2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

則上=（

1.已知正四面體的內(nèi)切球體積為力外接球的體積為匕)

V

A.4B.8C.9D.27

2.復數(shù)二的虛部是（）

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

廠+□—20

3.設實數(shù)二二滿足條件三一三+30則二+二+1的最大值為（）

【0

A.1B.2C.3D.4

4.已知a=ln3,b=log3e,c=log.e,則下列關(guān)系正確的是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

5.若復數(shù)z=2加一l+mi在復平面內(nèi)的對應點在直線了=一次上，貝匹等于（）

,,.11.11.

A.l+zB.1—iC.----------1D.------1—i

3333

6.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)二滿足二?=彳-i,則z=()

1+21

A.1+iB.-1+iC.l-2iD.l+2i

7.已知三棱錐P—ABC中，AABC是等邊三角形，AB=473,PA=PC=275,PA1BC,則三棱錐P—ABC的

外接球的表面積為()

A.254B.757rC.804D.100?

IPMI2

8.已知點M(2,0),點P在曲線V=4x上運動，點F為拋物線的焦點，則，八…，的最小值為()

1^1-1

A.V3B.2(V5-1)C.4y/5D.4

9.已知銳角。滿足2sin2a=1-cos2a,則tana=()

1

A.-B.1C.2D.4

2

c*

10.已知復數(shù)2=二，則|z|=()

A.1+iB.l-ic.V2D.2

11.一個陶瓷圓盤的半徑為中間有一個邊長為4c僧的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形

花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計圓周率〃的值為（精確到0.001）（）

A.3.132B.3.137C.3.142D.3.147

12.設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z=l+i,則囪+z2=（）

Z

A.1+zB.l-iC.-l-iD.-1+i

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.雙曲線《=1的焦距為________，漸近線方程為________.

54

14.“六藝”源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開

展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩講座必須相鄰的

不同安排種數(shù)為.

15.如圖所示，點A（l,2）,8均在拋物線），2=4x上，等腰直角AABC的斜邊為8C,點C在x軸的正半軸上，則點

B的坐標是.

16.從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=e'—x+；x2.

（1）若工尸々，且/（內(nèi)）=/（々），求證：須；

（2）若xeR時，+ax+h,求ab+匕的最大值.

18.（12分）如圖，已知在三棱錐P-ABC中，P4_L平面ABC,E,F,G分別為AC,PA,的中點，且AC=2BE.

p

c

(D求證：PB1BC；

(2)設平面EFG與BC交于點”，求證：H為BC的中點.

19.(12分)已知/(幻二^+④^+笈,々,。^^

(1)若6=1,且函數(shù)/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的范圍；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個極值點當產(chǎn)2.,王＜々.且存在占滿足為+2%=3%2,令函數(shù)g(x)=/(x)―/(x0),試

判斷g(x)零點的個數(shù)并證明.

20.(12分)數(shù)列｛a,J滿足#0,q=1且。，…一+3。“+|。，=0.

(1)證明：數(shù)列，，，是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛4?4什J的前”項和S”.

21.(12分)如圖1,在邊長為4的正方形ABC。中，E是A。的中點，尸是CO的中點，現(xiàn)將三角形。￡戶沿族翻

折成如圖2所示的五棱錐P—ABCFE.

(1)求證：AC〃平面「￡尸；

(2)若平面PE/，平面ABCFE,求直線與平面以七所成角的正弦值.

22.(10分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面Q鉆為等腰直角三角形，8C，平面

PAB,PA=PB,AB=BC=2,AD=BD=y[^.

(1)求證：~4_L平面PBC；

(2)求直線PC與平面％。所成的角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.D

【解析】

設正四面體的棱長為1,取BC的中點為O,連接AO,作正四面體的高為首先求出正四面體的體積，再利用

等體法求出內(nèi)切球的半徑，在RfMMN中,根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.

