第01課菱形的性質與判定課后培優練課后培優練級練培優第一階——基礎過關練一、單選題1．下列四邊形中不一定為菱形的是（）A．對角線相等的平行四邊形 B．對角線平分一組對角的平行四邊形C．對角線互相垂直的平行四邊形 D．用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形【答案】A【解析】A.對角線相等的平行四邊形是矩形而不一定是菱形；

B.對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

D.用兩個全等的等邊三角形拼成的四邊形四條邊形等是菱形；故選A.2．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，則BD：AC等于(

)A．：2 B．：3 C．1：2 D．：1【答案】B【解析】解：由題可知設，則，故選B3．菱形的兩條對角線長分別為6㎝和8㎝,則這個菱形的面積為(

)A．48 B． C． D．18【答案】B【解析】試題解析：根據菱形的面積公式：故選B.4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，則對角線AC等于()A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【解析】試題解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，∵∠B：∠BCD=1：2，∴∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=5．故選A．5．菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,則AE=6cm,則菱形ABCD的邊長為()A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【解析】試題解析：如圖所示：∵菱形ABCD的面積為，AE=6cm，AE⊥BC，∴菱形的面積=24=AE×BC，則AB=BC=24÷6=4(cm).故選A.點睛：菱形的性質：四條邊相等.6．如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對角線AC、BD相交于O點，E是AD的中點，連接OE，則線段OE的長等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【解析】試題分析：∵菱形ABCD的周長為48cm，∴AD=12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中點，∴OE=AD=6（cm）．故選C．考點：菱形的性質；三角形中位線定理．7．如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,CE∥BD,DE∥AC,AD＝2,DE＝2,則四邊形OCED的面積為（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】A【解析】連接OE，與DC交于點F，∵四邊形ABCD為矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四邊形ODEC為平行四邊形，∵OD=OC，∴四邊形ODEC為菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四邊形ADEO為平行四邊形，∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根據勾股定理得：DF==1，即DC=2，則S菱形ODEC=OE?DC=××2=．故選A．8．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點O，連接BO．若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數為（）A．28° B．52° C．62° D．72°【答案】C【解析】【分析】根據菱形的性質以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數．解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質和全等三角形的判定和性質，注意掌握菱形對邊平行以及對角線相互垂直的性質．二、填空題9．若?ABCD的對角線AC平分∠DAB，則對角線AC與BD的位置關系是________．【答案】互相垂直【解析】【分析】證明AB=BC可得到四邊形ABCD是菱形，即可得到對角線AC與BD的位置關系．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴AB=BC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴對角線AC與BD的位置關系是：互相垂直．故答案為：互相垂直．【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質、平行四邊形的性質，關鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形．10．矩形和菱形都是常見的幾何圖形，請根據它們的性質，寫出矩形和菱形的兩個不同點：①_________﹔②________．【答案】

矩形的對角線相等；（答案不唯一）

菱形的對角線互相垂直．（答案不唯一）【解析】【分析】根據矩形和菱形的性質，然后判斷它們性質的不同點，即可得到答案．解：根據題意，矩形的性質有：兩組對邊平行且相等；每個內角都是90°；對角線互相平分且相等；菱形的性質有：兩組對邊平行且相等；四條邊都相等；對角線互相平分且垂直；∴不同點有：①矩形的四個內角都是90°；②矩形的對角線相等；③菱形的四條邊都相等；④菱形的對角線互相垂直．故答案為：矩形的對角線相等；菱形的對角線互相垂直．（答案不唯一）【點睛】本題考查了矩形和菱形的性質，解題的關鍵是熟練掌握矩形和菱形的性質進行分析．11．如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，C在軸上，頂點B的坐標為（2，3），那么頂點D的坐標是______________；【答案】【解析】【分析】由菱形的性質和已知條件得出、關于軸對稱，由頂點的坐標為，即可得出點的坐標．解：菱形的頂點，在軸上，，菱形關于軸對稱，、關于軸對稱，頂點的坐標為，頂點的坐標是；故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質、坐標與圖形性質、對稱的性質等知識；熟練掌握菱形的性質和關于軸對稱的性質是解題的關鍵．