重難點04（雙）角平分線模型【知識梳理】（雙）角平分線模型1.雙內角平分線2.雙外角平分線3.內角平分線+外角平分線三角形三個內角的和等于180°三角形的外角等于與它不相鄰的兩本內角的和.【考點剖析】題型1.雙內角平分線例1.如圖，△ABC中，∠B和∠C的平分線交于點O，若∠A＝70°，則∠BOC＝度．【解答】解：如圖，延長AO交于BC于點D，∵∠B和∠C的平分線交于點O∴∠ACB＝2∠2，∠ABC＝2∠1，∵∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°，∴2∠1+2∠2+∠BAC＝180°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠BAC）÷2＝（180°﹣70°）÷2＝55°．∵∠BOD＝∠1+∠BAO，∠DOC＝∠2+∠OAC，又∵∠BAO+∠CAO＝∠BAC，∠BOD+∠COD＝∠BOC，∴∠BOC＝∠1+∠2+∠BAC＝55°+70°＝125°．故答案為：125．例2．（2022秋?瑤海區期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，根據下列條件，求∠BPC的度數．（1）若∠A＝68°，則∠BPC＝°；（2）從上述計算中，我們能發現：∠BPC＝（用含∠A的式子表示），并說明理由．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案為：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案為：90°+∠A．例3.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點I，根據下列條件求∠BIC的度數，（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝80°，則∠BIC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠BIC＝；（3）若∠A＝56°，則∠BIC＝；（4）若∠BIC＝100°，則∠A＝；（5）通過以上計算，探索出您所發現規律：∠A與∠BIC之間的數量關系是．【解答】解：（1）∠ICB＝＝40°＝25°∠CIB＝180°﹣40°﹣25°＝115°；（2）∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝58°，∠CIB＝180°﹣58°＝122°；（3）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝112°，∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）＝56°，∠CIB＝180°﹣56°＝118°；（4）∠ICB+∠IBC＝180°﹣∠CIB＝80°，∠ABC+∠ACB＝2（∠ICB+∠IBC）＝160°，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝20°；（5）∠BIC＝180°﹣（∠ICB+∠IBC）而∠ICB+∠IBC＝（∠ABC+∠ACB）；∠ABC+∠ACB＝180﹣∠A所以∠BIC＝180°﹣（180﹣∠A）＝90°+∠A．例4．如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O．（1）若∠ABC＝40°、∠ACB＝50°，則∠BOC＝；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠BOC＝；（3）若∠A＝76°，則∠BOC＝；（4）若∠BOC＝120°，則∠A＝；（5）請寫出∠A與∠BOC之間的數量關系（不必寫出理由）．【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB），（1）當∠ABC＝40°、∠ACB＝50°時，∠OBC+∠OCB＝×（40°+50°）＝45°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝135°．故答案是：135°；（2）若∠ABC+∠ACB＝116°，則∠OBC+∠OCB＝×116°＝58°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝122°．故答案是：122°；（3）在△ABC中，∠A＝76°，則∠ABC+∠ACB＝180°﹣76°＝104°．∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝52°，∴在△BOC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝128°．故答案是：128°；（4）若∠BOC＝120°，則∠OBC+∠OCB＝60°，∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝120°，∴在△ABC中，∠A＝180°﹣120°＝60°．故填：60°；（5）設∠BOC＝α，∴∠OBC+OCB＝180°﹣α，∵∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+OCB）＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α，∴∠A＝180°﹣（ABC+∠ACB）＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°，故∠BOC與∠A之間的數量關系是：∠A＝2∠BOC﹣180°．故答案是：∠A＝2∠BOC﹣180°．題型2.雙外角平分線例5.（1）如圖（1），在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，∠A＝40°求∠BOC的度數．（2）如圖（2），△A′B′C′外角的平分線相交于點O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度數．（3）由（1）、（2）可以發現∠BOC與∠B′O′C′有怎樣的數量關系？設∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′是否還具有這樣的數量關系？這個結論你是怎樣得到的？【解答】解：（1）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，則∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣40°）＝70°．