【詳解】

設正四面體的棱長為1,取的中點為。，連接A。，

作正四面體的高為

AC

則==24。=走,

233

PM=y/PA2-AM2=—,

3

吃…旦逅=立,

EC34312

設內(nèi)切球的半徑為廣，內(nèi)切球的球心為。,

則VP-ABC=4%一.=4*；x當r，

解得：r=旦;

12

設外接球的半徑為R,外接球的球心為N,

則—/或|R—PM，AN=R,

在&AAMN中，由勾股定理得：

AM2+MN2^AN2,

/+j"=R2,解得/?=逅，

334

故選：D

【點睛】

本題主要考查了多面體的內(nèi)切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式,

屬于基礎題.

2.C

【解析】

5/5/(1-2z)10+5/5i

因為=2+，，所以的虛部是1,故選C.

1+2/(l+2z)(l-2z)5l+2i

3.C

【解析】

畫出可行域和目標函數(shù)，根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.

【詳解】

如圖所示：畫出可行域和目標函數(shù)，

二=二+二+/,即二=一二+二一八二表示直線在二軸的截距加上1,

根據(jù)圖像知，當二+二=2時，且二二時，二=二+二+1有最大值為三

故選：二

【點睛】

本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

4.A

【解析】

首先判斷。，上c和1的大小關(guān)系，再由換底公式和對數(shù)函數(shù)y=lnx的單調(diào)性判斷仇c的大小即可.

【詳解】

因為a=ln3>lne>l,b-loge--,c-logye=—,l<ln3<ln^-,所以。<力<1,綜上可得c<Z?<a.

3In3In7t

故選：A

【點睛】

本題考查了換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

5.C

【解析】

由題意得2〃7-1+〃7=0,可求得，〃=g,再根據(jù)共扼復數(shù)的定義可得選項.

【詳解】

由題意得2加-1+m=(),解得，〃=：,所以z=—1+!i,所以1=一工一工，，

33333

故選：C.

【點睛】

本題考查復數(shù)的幾何表示和共扼復數(shù)的定義，屬于基礎題.

6.A

【解析】

分析：題設中復數(shù)滿足的等式可以化為Z=3+i,利用復數(shù)的四則運算可以求出z.

1+2/

詳解：由題設有三=-^一+，=1-2，+，=1一"故z=l+i,故選A.

l+2z

點睛：本題考查復數(shù)的四則運算和復數(shù)概念中的共粗復數(shù)，屬于基礎題.

7.D

【解析】

根據(jù)底面為等邊三角形，取8c中點可證明8CL平面Q4M,從而BC工PM,即可證明三棱錐產(chǎn)一ABC為

正三棱錐.取底面等邊AABC的重心為。'，可求得P到平面ABC的距離，畫出幾何關(guān)系，設球心為。，即可由球的性

質(zhì)和勾股定理求得球的半徑，進而得球的表面積.

【詳解】

設"為8C中點，AABC是等邊三角形，

所以AA/L3C,

又因為B4_LBC,且Q4nAM=A,

所以平面則

由三線合一性質(zhì)可知PB=PA=PC,

所以三棱錐。一ABC為正三棱錐，A8=46,PA=PB=PC=2底

設底面等邊MBC的重心為0',

可得AO'=§A〃=5X6=4,PO'=JPA2_AO'2=120-16=2,

所以三棱錐P-ABC的外接球球心在面ABC下方，設為。，如下圖所示：

由球的性質(zhì)可知，PO_L平面A8C,且尸,0,0在同一直線上，設球的半徑為

在RfAAO。中，AO2=AO'2+OO'2>

即屋=16+(/?-2)2,

解得R=5,

所以三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4〃/?2=4〃x25=100%，

故選：D.

【點睛】

本題考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)特征和相關(guān)計算，正三棱錐的外接球半徑求法，球的表面積求法，對空間想象能力要求較高,

屬于中檔題.