12．如圖，在四邊形中，對角線相交于點，且互相垂直平分，若，若上有一點，使，那么_______．【答案】25°【解析】【分析】首先證明四邊形ABCD是菱形，可求∠ABD＝50°，又因為BE＝BO，所以∠BEO＝∠BOE＝65°，然后可得結果．解：∵對角線相交于點，且互相垂直平分∴四邊形ABCD是菱形，∵∠BAD＝80°，∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°?80°）＝50°，又∵BE＝BO，∴∠BEO＝∠BOE＝×（180°?50°）＝65°．∴90°?65°＝25°，故答案為25°．【點睛】此題考查了菱形的判定和性質以及等邊對等角，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．．三、解答題13．已知?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，OA，OB，AB的長分別為3，4，5，求其他各邊以及兩條對角線的長度．【答案】其他各邊的長都是5，兩條對角線的長分別為6，8【解析】【分析】根據勾股定理的逆定理，先證明AC⊥BD，得四邊形ABCD是菱形，即可解決問題．解：∵OA=3，OB=4，AB=5，∴OA2+OB2=32+42=25，AB2=25，∴AO2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，∴AC⊥DB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC=2AO=6，BD=2BO=8．．答：其他各邊的長都是5，兩條對角線的長分別為6，8．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定和性質、勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是利用勾股定理的逆定理得出對角線互相垂直．14．已知：如圖，在菱形中，，對角線與相交于點O．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性質得出AD＝BC，AB＝DC，進而得出答案；（2）利用線段垂直平分線的判定與性質得出答案．證明：（1）∵四邊形是菱形，∴（菱形的對邊相等）又∵，∴．（2）∵，∴是等腰三角形．又∵四邊形是菱形，∴（菱形的對角線互相平分）．在等腰三角形中，∵，∴，即．【點睛】此題主要考查了菱形的性質以及等腰三角形的三線合一，正確應用菱形的性質是解題關鍵．培優第二階——拓展培優練一、單選題1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的是（）A．當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形 B．當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形C．當AC=BD時，四邊形ABCD是矩形 D．當∠ABC=90°時，四邊形ABCD是正方形【答案】D【解析】【分析】根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；根據對角線相等的平行四邊形是矩形；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，則A、當AB=BC時，四邊形ABCD是菱形，正確，不符合題意；B、當AC⊥BD時，四邊形ABCD是菱形，正確，不符合題意；C、當AC=BD時，四邊形ABCD是矩形，正確，不符合題意；D、當∠ABC=90°時，四邊形ABCD是矩形，故錯誤，符合題意；故選：D.【點睛】本題考查了菱形的判定和矩形的判定，解題的關鍵是熟練掌握菱形和矩形的判定定理.2．菱形中，．點、分別在邊、上，且．若，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先證明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等邊三角形，即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的對角線，∴∠ACF∠DCB＝60°，∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等邊三角形，∵EF＝2，∴S△AEF×22，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是證明全等三角形得到△AEF是等邊三角形，牢記等邊三角形面積公式是解題關鍵．3．四邊形是菱形，，，對角線與相交于點，點在上，若，則（

）A． B． C．或 D．4【答案】C【解析】【分析】根據菱形的性質得出AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，結合題意得出△ABD是等邊三角形，再利用勾股定理確定OC=OA，考慮點E在AC上，可能在點O的左邊或右邊，結合圖形求解即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，如圖所示，∴.AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=6，OB=BD=3，∴OC=OA=，∴.AC=2OA=，∵點E在AC上，可能在點O的左邊或右邊，OE=，∴CE=OC+OE=或CE=OC-OE=，故選：C．【點睛】題目主要考查菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識是解題的關鍵．4．如圖，點A在x軸正半軸上，點，將菱形ABCO繞原點O旋轉90°，則旋轉后點B的對應點的坐標是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】將菱形ABCO繞原點O逆時針或順時針旋轉90°，分別作出圖形求出、的長度即可求得答案．如圖所示，將菱形ABCO繞原點O逆時針旋轉90°，過點B作BD⊥x軸于點D，過作于點，過點C作CE⊥x軸于點E，∵點，∴OE=4，CE=3，∴,∵四邊形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=5，OC∥AB，∴∠COE=∠BAD，又∵∠CEO=∠BDA，∴△COE≌△BAD（AAS），∴AD=OE=4，BD=CE=3，由旋轉可得，△BAD≌△,∴,，，∴，

