眾數反映數據的特征。2.平均數是最常用的指標。但在實際問題中，不能一味的使用平均數來確定數據的特征。補充練習：想一想：高一級學校錄取新生主要是依據考生的總分，這與平均數、中位數和眾數中的哪一個關系較大？答：和平均數的關系較大。計算平均數時用到了每一個數據，所以它對數據的變化比較敏感。平均數是最常用的指標。與中位數和眾數相比，它有時能夠獲得更多的信息。思考題：隨著汽車的日益普及，越來越多的城市發生了令人頭疼的交通堵塞問題。你認為衡量某條交通主干道的路況用過往車輛一天車速的平均數合適嗎？分析：人們上下班的時候是一天中最繁忙的兩個時段，其他時段車流量明顯減少，因此，如果用一天車速的平均數來衡量道路的路況，那么上下班交通堵塞的問題就給掩蓋了。所以，較為合理的是按道路繁忙的不同程度，將一天分為幾個時段分別計算平均車速。課后練習簡答題，請說明理由：（1）河水的平均深度為2。5米，一個身高1。5米但不會游泳的人下水后肯定會淹死嗎？（2）某學校錄取新生的平均成績是535分，如果某人的考分是531分，他肯定沒有被這個學校錄取嗎？（3）5位學生在一次考試中的得分分別是：18，73，78，90，100考分為73的同學是在平均分之上還是之下？你認為他在5人中考分屬“中上”水平嗎？五、作業：P227習題§從統計圖分析數據的集中趨勢教學目標：（一）知識目標：1、根據給定信息，會利用計算器求一組數據的平均數。2、會進行數據的收集、加工與整理。（二）能力目標：1、初步經歷數據的收集、加工與整理的過程，發展學生初步的統計意識和數據處理能力。2、通過對計算器求平均數的探索活動，培養學生對探索能力。（三）情感目標：在使用計算器求平均數的探索活動中，鼓勵學生重于探索，體驗數學活動充滿著探索與創造，同時通過互相間合作交流，讓所有學生都得到發展，達到共同進步。教學重點：1、探索用計算器求平均數的方法。2、用計算器求平均數。3、從所給條形圖中正確獲取信息，并能進行加工與整理。教學難點：會進行數據的收集、加工與整理。教學方法：合作探索法教學過程：一、引入新課：在前幾節課里我們分別學習了求算術平均數與加權平均數，在計算過程中，你們體會到有什么困難嗎？（引入）二、講授新課：1、探一探：（新6人為小組）（1）自己課桌的寬度，并將各組員的估計結果統計出來（精確厘米）。（2）用計算器求出估計結果的平均值，你是怎么做的？互相交流。計算器求一組數據平均數的一般步驟是：（以科學計算器為例）1、打開計算器，按鍵2進入統計狀態。2、按鍵SHIFTAC/ON=清除機器中原有統計數據。3、輸入數據4、顯示結果5、退出大家的做法與以上步驟一致嗎？量一量，與實際是否符合？2、例1，觀察圖8-1，利用計算器計算上海東方大鯊魚籃球隊隊員的平均年齡。問：分別指出圖中各年齡的人數？問：如何用計算器求出他們的平均年齡呢？三、課堂練習：1、P225隨堂練習2、補充練習：（1）下面是某空調專賣店在今年七月份10天的銷售數量：90，83，83，75，71，69，68，67，65，64求這組數據的平均數。（2）有人對展覽館七天中每天對館參觀的人數做了記錄，情況如下：180，176，173，176，176，181，182，求這組數據的平均數。§數據的離散程度

學習目標：(1)

經歷數據的收集、整理、描述和分析的過程；能根據數據處理的結果，做出合理的判斷和預測。

(2)