故∠BOC＝180°﹣70°＝110°；（2）因為∠A的外角等于180°﹣40°＝140°，△A′B′C′另外的兩外角平分線相交于點O′，根據三角形的外角和等于360°，所以∠1+∠2＝×（360°﹣140°）＝110°，∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°；（3）∵（1）（2）中∠BOC+∠B′O′C′＝110°+70°＝180°，∴∠BOC與∠B′O′C′互補；證明：當∠A＝n°時，∠BOC＝180°﹣[（180°﹣n°）÷2]＝90°+n°，∵∠A′＝n°，∠B′O′C′＝180°﹣[360°﹣（180°﹣n°）]÷2＝90°﹣n°，∴∠A+∠A′＝90°+n°+90°﹣°＝180°，∠BOC與∠B′O′C′互補，∴當∠A＝∠A′＝n°，∠BOC與∠B′O′C′還具有互補的關系．例6.（2022秋·八年級課時練習）如圖1，△ABC的外角平分線交于點F．（1）若∠A＝40°，則∠F的度數為；（2）如圖2，過點F作直線MN∥BC，交AB，AC延長線于點M，N，若設∠MFB＝α，∠NFC＝β，則∠A與α+β的數量關系是；（3）在（2）的條件下，將直線MN繞點F轉動．①如圖3，當直線MN與線段BC沒有交點時，試探索∠A與α，β之間的數量關系，并說明理由；②當直線MN與線段BC有交點時，試問①中∠A與α，β之間的數量關系是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請給出三者之間的數量關系．【答案】（1）70°（2）

（3）①見解析

②不成立；或【詳解】解：（1）如圖1，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝140°，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣140°＝220°，又∵△ABC的外角平分線交于點F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×220°＝110°，∴△BCF中，∠F＝180°﹣110°＝70°，故答案為：70°；（2）如圖2，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，又∵△ABC的外角平分線交于點F，∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，故答案為：α+β﹣∠A＝90°；（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：如圖3，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，∴α+β+90°﹣∠A＝180°，即α+β﹣∠A＝90°，②當直線MN與線段BC有交點時，①中∠A與α，β之間的數量關系不成立．分兩種情況：如圖4，當M在線段AB上，N在AC延長線上時，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，即β﹣α﹣∠A＝90°；如圖5，當M在AB的延長線上，N在線段AC上時，由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，∵∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，即α﹣β﹣∠A＝90°；綜上所述，∠A與α，β之間的數量關系為β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．題型3.內角平分線+外角平分線例7．如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2，…，∠A2013BC的平分線與∠A2013CD的平分線交于點A2014，得∠A2014CD，則∠A2014＝．【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此類推可知∠A2014＝∠A＝°．故答案為：°．例8.（2021秋?利辛縣月考）（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求證：∠P＝90°+∠A；（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何數量關系，并證明你的結論．【解答】（1）證明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：證明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【過關檢測】一．選擇題（共8小題）1．（2022春?振興區校級期末）如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為15，20，25，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5【分析】過O點作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如圖，利用角平分線的性質得到OD＝OE＝OF，然后根據三角形面積公式得到S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：AC．【解答】解：過O點作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥CA于F，如圖，∵點O是△ABC三條角平分線的交點，∴OD＝OE＝OF，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB?OD）：（OE?BC）：（OF?AC）＝AB：BC：AC＝15：20：25＝3：4：5．故選：D．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積公式．2．（2022秋?黃岡期中）如圖，△ABC中，BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∠A＝50°，則∠BOC等于（）A．110° B．115° C．120° D．130°【分析】根據三角形的內角和定理和角平分線的定義求出∠OBC+∠OCB的度數，再根據三角形的內角和等于180°即可求出∠BOC的度數．【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，∵BO，CO分別是∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．故選：B．【點評】本題主要利用三角形的內角和定理和角平分線的定義，熟練掌握定理和概念是解題的關鍵．3．（2022秋?上杭縣校級期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，則∠A的度數為（）A．60° B．80° C．70° D．45°【分析】根據BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根據∠BFC＝125°，利用三角形內角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，從而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根據三角形內角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故選：C．