∵在第二象限，∴；如圖所示，將菱形ABCO繞原點O順時針旋轉90°，過點B作BD⊥x軸于點D，過作于點，過點C作CE⊥x軸于點E，同理可得，△BAD≌△，∴,，，∴，∵在第四象限，∴；綜上所述，或；故選：C．【點睛】本題考查了旋轉的性質、菱形的性質、全等三角形的判定和性質，平面直角坐標系中點的坐標特點，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．5．如圖，在菱形中，，點為對角線上一點，為邊上一點，連接、、，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后證明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，則∠BAE=104°，∠DAE=36°，證明∠EFA=∠EAF=36°，則由三角形外角的性質可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故選A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，證明△ABE≌△CBE是解題的關鍵．6．如圖，在菱形ABCD中，AB=AC=4，點E、F分別為邊AB、BC上的點，且AE=BF，連接CE、AF交于點H，連接DH交AC于點O，則下列結論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=8；其中正確的結論個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】【分析】根據菱形的性質，利用SAS證明即可判斷①；根據△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性質以及菱形內角度數即可判斷②；通過說明∠CAH≠∠DAO，判斷△ADO≌△ACH不成立，可判斷③；再利用菱形邊長即可求出菱形面積，可判斷④.解：∵四邊形ABCD為菱形，∴，∵AB=AC=4，∴△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正確；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正確；∵∠B=∠CAE=60°，在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③錯誤；∵AB=AC=4，過點A作AG⊥BC，垂足為G，如圖所示：∴∠BAG=30°，BG=2，∴AG==，∴菱形ABCD的面積為：=，故④正確；綜上分析可知，正確的結論有3個，故C正確．故選：C.【點睛】本題主要考查了全等三角形判定和性質，菱形的性質和面積，等邊三角形的判定和性質，外角的性質，解題的關鍵是利用菱形的性質△ABF≌△CAE．7．如圖，菱形，點、、、均在坐標軸上，，點，點是的中點，點是上的一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【解析】【分析】直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關于直線AC的對稱點B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．如圖：連接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D關于直線AC對稱，∵直線AC上的動點P到E、D兩定點距離之和最小∴根據“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點是的中點，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點睛】本題考查菱形性質及動點問題，解題的關鍵是構造直角三角形用勾股定理求線段長．8．如圖，點，分別在菱形的邊，上，點，分別在，的延長線上，且．連結，，，，若菱形和四邊形的面積相等，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】【分析】根據題意先證四邊形EFGH是平行四邊形，由平行四邊形的性質求出EH∥AC，進而由面積關系進行分析即可求解．解：連接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，連接EG．∵四邊形ABCD是菱形，∠D=∠B，AB=CD=AD=BC，∵AE=AH=CG=CF，∴DH=BF，BE=DG，在△DHG和△BFE中，，∴△DHG≌△BFE，∴HG=EF，∠DHG=∠BFE，∵BC∥AD，∴∠BFE=∠DKF，∴∠DHG=∠DKG，∴HG∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵AH=CF，AH∥CF，∴四邊形AHCF是平行四邊形，∴AC與HF互相平分，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴HF與EG互相平分，∴HF、AC、EG互相平分，相交于點O，∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，∴∠EAH=∠D，∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，∴EH∥AC，∴S△AEH=S△EHO=S△AHO=S△AHC=S四邊形EFGH=S四邊形ABCD，∴S△AHC=S四邊形ABCD=S△ADC，∴AD=AH，∴=1.故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會添加常用輔助線，證明EH∥AC是解題的關鍵．二、填空題9．如圖，將兩條寬度均為2的紙條相交成角疊放，則重合部分構成的四邊形的面積為______．【答案】8【解析】【分析】先根據AB∥CD得到∠ABC=30°，再根據紙條寬度為2得到AB的長，同理得到AD的長，再證明四邊形ABCD是菱形，就可以求出四邊形ABCD的面積；∵AB∥CD，∴∠ABC=30°，又∵兩條紙條的寬度均為2，∴AB=4，同理可得AD=4，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD=4，∴四邊形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD=4×2=8，故答案為8．【點睛】本題考查菱形的性質與面積，熟練掌握菱形的性質和面積公式是解決本題的關鍵．10．如圖，在菱形中，，B的坐標是，則A，C兩點間的距離是__________．