中考常考幾何模型專題19三垂直模型如圖，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BCD≌Rt△CAE。模型精練1．（2020?浙江自主招生）如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝5，將腰DC繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE，則△ADE的面積是3．【點睛】由旋轉(zhuǎn)可得△DHC≌△DFE，可求得EF，可求得△ADE的面積．【解析】解：如圖，過D作DH⊥BC于點H，則HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2，∵旋轉(zhuǎn)，∴△DHC≌△DFE，∴EF＝HC＝2，且∠EFA＝∠DHC＝90°，∴S△ADE=12AD?EF=12×3故答案為：3．2．（2019?九龍坡區(qū)期中）如圖，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M、N分別是BA，CD延長線上的點，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F．下列結(jié)論：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F為定值．其中結(jié)論正確的有①③④．【點睛】先根據(jù)AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于點E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，由三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°，∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠1＝∠DEC，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∴∠ADN＝∠BAD，∵∠ADC+∠ADN＝180°，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB≠∠BAD，∴AEB+∠ADC≠180°，故②錯誤；∵∠4+∠3＝90°，∠2+∠1＝90°，而∠3＝∠1，∴∠2＝∠4，∴ED平分∠ADC，故③正確；∵∠1+∠2＝90°，∴∠EAM+∠EDN＝360°﹣90°＝270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠EAF+∠EDF=12×270∵AE⊥DE，∴∠3+∠4＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝135°﹣90°＝45°，∴∠F＝180°﹣（∠FAD+∠FDA）＝180﹣45°＝135°，故④正確．故答案為：①③④3．（2020?孝南區(qū)校級月考）如圖，已知AE＝DE，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC．求證：AB+CD＝BC．【點睛】通過全等三角形的判定定理AAS證得△ABE≌△ECD，則AB＝EC，BE＝CD，所以易證得結(jié)論．【解析】證明：如圖，∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＝∠CED（同角的余角相等），∴在△ABE與△ECD中，∠B=∠ECD∠BAE=∠CED∴△ABE≌△ECD（AAS），∴AB＝EC，BE＝CD，∴AB+CD＝EC+BE＝BC，即AB+CD＝BC．4．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D，AD＝7cm，BE＝3cm，求DE的長．【點睛】易證∠CAD＝∠BCE，即可證明△CDA≌△BEC，可得CD＝BE，CE＝AD，根據(jù)DE＝CE﹣CD，即可解題．【解析】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于點E，AD⊥CE于點D，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△CDA和△BEC中，∠CDA=∠BEC=90°∠CAD=∠BCE∴△CDA≌△BEC（AAS），∴CD＝BE，CE＝AD，∵DE＝CE﹣CD，∴DE＝AD﹣BE，∵AD＝7cm，BE＝3cm，∴DE＝7﹣3＝4cm．5．如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P為BC邊上一動點（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求證：EF＝CF﹣BE．（2）若點P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論．【點睛】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結(jié)論；（2）如圖2，同樣由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結(jié)論EF＝BE+CF．【解析】解：（1）證明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠AFC∠BAE=∠ACF∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；（2）EF＝BE+CF理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，∠AEB=∠AFC∠BAE=∠ACF∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．6．如圖，直線l上有三個正方形a、b、c，其中a、c的面積分別為5和11．求正方形b的面積．【點睛】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DEB＝90°，AB＝DB，∠ABD＝90°，求出∠CAB＝∠DBE，根據(jù)AAS推出△ACB≌△BED，根據(jù)全等得出AC＝BE，DE＝BC，根據(jù)勾股定理得出即可．【解析】解：∵根據(jù)正方形的性質(zhì)得：∠ACB＝∠DEB＝90°，AB＝DB，∠ABD＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∠ABC+∠DBE＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ACB和△BED中∠CAB=∠DBE∠ACB=∠DEB∴△ACB≌△BED，∴AC＝BE，DE＝BC，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝AC2+DE2＝5+11＝16，即正方形b的面積是16．7．（2019?紅塔區(qū)三模）如圖，正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，且BE＝CF，求證：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．【點睛】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE＝BF，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判斷出AE⊥BF．【解析】證明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF．8．如圖，在△ABC外分別以AB，AC為邊作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，AM是△ABC中BC邊上的中線，延長MA交EG于點H，求證：（1）AM=12（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【點睛】（1）延長AM到點N，使MN＝MA，連接BN，先證得△MBN≌△MCA，得到∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，從而得到BN∥AC，NB＝AG，進一步得到∠NBA＝∠GAE，根據(jù)SAS證得△NBA≌△GAE，即可證得結(jié)論；（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，進一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可證得∠AHE＝90°，得到AH⊥EG；（3）連接CE、BG，易證△ACE≌△ABG，得出CE⊥BG，根據(jù)勾股定理得到EG2+BC2＝CG2+BE2，從而得到2（AB2+AC2）．【解析】（1）證明：延長AM到點N，使MN＝MA，連接BN，∵AM是△ABC中BC邊上的中線，∴CM＝BM，在△MBN和△MCA中AM=MN∠AMC=∠NMB∴△MBN≌△MCA（SAS），∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，∴BN∥AC，NB＝AG，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠NBA＝∠GAE，在△NBA和△GAE中NB=AG∠NBA=∠GAE∴△N