8.D

【解析】

如圖所示：過點尸作PN垂直準線于N,交y軸于。，貝！J|P尸卜1=|PN|-1=歸。|,設p(x,y),x>Q,貝！J

IPMF4

7——=x+—,利用均值不等式得到答案.

|PF|-1x

【詳解】

如圖所示：過點P作PN垂直準線于N,交y軸于。，則|尸產(chǎn)卜1=|PN|-1=歸。|,

設尸(”)，x>。，則①=富=1±2^=^2^…34,

'，|PF|-1\PQ\xxx

4

當x=2,即x=2時等號成立.

X

故選：D.

【點睛】

本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

9.C

【解析】

利用sin2a=2sinacosa,cos2a=1-2sin2a代入計算即可.

【詳解】

由已知，4sin<zcosa=2sin2a>因a為銳角，所以sina/0,2cosa=sina,

即tana=2.

故選：C.

【點睛】

本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應用，考查學生的運算能力，是一道基礎題.

10.C

【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

故選：C

【點睛】

本題主要考查了復數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.

11.B

【解析】

結(jié)合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可

【詳解】

如圖，由幾何概型公式可知：￥=」7"烹=%"3.137.

31同冗,1U1Uuu

故選：B

【點睛】

本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題

12.A

【解析】

結(jié)合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可

【詳解】

???復數(shù)z=l+i,...|z|=&,Z2=(1+Z)2=2Z,則且+z2=2+2i=-+2j=i-i+2i=l+i,

''z1+z(l+z)(l-z)

故選：A.

【點睛】

本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

iq&.275

13?6y=i--------X

5

【解析】

由題得c?=5+4=9;.c=3所以焦距2c=6,故第一個空填6.

由題得漸近線方程為丫=±去=士半x.故第二個空填y=±2叵x.

14.24

【解析】

分步排課，首先將“禮''與"樂”排在前兩節(jié)，然后，“射”和“御”捆綁一一起作為一個元素與其它兩個元素合起來全排列，

同時它們內(nèi)部也全排列.

【詳解】

第一步：先將“禮”與“樂”排在前兩節(jié)，有A22=2種不同的排法；第二步：將“射”和“御”兩節(jié)講座捆綁再和其他兩藝全

排有用人=12種不同的排法，所以滿足“禮”與“樂”必須排在前兩節(jié)，“射”和“御”兩節(jié)講座必須相鄰的不同安排種數(shù)

為用用看=24.

故答案為：1.

【點睛】

本題考查排列的應用，排列組合問題中，遵循特殊元素特殊位置優(yōu)先考慮的原則，相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用

插入法.

15.（3,273）

【解析】

設出用C兩點的坐標，結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程，解方程求得8的坐標.

【詳解】

設B（a,8）,C（c,0）,（a,0,c>0）,由于6在拋物線上，所以。？=4”.由于三角形ABC是等腰直角三角形，AC1BA,

所以原1%朋=占?三=一1?由|M|=|AC|得J(l—a)2+(2_b)2=J4+(1—C)2,化為

小，V.64

1------+(2-b)=4+-----可得(4一〃『X[16+(2+3[=64X[16+(2+〃)2],所以〃一4=8,解得

4J(2+47

b=2￡,則a=3.所以8(3,26).

故答案為：（3,26）

【點睛】

本題考查拋物線的方程和運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題.

1

16.-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為

162

故答案為!.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎知識，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)

2

【解析】

(D利用導數(shù)分析函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，并設斗<々，則不<0,%2>0,將不等式五戶)<0等價轉(zhuǎn)化為

證明西+馬<0,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=/(x)-/(T),利用導數(shù)分析函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間(—,0)上的單調(diào)性，通過推

導出〃(西)<0來證得結(jié)論；

(2)構(gòu)造函數(shù)G(x)="-x-ax,對實數(shù)，，分"7、a=—1、a>-1,利用導數(shù)分析函數(shù)y=G(x)的單調(diào)性，

求出函數(shù)y=G(x)的最小值，再通過構(gòu)造新函數(shù)/一/inf,利用導數(shù)求出函數(shù)y=的最大值，可得出

次?+)的最大值.