【答案】【解析】【分析】根據勾股定理得出OB，進而利用菱形的性質和勾股定理得出AC即可．解：連接OB，AC相交于點H，∵四邊形OABC是菱形，∴，∵，∴△AOB是等邊三角形，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：6．【點睛】本題考查菱形的性質，解題關鍵是根據菱形的性質和勾股定理得出AC解答．11．如圖，菱形的對角線相交于點O，點E在上，連接，點F為的中點，連接，若，，，則線段的長為___________．【答案】【解析】【分析】先根據菱形的性質找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理計算出菱形的邊長BC的長，再根據中位線性質，求出OF的長．已知菱形ABCD，對角線互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根據勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的邊長為，∵點F為的中點，點O為DB中點，∴．故答案為【點睛】本題考查了菱形的性質、勾股定理、中位線的判定與性質；熟練掌握菱形性質，并能結合勾股定理、中位線的相關知識點靈活運用是解題的關鍵．12．如圖，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，對角線AC、BD相交于點O，點E是OC上一點，連接ED，若，則DE的長為______．【答案】【解析】【分析】根據菱形的性質證明再求解再根據勾股定理可得答案．解：菱形ABCD，∠BCD＝60°，，故答案為：【點睛】本題考查的是含的直角三角形的性質，勾股定理的應用，菱形的性質，熟練的利用菱形的性質求解線段長度是解本題的關鍵．13．如圖，菱形ABCD，，點E為垂足，點F為AE的中點，連接BF并延長交AD于點G，連接CG，，則AF的長為__________．【答案】【解析】【分析】過點G往BC所在直線作垂線，垂足記為H，連接EG，證明，得到AG=BE，所以四邊形ABEG為平行四邊形，設AG=BE=x，則AD=GE=2+x，在和中用勾股定理列方程進行求解．如圖所示，過點G往BC所在直線作垂線，垂足記為H，連接EG，∵F是AE中點，∴AF=EF，∵四邊形ABCD是菱形，則，且AE⊥BC，∴∠GAF=∠BEF=90°，在中，∴，∴AG=BE，又∵，∴四邊形ABEG為平行四邊形，則GE=AB，設AG=BE=x，則AD=GE=2+x，∴CH=EH-CE=AG-CE=x-2，

在和中，,即，解得x=6，則AE=，∴AF=0.5AE=，故答案為．【點睛】本題考查了菱形的性質、平行四邊形的判定、勾股定理等，設線段長為x，尋找等量關系列出方程是解題的關鍵．14．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點O，E為CD延長線上一點，且，連結BE，分別交AC，AD于點F、G，連結OG，則下列結論：①；②；③由點A、B、D、E構成的四邊形是菱形；④．其中正確的結論是______（請填寫正確的序號）【答案】①③④【解析】【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ABD的中位線，得出OG=AB，①正確；③先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，③正確；④證OG是△ACD的中位線，得OG∥CD∥AB，OG=CD，則S△ACD=4S△AOG，再由S△AOG=S△BOG，則S△ACD=4S△BOG，④正確；②連接FD，由等邊三角形的性質和角平分線的性質得F到△ABD三邊的距離相等，則S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，則S四邊形ODGF=S△ABF，②錯誤；即可得出結論．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG=AB，故①正確；∵AB∥CE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；∵OA=OC，AG=DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG∥CD∥AB，OG=CD，∴S△ACD=4S△AOG，∵S△AOG=S△BOG，∴S△ACD=4S△BOG，故④正確；連接FD，如圖：∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三邊的距離相等，∴S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，∴S四邊形ODGF=S△ABF，故②錯誤；正確的是①③④，故答案為：①③④．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、三角形中位線定理以及三角形面積等知識，綜合運用以上知識是解題的關鍵．三、解答題15．如圖，在中，交于點，點在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）先根據四邊形ABCD為平行四邊形，得出，，再根據，得出，即可證明結論；（2）先證明，得出，證明四邊形ABCD為菱形，得出，即可證明結論．(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質和性質，菱形的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關鍵．16．如圖，線段，D是線段AC上一點，連接DE交AB于點F，若AF＝BF，求證：(1)DF=EF；(2)連接AE，BD，若△ABC是等邊三角形∠E=30°，求證：四邊形ADBE是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)首先由平行線的性質，可證得∠FEB=∠FDA，即可證得，再根據全等三角形的性質，即可證得結論；(2)首先根據等邊三角形及平行線的性質，可得∠BAC＝60°，∠FEB=∠FDA=30°，可證得AB⊥DE，再由AF=BF，DF=EF，可證得四邊形ADBE是平行四邊形，據此即可證得結論．(1)證明：∵，∴∠FEB=∠FDA，在△EFB與△DFA中，∴，∴EF＝DF；(2)證明：如圖：∵AF=BF，DF=EF（已證），∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵，∴∠FEB=∠FDA=30°，∴，∴AB⊥DE，∴四邊形ADBE是菱形．