增強應用數學的意識和綜合運用所學知識解決問題的能力。

學習重點：熟悉數據的收集、整理、描述和分析，做出合理的判斷和預測

學習難點：對數據的收集、整理、描述和分析

學習過程：

一、自主學習.閱讀課本92頁圖10-1回答下面問題：

1.甲、乙兩名運動員的訓練成績的平均數

，眾數

中位數

2.觀察圖10-1，你發現那名運動員的成績波動范圍較大？誰的成績比較穩定？

3.通常用

來描述一組數據的波動范圍和偏離平均數的差異程度

二、合作交流

這兩組數據的平均數、中位數、眾數是否一致？僅關心數據的平均數、中位數、眾數就能得到全面的結論嗎？

三、鞏固練習：1、課本93頁練習

2、A組的2題

四、小結反思

處理數據時，我們不但要了解一組數據的平均水平，還需要了解這組數據的離散程度。

五、達標檢測：

綜合能力訓練88頁課堂練習第七章平行線的證明§為什么要證明一、學生知識狀況分析學生的技能基礎：在七年級和八年級上學生學習了很多與幾何相關的知識，為今天的進一步的學習作好了知識儲備，同時，學生也經歷了很多驗證結論合理性的過程，有了初步的邏輯推理思維，合情推理能力得到了很大的提高，為今天系統的培養學生嚴謹的邏輯推理能力打下了良好的基礎．學生活動經驗基礎：在以往的幾何學習中，學生已經參與了對幾何圖形的觀察、比較、動手操作、猜測、歸納等活動，對今天本節課的分組討論、自主探究等活動有很大的幫助．二、教學任務分析學生的直觀能力是數學教學中要培養的一個方面，但如果學生僅有對圖形的直觀感受而不能進行推理、論證，有時是會產生錯誤的結論，本課時安排《你能肯定嗎》的教學是讓學生的直觀感受與實際結果之間產生思維上的碰撞，從而使學生對原有的直觀感覺產生懷疑，從而確立對某一事物進行合理論證的必要性。因此，本課時的教學目標是：1.運用實驗驗證、舉反例驗證、推理論證等方法來驗證某些問題的結論正確與否．2.經歷觀察、驗證、歸納等過程，使學生對由這些方法所得到的結論產生懷疑，以此激發學生的好奇心，從而認識證明的必要性，培養學生的推理意識．3.了解檢驗數學結論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理論證等．三、教學過程分析本節課的教學思路為：驗證活動（1）——猜想并驗證活動（2）——猜想并驗證活動（3）——經驗總結——學生練習——課堂小結——鞏固練習第一環節：驗證活動（1）活動內容：某學習小組發現，當n=0，1，2，3時，代數式n2-n+11的值都是質數，于是得到結論：對于所有自然數n，n2-n+11的值都是質數．你認為呢？與同伴交流．參考答案：列表歸納為n01234567891011…n2-n+1111111317233141536783101121是否為質數是是是是是是是是是是是不是第二環節：猜想并驗證活動（2）活動內容：如圖，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進一個紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？參考答案：設赤道周長為c，鐵絲與地球赤道之間的間隙為：它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一個拳頭．第三環節：猜想并驗證活動（3）活動內容：如圖，四邊形ABCD四邊的中點E、F、G、H，度量四邊形EFGH的邊和角，你能發現什么結論？改變四邊形ABCD的形狀，還能得到類似的結論嗎？ABEABECDFGH∵E、F、G、H分別是四邊形ABCD四邊中點，∴EF∥AC，EF=AC；GH∥AC，GH=AC；∴EF平行且等于GH，∴四邊形EFHG為平行四邊形．第四環節：歸納與總結活動內容：①通過以上三個數學活動，使學生對每一個問題的結論的正確性有了懷疑，從而知道了由觀察、猜想等渠道得到的結論還必須經過有效的證明才能對其進行肯定．也即：要判斷一個數學結論是正確，僅觀察、猜想、實驗還不夠，必須經過一步一步，有根有據的推理．②舉例說明“推理意識”與推理方法．第五環節：反饋練習活動內容：1.如圖中兩條線段a與b的長度相等嗎？請你先觀察，再度量一下.答案：a與b的長度相等.第1小題圖第2小題圖2.如圖中三條線段a、b、c,哪一條線段與線段d在同一直線上？請你先觀察，再用三角尺驗證一下.答案：線段b與線段d在同一直線上.3.當n為正整數時，n2+3n+1的值一定是質數嗎？答案：經驗證：當n為正整數時，n2+3n+1的值一定是質數.第六環節：課堂小結活動內容：今天這節課你學到了什么知識？參考答案：①要說明一個數學結論是否正確，無論驗證多少個特殊的例子，也無法保證其正確性．②要確定一個數學結論的正確性，必須進行一步一步、有根有據的推理．第七環節鞏固練習課本第217頁習題第2，3題．§定義與命題（一）總體說明在了解推理的重要性以后，從本節課開始的連續兩節課將向學生簡單介紹定義、命題、真命題、假命題、公理、定理等一些術語和名詞，為后面的學習打好基礎，作好鋪墊．一、學生知識狀況分析學生技能基礎：學生在以前的學習中接觸了不少的幾何知識，對很多名詞、概念有了很深刻的認識，本節課將對學生傳授定義與命題的基本含義，學生對此已經有比較多的經驗和基礎．活動經驗基礎：在前面的學習中，學生對本節課將要采取的討論、舉例說明等學習方式有了比較深刻的認識，為今天的學習作了必要的鋪墊．二、教學任務分析在幾何中，有許許多多的定義、定理、公理等概念，還有一些真真假假的命題需要學生去辨別、去認識，本節課安排《定義與證明》旨在讓學生對定義、定理、公理等概念有一個清楚的認識和了解，為此，本節課的教學目標是：1.了解定義與命題的含義，會區分某些語句是不是命題．2.用比較數學化的觀點來審視生活中或數學學習中遇到的語句特征．3.