【詳解】

(1)r(x)=/-l+x,/"(x)=，+l>0,所以，函數(shù)y=/'(x)單調(diào)遞增，

所以，當x<0時，/'(x)<0,此時，函數(shù)>=/(力單調(diào)遞減；

當x〉0時，/'(x)>0,此時，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增.

要證立愛)<0,即證七+乙<0.

不妨設不<電，貝!I石<0,x2>0,

下證x2<一%，即證/(否)=/(/)</(—玉)，

構(gòu)造函數(shù)〃(x)==e*++x+gx[=e*_e-*_2x(x<0),

〃'(x)=/+e-*-2〉2&'?e-*-2=0,所以，函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間(F,0)上單調(diào)遞增，

"<0,.?/&)<(),即即/(々)=/(4)</(-%)，

vx2>0,一玉>0且函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以W〈一不，即%+々<0,故結(jié)論成立；

(2)由/(x)zgx2+如+〃恒成立，得/一+A恒成立，

令G(x)=e*-x-3,則G'(x)=e*-l-a.

①當“<-1時，對任意的xwR,G'(x)>0,函數(shù)y=G(x)在R上單調(diào)遞增，

當Xf-oc時，G(x)f-oo,不符合題意；

②當a=—1時，ab+b=O；

③當a>—1時，令G'(x)>0,得x>ln(a+l),此時，函數(shù)y=G(x)單調(diào)遞增；

令G'(x)<0,得x<ln(a+l),此時，函數(shù)y=G(x)單調(diào)遞減.

G(x)m“,=G0n(a+l))=(a+l)-(a+l)ln(a+l).

(tz+l)Z?<(?+l)2—(?+1)-ln(tz4-l).

令/=弓+1>0,設0(。=/一/Inr,則0'(r)=r(l-21n。.

當0<f<加時，”(。>0,此時函數(shù)>單調(diào)遞增；

當時，”(。<0,此時函數(shù)y=0(。單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)>=夕(。在/=&處取得最大值，即9(。皿=0(五)=1.

因此，(a+1)人的最大值為

【點睛】

本題考查利用導數(shù)證明不等式，同時也考查了利用導數(shù)求代數(shù)式的最值，構(gòu)造新函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查推理能力,

屬于難題.

18.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)要做證明只需證明平面Q鉆即可；

(2)易得PC〃平面EFG,PCu平面P8C,利用線面平行的性質(zhì)定理即可得到G”〃PC,從而獲得證明

【詳解】

證明：(1)因為B4_L平面ABC,BCu平面ABC,

所以24,3c.

因為AC=26E,所以B4J_3C.

又因為84cQ4=A,84u平面Q4B,PAu平面RIB,

所以BCL平面E4B.

又因為BBu平面Q46,所以PBLBC.

(2)因為平面EFG與BC交于點H,所以G"u平面PBC.

因為E,/分別為AC,必的中點，

所以EF〃尸C.

又因為PCZ平面EFG,EFu平面EFG,

所以PC〃平面EFG.

又因為PCu平面PBC,平面PBCPI平面￡EG=G”，

所以G”〃PC,

又因為G是P3的中點，

所以H為8c的中點.

【點睛】

本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質(zhì)定理，考查學生的邏輯推理能力，是一道容易題.

19.(1)-<a<y/3(2)函數(shù)g(x)有兩個零點為和,“

【解析】

試題分析：(1)求導后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，導函數(shù)大于或等于0(2)先判斷/為一個零點，然后再求導，根據(jù)

xt+2x0=3X2,化簡求得另一個零點。

解析：(1)當〃=1時，f\x)=3x2+2ax+},因為函數(shù)〃x)在上單調(diào)遞增，

所以當時，/'(力=312+.+120恒成立.

函數(shù)r（%）=3/+功+1的對稱軸為x=-^.