【點睛】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，等邊三角形的性質，平行四邊形及菱形的判定．17．如圖，在四邊形ABCD中，，，對角線AC，BD交于點O，AC平分，過點C作交AB的延長線于點E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若，，求OE的長．【答案】(1)見解析；(2)2【解析】【分析】（1）先判斷出∠OAB=∠DCA，進而判斷出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出結論；（2）先判斷出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出結論．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴?ABCD是菱形；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，，OB=1，∴，∴OE=OA=2．【點睛】此題主要考查了菱形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，角平分線的定義，勾股定理，判斷出CD=AD=AB是解本題的關鍵．18．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，點，分別在，上，連接，，，．(1)求證：；(2)若，求菱形的周長．【答案】(1)見解析(2)8【解析】【分析】根據菱形的性質和證明，進而利用全等三角形的性質解答即可；根據菱形的性質和面積公式解答即可．(1)證明：四邊形是菱形，∴∴，∴在與中，∴（SAS）(2)解：∵∴AC?BD=由可知，是等邊三角形∵四邊形是菱形∴∴在Rt中，BO=∴BD=2BO==∴解得：∴AC=（負值舍去）∴∴菱形的周長為．【點睛】本題考查菱形的性質，菱形的面積和周長公式，全等三角形的判定和性質．解題的關鍵是根據菱形的性質和全等三角形的判定和性質解答．19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，點E、F分別是邊BC、DC的中點，AE、AF分別交BD于點M、N，且，連接CM、CN．(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；(2)如果，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）只需要證明NF是△DCM的中位線，ME是△BCN的中位線，推出，即可證明四邊形AMCN是平行四邊形；（2）連接AC交BD于O，只需要證明四邊形AMCN是菱形，得到OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，從而推出OB=OD，AC⊥BD，即可證明四邊形ABCD是菱形．(1)解：∵，∴M、N分別是BN、DM的中點，又∵E、F分別是BC，CD的中點，∴NF是△DCM的中位線，ME是△BCN的中位線，∴，，∴，∴四邊形AMCN是平行四邊形；(2)解：連接AC交BD于O，∵四邊形AMCN是平行四邊形，∴，∵，∴，∵AE=AF，∴ME=NF，∴AM=CN=AN=CM，∴四邊形AMCN是菱形，∴OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，又∵BM=DN，∴OB=OD，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．【點睛】本題主要考查了菱形的性質與判定，平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理，證明出四邊形AMCN是平行四邊形是解題的關鍵．20．如圖，，將沿斜邊翻折得到，過點作于點，交于點，連接．(1)如圖1，求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出四個三角形使每個三角形的面積都等于面積的2倍．【答案】(1)證明見解析；(2)△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；【解析】【分析】（1）由平行線的判定和性質，對稱的性質可得四邊形BCDE是平行四邊形，再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證明；（2）由∠BAC=30°可得AC=2BE，∠BCA=60°，由四邊形BCDE是菱形可得△BCE、△DCE是等邊三角形，于是AE=EC=BC=BE，由等腰三角形的性質可得△EBA面積=2△AEF面積，再根據等底等高和對稱的性質可得△BEC、△DEA、△DEC面積都為2△AEF面積；(1)證明：∵DF⊥AB，∠ABC=90°，∴BC∥FD，∴∠BCD+∠CDF=180°，∵△BEC和△DEC關于AC對稱，∴∠EBC=∠EDC，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，由對稱的性質可得CB=CD，∴平行四邊形BCDE是菱形；(2)解：當∠BAC=30°時，∠BCA=60°，由對稱的性質可得∠DCA=60°，∵四邊形BCDE是菱形，∴BC=CD=DE=EB，∴△BCE、△DCE是等邊三角形，∴BC=EC=BE，Rt△ABC中，∠BAC=30°，則AC=2BE，∴AE=EC=BC=BE，△EBA中，EB=EA，EF⊥BA，∴BF=AF，∴△EBA面積=2△AEF面積，∵△BEA和△BEC等底等高，∴△BEC面積=△BEA面積=2△AEF面積，由對稱的性質可得△DEA面積=△BEA面積，△DEC面積=△BEC面積，∴△DEA面積=2△AEF面積，△DEC面積=2△AEF面積，故答案為：△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；【點睛】本題考查了對稱的性質，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，含30°角的直角三角形等知識；掌握菱形的判定和性質是解題關鍵．21．已知在菱形ABCD中，點P在CD上，連接AP．(1)在BC上取點Q，使得∠PAQ＝∠B，①如圖1，當AP⊥CD于點P時，求證：AP=AQ．②如圖2，當AP與CD不垂直時，判斷①中的結論（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，請給出證明，若不成立，則需說明理由．