通過對某些語句特征的判斷學會嚴謹的思考習慣．三、教學過程分析本節課的設計思路為：情景引入——命題含義（情景引入）——課堂練習——課堂小結——課后練習第一環節：情景引入（由學生表演）活動內容：小亮和小剛正在津津有味地閱讀《我們愛科學》.小亮說：……小剛說：“是的，現在因特網廣泛運用于我們的生活中，給我們帶來了方便，但……”小亮說：“……”小剛說：“……”小亮說：“哈！，這個黑客終于被逮住了.”……坐在旁邊的兩個人一邊聽著他們的談話，一邊也在悄悄議論著：一人說：“這黑客是個小偷吧？”另一人說：“可能是喜歡穿黑衣服的賊.”……一人說：“那因特網肯定是一張很大的網.”另一人說：“估計可能是英國造的特殊的網.”……（表演結束）教師提出問題：在這個小品中，你得到什么啟示？（人與人之間的交流必須在對某些名稱和術語有共同認識的情況下才能進行.為此，我們需要給出它們的定義.）①關于“黑客”對話的片斷來引入生活中交流時必須對某些名稱和術語有共同的認識才能進行；②對定義含義的解釋；③舉例說明生活中和數學學習中所熟知的定義（學生舉例，看哪個小組的舉例又多又好）；第二環節：命題含義（情景引入）活動內容：①師：如果B處水流受到污染，那么____處水流便受到污染;如果C處水流受到污染，那么____處水流便受到污染；如果D處水流受到污染，那么____處水流便受到污染；學生自編自練：如果____處水流受到污染，那么____處水流便受到污染．（［生甲］如果B處工廠排放污水，那么A、B、C、D處便會受到污染.［生乙］如果B處工廠排放污水，那么E、F、G處也會受到污染的.［生丙］如果C處受到污染，那么A、B、C處便受到污染.［生丁］如果C處受到污染，那么D處也會受到污染的.［生戊］如果E處受到污染，那么A、B處便會受到污染.［生己］如果H處受到污染，我認為是A處的那個工廠或B處的那個工廠排放了污水.因為A處工廠的水向下游排放，B處工廠的污水也向下游排放.……老師歸納：同學們在假設的前提條件下，對某一處受到污染作出了判斷.像這樣，對事情作出判斷的句子，就叫做命題.即：命題是判斷一件事情的句子.如：熊貓沒有翅膀.對頂角相等.大家能舉出這樣的例子嗎？［生甲］兩直線平行，內錯角相等.［生乙］無論n為任意的自然數，式子n2－n+11的值都是質數.［生丙］內錯角相等.［生丁］任意一個三角形都有一個直角.［生戊］如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.［生己］全等三角形的對應角相等.……［師］很好.大家舉出許多例子，說明命題就是肯定一個事物是什么或者不是什么，不能同時既否定又肯定，如：你喜歡數學嗎？作線段AB=a.平行用符號“∥”表示.這些句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它們就不是命題.一般情況下：疑問句不是命題.圖形的作法不是命題.）第三環節：反饋練習活動內容：1.你能列舉出一些命題嗎？答案：能.舉例略.2.舉出一些不是命題的語句.答案：如：①畫線段AB=3cm.②兩條直線相交，有幾個交點？③等于同一個角的兩個角相等嗎？④在射線OA上，任取兩點B、C.等等.第四環節：課堂小結活動內容：①定義的含義：對名稱和術語的含義加以描述，作出明確的規定，就是它們的定義；②命題的含義：判斷一件事情的句子，叫做命題，如果一個句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題．第五環節課后練習學習小組搜集八年級數學課本中的新學的部分定義、命題，看誰找得多．四、教學反思本節課的設計具有如下特點：（1）采用了“小品表演”的形式引入新課，意在激起學生對數學的興趣，讓學生知道，數學不是枯燥無味的。并能從表演中不同的人對“黑客”這個名詞的不同理解更好地悟出“定義”的含義。（2）在教學設計中，充分展示學生的語言表達能力，力圖通過學生的自主學習來體現學生的主體地位，教師則通過對學生的啟發、調整、激勵來實現自己的主導地位。（3）“什么是定義？什么是命題？”，關于這方面的教學更象是文科的教學，但我們注重的不是讓學生去死記硬背這些名詞的解釋，而應側重于對這些名詞的理解。§定義與命題（二）一、學生知識狀況分析學生技能基礎：學習本節之前，學生已經對命題的含義有所了解，并且已經學習過一些公理和定理，為公理化思想的培養作好了充分準備．活動經驗基礎：有了上一節的活動基礎，學生對本節課主要采取學生分組交流、討論、舉例說明的學習方式有比較好的活動經驗．二、教學任務分析在上一節課的學習中，學生對命題的概念有了清楚的認識，但學生對于命題的構造，什么是真命題，什么是假命題還不甚了解，本節課旨在讓學生對真假命題有一個清楚的認識，從而進一步了解定理、公理的概念，為此，本節課的教學目標是：1.了解命題中的真命題、假命題、定理的含義；2.解命題的構成，能區分命題中的條件和結論。3.經歷實際情境，初步體會公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理．4.培養學生的語言表達能力。三、教學過程分析本節課的設計分為五個環節：回顧引入——探索命題的結構——思考探討——讀一讀——課堂反思與小結．第一環節：回顧引入活動內容：①什么叫做定義？舉例說明．②什么叫命題？舉例說明．第二環節：探索命題的結構活動內容：①探討命題的結構特征觀察下列命題，發現它們的結構有什么共同特征？（1）如果兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等．（2）如果一個三角形是等腰三角形，那么這個三角形的兩個底角相等．（3）如果一個四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四