【點評】本題考查了三角形內角和定理與角平分線的定義，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．4．（2022秋?西陵區校級期中）如圖，△ABC的三邊AB、BC、AC的長分別是9、12、15．其三條角平分線交于點O，將△ABC分為三個三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：4【分析】過O點作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F，根據角平分線的性質可知：OD＝OE＝OF，利用三角形的面積公式計算可求解．【解答】解：過O點作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分別為D，E，F，∵△ABC的三條角平分線交于點O，∴OD＝OE＝OF，在△ABC中，AB＝9，BC＝12，AC＝15，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB?DO：BC?EO：AC?OF＝AB：BC：AC＝9：12：15＝3：4：5，故選：C．【點評】本題主要考查勾股定理，三角形的面積，角平分線的性質，利用角平分線的性質求得OD＝OE＝OF是解題的關鍵．5．（2021秋?冷水灘區校級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D，∠A＝40°，則∠BDC的度數是（）A．110° B．120° C．130° D．140°第6題圖【分析】在△ABC中，求得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，根據∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，求得∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中根據三角形內角和定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分線交于點D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故選：A．【點評】本題考查了三角形內角和定理，熟練應用三角形內角和定理是解題的關鍵．6．（2021秋?新興縣期中）如圖所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點O，若∠BOC＝140°，則∠A的度數是（）A．40° B．90° C．100° D．140°【分析】先根據BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根據三角形內角和定理計算出∠1+∠2的度數，進而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度數．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，∵∠BOC＝140°，∴∠1+∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，∴∠A＝180°﹣80°＝100°，故選：C．【點評】此題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵．7．（2022?峨邊縣模擬）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CD交于點D．過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，則△AEF的周長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據角平分線與平行這兩個條件可證明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周長為：14，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握根據角平分線與平行這兩個條件可證明等腰三角形是解題的關鍵．8．（2022秋?東光縣校級月考）如圖，D是△ABC的角平分線BD和CD的交點，過點D作△BCD的高，交BC于點E．若∠A＝70°，∠CDE＝65°，則∠DBE的度數為（）A．30° B．35° C．20° D．25°【分析】利用三角形的內角和定理先求出∠BCD，再求出∠ABC，通過角平分線的定義得結論．【解答】解：∵DE⊥BC∴∠CED＝90°．∴∠DCB+∠CDE＝90°．∵∠CDE＝65°，∴∠BCD＝25°∵BD、CD分別是∠CBA、∠BCA的平分線，∴∠CBA＝2∠CBD，∠BCA＝2∠BCD＝50°．∵∠A+∠CBA+∠BCA＝180°，∠A＝70°，∴∠CBA+∠BCA＝110°．∴∠CBA＝110°﹣50°＝60°．∴∠DBE＝∠DBC＝30°．故選：A．【點評】本題主要考查了三角形的內角和定理及角平分線的定義，掌握“三角形的內角和是180°”及角平分線的定義是解決本題的關鍵．二．填空題（共6小題）9．（2021秋?岷縣期中）如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB，AC于點E，F．當EF＝6，CF＝4時，BE的長為2．【分析】利用平行和角平分線得到BE＝OE，OF＝CF，可得出結論EF＝BE+CF，由此即可求得BE的長．【解答】解：如圖，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO；∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EOB＝∠EBO，∴BE＝OE；同理可證CF＝OF，∴EF＝BE+CF，∵EF＝6，CF＝4，∴OE＝EF﹣OF＝EF﹣C＝2，∴BE＝OE＝2，故答案為2．【點評】本題主要考查等腰三角形的判定和性質，結合平行得到BE＝EO，CF＝OF是解題的關鍵．10．（2022秋?安陸市期中）如圖△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于H，過點H作EF∥BC交AB于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四個結論①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③點H到△ABC各點的距離相等；④若B，H，D三點共線時，△ABC一定為等腰三角形．其中正確結論的序號為②③④．