①-1<-1,即a>3時，/，（-1）20,

3

即3-勿+120,解之得。解集為空集；

（2）-1<--|<|,即時，/（一］40

即3.3+2a{_￡）+120,解之得—6所以

③—>—,即a<—時,>0

322咽

1773

即3----h4Z+1>0,解之得。2—所以——

44f42

綜上所述，當-函數(shù)”X）在區(qū)間上單調(diào)遞增.

<2）???/（同有兩個極值點和々，

?"，々是方程r（x）=3f+2以+。=0的兩個根，且函數(shù)/（X）在區(qū)間（F0）和w，a）上單調(diào)遞增，在

&,々）上單調(diào)遞減.

???g'（x）=r（x）

...函數(shù)g（x）也是在區(qū)間（F0）和（私山）上單調(diào)遞增，在（』,々）上單調(diào)遞減

g（毛）=/（%）一/（毛）=。，???X。是函數(shù)g（X）的一個零點?

由題意知：g（%）=/（%）-八/）

VXy+2x0=3X2,2X0-2X2=x2-xi>0,；.x0>x2/./(%,)</(x0),g(W)=〃9)-F(/)<0又

g(^)=/(x,)-/(x0)

=(匚j-2Q(3匚7+2匚匚/+口+9口:+6U口：+3匚)

VX1,當是方程/'(x)=3x2+2ax+b=0的兩個根,

+

3%；+2町+b-Q,3%22ax2+b=0,

???g(玉)=/(不)一/(%)=o

?.?函數(shù)g（x）圖像連續(xù)，且在區(qū)間（F0）上單調(diào)遞增，在后,々）上單調(diào)遞減，在（W，”）上單調(diào)遞增

...當xe(f0，X)時,g(x)<0,當無?%,天,)時g(x)<0,當時g(x)>0,

，函數(shù)g（九）有兩個零點玉和X。.

n

20.(1)證明見解析，a,=-~-；(2)

3〃一23〃+1

【解析】

11c

（D利用4出一。“+3%+1%=0,推出--------=3,然后利用等差數(shù)列的通項公式，即可求解;

an+\an

=￡〃.23n1+1

(2)由(1)知）,利用裂項法，即可求解數(shù)列的前〃項和.

【詳解】

（1）由題意，數(shù)列｛4｝滿足4Ho且。“+1-4,+3%+必“=0

11c八11c

可得--------+3=0,即--------=3,

an%+1

所以數(shù)列,＞是公差d=3,首項二11,

1=1的等差數(shù)列,

%

故，=]+3(〃―1)=3〃_2,所以4=―--

3〃一2

(3-2)(13〃+1)=久〃一I23〃1+1

(2)由(1)知％4+1=),

所以數(shù)列｛a..%+J的前"項和:

11111

++…

3<3x1-23x1+1；3x2-23x2+1、3〃一23〃+1

1-’111

++1_1+…+

J"?7103〃-23n+l)

Tike

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，以及“裂項法”求解數(shù)列的前〃項和，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義和通項公

式，合理利用“裂項法”求和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力.

21.(1)證明見解析；(2)2叵.

15

【解析】

(1)利用線面平行的定義證明即可

(2)取的中點0,并分別連接。尸，OB,然后，證明相應的線面垂直關(guān)系，分別以OE,0B,。尸為x軸，

軸，z軸建立空間直角坐標系，利用坐標運算進行求解即可

【詳解】

證明：(1)在圖1中，連接AC.

又E,尸分別為A。，CD中點,

所以EF\\AC.即圖2中有EF\\AC.

又EFu平面PEF,ACZ平面包戶,

所以AC〃平面PEF.

解：(2)在圖2中，取E尸的中點。，并分別連接OP,0B.

分析知，OPLEF,OB1EF.

又平面平面平面PEFD平面48。五石=石尸，。。匚平面必產(chǎn)，所以尸。J_平面ABCFE.

又AB=4,所以PF=AE=PE=2,E0=0P=0F=O,03=3五.