專題24.1圓的有關性質--圓的概念、垂徑定理、弧、弦、圓心角之八大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一求過圓內一點的最長弦】 1【考點二利用垂徑定理求值】 2【考點三利用垂徑定理求平行弦問題】 5【考點四垂徑定理的推論】 8【考點五垂徑定理的實際應用】 11【考點六圓心角概念辨析】 13【考點七利用弧、弦、圓心角的關系求解】 14【考點八利用弧、弦、圓心角的關系求證】 16【過關檢測】 19【典型例題】【考點一求過圓內一點的最長弦】例題：（2023秋·河南周口·九年級校考期末）若的直徑長為，點，在上，則的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓練】1．（2023秋·陜西渭南·九年級統考期末）已知的半徑是3cm，則中最長的弦長是（

）A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm2．（2023春·全國·九年級專題練習）已知是半徑為6的圓的一條弦，則的長不可能是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【考點二利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長為．

【變式訓練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級校考階段練習）已知的半徑為，弦的長為，則圓心到的距離為．2．（2023·浙江·九年級假期作業）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”轉化為現在的數學語言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長為寸．

【考點三利用垂徑定理求平行弦問題】例題：（2023秋·天津和平·九年級校考期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓練】1．（2023·全國·九年級專題練習）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級校聯考階段練習）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點四垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設圓弧所在圓的圓心為O，測得其同一水平線上A、B兩點之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖是一位同學從照片上前切下來的海上日出時的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯考期末）《九章算術》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問徑幾何？轉化為數學語言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長是寸．【考點五垂徑定理的實際應用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級專題練習）如圖，的直徑與弦交于點E，，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·九年級單元測試）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦②平分弦的直徑平分弦所對的弧③垂直于弦的直線必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．（2023·四川攀枝花·校聯考二模）下列說法中正確的說法有（）個①對角線相等的四邊形是矩形

②在同圓或等圓中，同一條弦所對的圓周角相等③相等的圓心角所對的弧相等

④平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧⑤到三角形三邊距離相等的點是三角形三個內角平分線的交點A．1 B．2 C．3 D．4【考點六圓心角概念辨析】例題：（2023秋·九年級單元測試）下面圖形中的角是圓心角的是（）A．B．C．D．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業）下列說法正確的是（）A．如果一個角的一邊過圓心，則這個角就是圓心角B．圓心角α的取值范圍是C．圓心角就是頂點在圓心，且角的兩邊是兩半徑所在的射線的角D．圓心角就是在圓心的角2．（2023·浙江·九年級假期作業）下圖中是圓心角的是（

）A． B． C． D．【考點七利用弧、弦、圓心角的關系求解】例題：（2023·陜西西安·西安市慶安初級中學校聯考模擬預測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，點A，B，C在上，，則的度數為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習）下列說法：①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③過直線上兩點和直線外一點，可以確定一個圓；④圓是軸對稱圖形，直徑是它的對稱軸．其中正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【考點八利用弧、弦、圓心角的關系求證】例題：（2023·全國·九年級專題練習）如圖，已知的半徑，，在上，于點，于點，且，求證：．

【變式訓練】1．（2023春·廣東惠州·九年級校考開學考試）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．2．（2023秋·河北秦皇島·九年級統考期末）如圖，A、B是⊙O上的兩點，C是弧AB中點．求證：∠A＝∠B．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，點A，B，C均在上，若，，則（）

A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）下列說法正確的個數有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧；②在等圓中，如果弧相等，那么它們所對的弦也相等；③等弧所對的圓心角相等；④過三點可以畫一個圓；⑤圓是軸對稱圖形，任何一條過圓心的直線都是它的對稱軸；⑥三角形的外心到三角形的三邊距離相等．A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·九年級課時練習）如圖，的半徑為是圓外一點，，交于點，則弦的長為（

）

A．4 B．6 C． D．84．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，為的直徑，點是的中點，過點作于點，延長交于點．若，，則的直徑長為（）A． B． C． D．5．（2023秋·全國·九年級專題練習）陜西飲食文化源遠流長，“老碗面”是陜西地方特色美食之一．圖②是從正面看到的一個“老碗”（圖①）的形狀示意圖．是的一部分，是的中點，連接，與弦交于點，連接，．已知cm，碗深，則的半徑為（

）

A．13cm B．16cm C．17cm D．26cm二、填空題6．（2023秋·九年級課時練習）如圖，若點為的圓心，則線段是圓的半徑；線段是圓的弦，其中最長的弦是；或是劣弧；是半圓．7．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，過格點A、B、C作圓弧，則圓心的坐標是．

8．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E．若，則度數為．9．（2023秋·江蘇·九年級專題練習）如圖是一個隧道的橫截圖，它的形狀是以點O為圓心的一部分，如果M是中弦的中點，經過圓心O交于點E，若，，則的半徑為m．10．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，在中，，截三邊所得的弦長，則度．三、解答題11．（2023秋·江蘇·九年級校考周測）如圖，點A、B、C、D在⊙O中，且，與相等嗎？為什么？12．（2023春·山東淄博·六年級統考期中）如圖，圓心角．(1)判斷和的數量關系，并說明理由；(2)若，求的度數．13．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，，交于點，，是半徑，且于點．

(1)求證：．(2)若，，求的半徑．14．（2023秋·江蘇南京·九年級校聯考期末）在以為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長為______．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點，若，求證．15．（2023·全國·九年級專題練習）問題情境：筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖①）．假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都按逆時針做勻速圓周運動，每旋轉一周用時120秒．問題設置：把筒車抽象為一個半徑為r的．如圖②，始終垂直于水平面，設筒車半徑為2米．當時，某盛水筒恰好位于水面A處，此時，經過95秒后該盛水筒運動到點B處．（參考數據，）

問題解決：(1)求該盛水筒從A處逆時針旋轉到B處時