【分析】①先根據角平分線的性質得出∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB），再由三角形內角和定理即可得出結論；②根據∠ABC和∠ACB的平分線相交于點H可得出∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH，再由EF∥BC可知∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，故可得出BE＝EH，HF＝CF，由此可得出結論；③根據三角形內心的性質即可得出結論；④根據已知條件可以得到△ABD≌△CBD，利用全等三角形的性質即可解決問題．【解答】解，①∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點H，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A），∴∠BHC＝180°﹣（∠HBC+∠HCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故①錯誤；②∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點H，∴∠EBH＝∠CBH，∠BCH＝∠FCH．∵EF∥BC，∴∠CBH＝∠EHB，∠BCH＝∠CHF，∴∠EBH＝∠EHB，∠FCH＝∠CHF，∴BE＝EH，HF＝CF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF，∴EF﹣BE＝CF，故②正確；③∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點H，∴點H是△ABC的內心，∴點H到△ABC各邊的距離相等，故③正確；④若B，H，D三點共線時，則BD⊥AC，且BD平分∠ABC，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝AC，∴△ABC一定為等腰三角形，故④正確．故答案為：②③④；【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質、角平分線的性質、平行線的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識；熟練掌握角平分線的性質、三角形內角和定理及三角形內心的性質是解題的關鍵．11．（2022秋?武昌區校級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分線相交于點O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，則△CDE的周長為2．【分析】延長DO交AB于點M，延長EO交AB于點N，根據ASA定理可得△BOE≌△BON，△AOD≌△AOM，再由SAS定理得出△EOD≌△NOM，由全等三角形的對應邊相等可得出結論．【解答】解：延長DO交AB于點M，延長EO交AB于點N∵OB是∠ABC的平分線，∴∠OBE＝∠OBN．∵OE⊥OB，∴∠BOE＝∠BON＝90°．在△BOE與△BON中，，∴△BOE≌△BON（ASA）．同理可得，△AOD≌△AOM，∴OE＝ON，OD＝OM，BE＝BN，AD＝AM．在△EOD與△NOM中，，∴△EOD≌△NOM（SAS），∴DE＝MN．∴CE+CD+DE＝BC﹣BE+AC﹣AD+MN＝BC﹣（BM+MN）+AC﹣（AN+MN）+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN﹣MN+MN＝BC﹣BM﹣MN+AC﹣AN＝BC﹣（BM+MN+AN）+AC＝BC+AC﹣AB＝4+3﹣5＝2．故答案為：2．【點評】本題考查的是角平分線的性質，根據題意作出輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．12．（2021秋?道里區期末）如圖，在△ABC中，BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，EF過點D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，則EF的長為7．【分析】根據角平分線與平行兩個條件，可證出等腰三角下即可解答．【解答】解：∵BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED＝3，FD＝FC＝4，∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，故答案為：7．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握角平分線與平行兩個條件，可以證明等腰三角形是解題的關鍵．13．（2022秋?長興縣月考）如圖，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，則∠BOC＝122°．【分析】先利用三角形的內角和定理求出∠ABC與∠ACB的和，再利用角平分線的定義求出∠OBC與∠OCB的和，最后利用三角形的內角和定理求出∠O．【解答】解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝64°，∴∠ABC+∠ACB＝116°．∵OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC＝ABC，∠OCB＝ACB．∴∠OBC+∠OCB＝ABC+ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝58°．∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠O＝180°﹣58°＝122°．故答案為：122°．【點評】本題考查了角平分線的定義及三角形的內角和定理，掌握“三角形的內角和是180°”及角平分線的定義是解決本題的關鍵．14．（2021秋?天山區校級期中）如圖，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1得∠A1，∠A1BC的平分線與∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2，…，∠A2008BC的平分線與∠A2008CD的平分線交于點A2009，得∠A2009，則∠A2009＝．【分析】讀懂題意，根據角平分線的定義找規律，按規律作答．利用外角的平分線表示∠ACA1，再根據角平分線和三角形內角和定理求出∠A1等于∠A的一半，同理，可以此類推，后一個是前一個的一半，而2的次數與腳碼相同．【解答】解：∵∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD＝（∠A+∠ABC），又∵∠ABA1＝∠A1BD＝∠ABD，∠A1CD＝∠A1BD+∠A1，∴∠A1＝∠A＝α．同理∠A2＝∠A1，…即每次作圖后，角度變為原來的．故∠A2009＝．【點評】本題是一道找規律的題目，這類題型在中考中經常出現．