(2)如圖3，在CD的延長線取點N，連接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此時線段DN的長．【答案】(1)①見解析；②成立，理由見解析(2)【解析】【分析】（1）①由菱形的性質得出BC=CD，，證明，由菱形的面積公式可得出答案；②過點A作于M，于N，證明，由全等三角形的性質可得出答案；（2）過點A作于點H，由直角三角形的性質求出HN，DH的長，則可得出答案．(1)①證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，∵S菱形ABCD＝，∴AP＝AQ；②當AP與CD不垂直時，①中的結論仍然成立；證明：如圖2中，過點A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∵四邊形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，∴S菱形ABCD＝BC?AM＝CD?AN，∵BC＝CD，∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，在△AMQ和△ANP中，，∴．∴AP＝AQ；(2)如圖，過點A作AH⊥CD于點H，∵∠ANC＝45°，∴∠NAH＝45°，∴AH＝HN，∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝6，∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，∴DH＝AD＝3，∴AH＝=DH＝3，∴HN＝，∴DN＝HN﹣DH＝．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造全等直角三角形解決問題．培優第三階——中考沙場點兵一、單選題1．（2021·陜西·中考真題）如圖，在菱形中，，連接、，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設AC與BD的交點為O，由題意易得，，進而可得△ABC是等邊三角形，，然后問題可求解．解：設AC與BD的交點為O，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點睛】本題主要考查菱形的性質、含30°角的直角三角形的性質及勾股定理，熟練掌握菱形的性質、含30°角的直角三角形的性質及勾股定理是解題的關鍵．2．（2021·浙江嘉興·中考真題）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【解析】【分析】此題是有關剪紙的問題，此類問題應親自動手折一折，剪一剪．解：由題可知，AD平分,折疊后與重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分線，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四邊形的判定：對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以AEDF為平行四邊形；又AD⊥EF，所以平行四邊形AEDF為菱形．故選：【點睛】本題主要考察學生對于立體圖形與平面展開圖形之間的轉換能力，與課程標準中“能以實物的形狀想象出幾何圖形，有幾何圖形想象出實物的圖形”的要求相一致，充分體現了實踐操作性原則．3．（2021·浙江衢州·中考真題）如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉得到菱形，．當AC平分時，與滿足的數量關系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據菱形的性質可得AB=AC，根據等腰三角形的性質可得∠BAC=∠BCA=，根據旋轉的性質可得∠CAC′=∠BAB′=，根據AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案．∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AC，∴∠BAC=∠BCA==，∵將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉得到菱形，∴∠CAC′=∠BAB′=，∵AC平分，∴∠B′AC=∠CAC=，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=，∴，故選；C．【點睛】本題考查旋轉的性質及菱形的性質，熟練掌握相關性質并正確找出旋轉角是解題關鍵．4．（2020·遼寧錦州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上一動點，過點P作PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F．若菱形ABCD的周長為20，面積為24，則PE＋PF的值為(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】連接BP，通過菱形的周長為20，求出邊長，菱形面積為24，求出SABC的面積，然后利用面積法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．解：連接BP，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面積為24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故選：B．【點睛】本題主要考查菱形的性質，解題關鍵在于添加輔助線，通過面積法得出等量關系，求出PF+PE的值．5．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，，，點是上一動點，點是的中點，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】連接，先根據兩點之間線段最短可得當點共線時，取得最小值，再根據菱形的性質、勾股定理可得，然后根據等邊三角形的判定與性質求出的長即可得．解：如圖，連接，由兩點之間線段最短得：當點共線時，取最小值，最小值為，四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，點是的中點，，，即的最小值為，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握菱形的性質是解題關鍵．二、填空題6．（2020·遼寧遼寧·中考真題）一張菱形紙片的邊長為，高等于邊長的一