第二十三講：基本不等式的應用（一）【教學目標】1．掌握對應的基本不等式求解最值2．掌握公式，湊項，湊系數，分離，常數代換，換元，平方等方法求解最值【基礎知識】基本不等式：（1）；（2）.基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發生錯誤的地方．【題型目錄】考點一：公式直接應用考點二：湊項考點三：湊系數考點四：分離考點五：常數代換（1代換）考點六：平方考點七：消元考點八：構建目標不等式【考點剖析】考點一：公式直接應用基本不等式：積定和最小，和定積最大.例1．已知，則的最大值為（） A． B． C．1 D．2變式訓練1．已知，且，則的最大值為（） A．36 B．25 C．16 D．9變式訓練2．已知，且，則的最小值為（） A． B． C．1 D．2變式訓練3．中國宋代的數學家秦九韶曾提出“三斜求積術”，即假設在平面內有一個三角形，邊長分別為a，b，c，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，則此三角形面積的最大值為（） A． B． C． D．考點二：湊項湊項：湊出乘積為定值的值.例2．函數有（） A．最大值 B．最小值 C．最大值4 D．最小值4變式訓練1．函數在上的最小值是（） A．2 B．1 C．2 D．3變式訓練2．已知實數x滿足，則的最大值為（） A． B．0 C．4 D．8變式訓練3．的最小值等于（） A．3 B． C．2 D．無最小值考點三：湊系數湊系數：湊出和為定值的值.例3．已知，則當取最大值時，的值為（） A． B． C． D．變式訓練1．若，則取最大值時x的值是（） A． B． C． D．變式訓練2．已知正數，滿足，則的最大值為（） A．2 B．1 C． D．變式訓練3．設，則的最大值為（） A．1 B． C． D．考點四：分離例4．函數的最小值是（） A． B．3 C．6 D．12變式訓練1．當時，函數的最小值為（） A． B． C． D．4變式訓練2．已知正實數x，則的最大值是（） A． B． C． D．變式訓練3．若函數在處取最小值，則（） A． B．2 C．4 D．6考點五：常數代換（1代換）構造一個條件為的等式，目標函數乘，化簡求解.例5．若，則的最小值為（） A． B． C． D．變式訓練1．若正實數，滿足．則的最小值為（） A．12 B．25 C．27 D．36變式訓練2．設為正實數，且，則的最小值為（） A． B． C． D．變式訓練3．已知正數滿足，則的最小值為（） A． B． C． D．考點六：平方例6．已知為正實數，，求的最大值．變式訓練1．若，則函數的最大值為（） A． B． C． D．變式訓練2．設正數，滿足，則的最大值為（） A． B． C． D．變式訓練3．已知，且，則的最大值為（） A． B． C．3 D．4考點七：消元例7．已知，則的最小值為（） A． B． C． D．變式訓練1．已知正數滿足，則的最小值為（） A．1 B． C．2 D．變式訓練2．若，，且，則的最小值是（） A．5 B．8 C．13 D．16變式訓練3．設，為正實數，若，則的最小值是（） A．4 B．3 C．2 D．1考點八：構建目標不等式例8．已知，則的最大值為（） A．1 B．2 C． D．4變式訓練1．已知，，且，則的最小值為（） A．2 B．3 C． D．變式訓練2．已知，且，則的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練3．已知正數、滿足，則的最大值為（） A． B． C． D．【課堂小結】1．知識清單：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范圍．(3)基本不等式的綜合應用．2．方法歸納：配湊法、常值代換法．3．常見誤區：忽略應用基本不等式求最值的條件(一正、二定、三相等)．【課后作業】1、若a，b為實數，且，則的最小值為（） A． B． C．3 D．22、已知為正實數，且，則的最大值為（） A．1 B．2 C． D．3、若，則的最值情況是（） A．有最大值 B．有最小值6 C．有最大值 D．有最小值24、的最小值為（） A． B． C． D．5、已知都是正實數，且，則的最大值是（） A． B． C．1 D．6、若，則的最大值為（） A．1 B． C． D．7、若正實數滿足，則的最小值為（） A．1 B．2 C．3 D．48、已知，則的最小值是（） A．1 B．4 C．7 D．9、已知，則的最小值為（） A．－2 B．0 C．1 D．10、已知函數的定義域為，則的最大值為（） A．5 B． C．1 D．11、已知，t為常數，且的最大值為，則等于（） A． B．2 C． D．412、下列函數中，最小值為2的是（） A． B． C． D．13、下列命題中正確的是（） A．函數的最小值為2. B．函數的最小值為2. C．函數的最小值為 D．函數的最大值為14、已知，則有（） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值315、函數的最大值為（） A．3 B．2 C．1 D．116、若函數在處取最小值，則（） A． B．2 C．4 D．617、下列說法正確的為（） A． B．函數的最小值為4 C．若則最大值為1 D．已知時，，當且僅當即時，取得最小值818、已知，，，則的最小值是（） A．3 B．4 C．5 D．619、已知非負數滿足，則的最小值是（） A．3 B．4 C．10 D．1620、設為正數，且，則的最小值為（） A． B． C． D．21、已知正實數、滿足，則的最小值為（） A． B． C． D．22、設，，則的最小值為（） A． B． C． D．23、已知，，則的最小值為（） A． B． C． D．24、已知，則的最小值為（） A．20 B．32 C． D．25、已知正實數，滿足，則的最小值是（） A．25 B．18 C．16 D．826、已知正數滿足，則的最大值是（）