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．三．解答題（共8小題）15．（2021秋?呼和浩特期中）（1）如圖1，在△ABC中BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，過點O作直線EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，直接寫出EF和BE、CF的數量關系EF＝BE+CF．（2）如圖2，若將（1）中的“BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB”改為“BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB的外角”，其他條件不變，則EF與BE、CF的關系又如何？請說明理由．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據角平分線性質和平行線性質推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根據等角對等邊推出即可；根據BE＝OE，CF＝OF即可得出EF與BE、CF之間的關系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據角平分線性質和平行線性質推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根據等角對等邊推出即可；根據BE＝OE，CF＝OF即可得出EF與BE、CF之間的關系．【解答】解：（1）EF＝BE+CF．理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE+CF．（2）EF＝BE﹣CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝BE﹣CF．【點評】本題考查了角平分線定義，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識點，關鍵是推出BE＝OE，CF＝OF．16．（2022秋?新鄉期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）當BE＝5，CF＝3，則EF＝8；（2）當BE＞CF時，若CO是∠ACB的外角平分線，如圖2，它仍然和∠ABC的角平分線相交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF之間的關系，并說明理由．【分析】（1）由平行線的性質和角平分線的定義可證BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；（2）與（1）同理可證．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案為：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，角平分線的定義等知識，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關鍵．17．（2022秋?瑤海區期中）如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，根據下列條件，求∠BPC的度數．（1）若∠A＝68°，則∠BPC＝124°；（2）從上述計算中，我們能發現：∠BPC＝90°+∠A（用含∠A的式子表示），并說明理由．【分析】（1）先根據三角形的內角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分線定義得：∠PBC+∠PCB＝56°，從而得出∠BPC的度數；（2）與（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案為：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案為：90°+∠A．【點評】本題主要考查了內角平分線和外角平分線的定義，與三角形內角和相結合，得出內角平分線的夾角和外角平角線的夾角與第三個角的關系．18．（2021秋?雙臺子區校級期中）（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB，AC于點E，F．直接寫出線段EF與BE，CF之間的數量關系：EF＝BE+CF．（2）如圖2，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于點E，交AC于點F．則EF與BE，CF之間的數量關系又如何？說明你的理由．【分析】（1）利用角平分線與平行線證明△BEO和△CFO是等腰三角形即可；（2）利用角平分線與平行線證明△BEO和△CFO是等腰三角形即可．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案為：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，結合圖形找到角與邊的關系是解題的關鍵．19．（2023春?永春縣期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是射線AB上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交直線CD于點F，∠BEF的角平分線所在的直線與直線CD交于點G（不與點C重合）．（1）如圖，點E在線段AD上運動，若∠B＝50°，∠ACB＝30°，求∠EGC的度數；（2）若點E在線段DB的延長線上時，設∠A＝α，求∠EGC的度數（答案可用含α的代數式表示）．?【分析】（1）由角平分線的性質及平行線的性質可得：∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，再利用三角形的外角可得結果；（2）先求得∠EGD＝90°﹣α，再由平角可得∠EGC．【解答】解：（1）EF∥BC，∴∠B＝∠FEB＝50°，∠EFD＝∠BCD，∵CF是∠ACB的平分線，EG是∠FED的平分線，∴∠FEG＝∠DEG＝∠FED＝25°，∠BCD＝∠ACD＝∠ACB＝∠EFD＝15°，∴∠EGC＝∠FEG+∠EFG＝45°，（2）當點E在射線DB上時，如圖，∵∠EGD＝∠FEG+∠EFG＝（∠FED+∠ACB）＝（∠ACB+∠B）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∴∠EGC＝180°﹣∠EGD＝180°﹣90°+∠α＝90°+∠α．【點評】本題主要考查了平行線的性質、三角形內角和定理、三角形的外角性質，熟練掌握各知識點是解決本題的關鍵．20．（2022秋?東昌府區校級期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關系又如何？說明你的理由．【分析】（1）利用角