江蘇省海安市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集,集合,則（）A. B.C. D.【答案】B【詳解】解:由題知,,故或.故選:B2.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【詳解】由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則令，則，所以，所以，即．故選：D．3.二項式的展開式中的常數(shù)項為A.－15 B.20 C.15 D.－20【答案】C【詳解】二項式展開式通項為：令得：常數(shù)項為：本題正確選項：4.經(jīng)驗表明,樹高與胸徑具有線性關(guān)系,為了解回歸方程的擬合效果,利用下列數(shù)據(jù)計算殘差,用來繪制殘差圖.胸徑x/cm18.219.122.324.526.2樹高的觀測值y/m18.919.420.822.824.8樹高的預(yù)測值18.619.321523.024.4則殘差的最大值和最小值分別是（）A.0.4,-1.8 B.1.8,-0.4 C.0.4,-0.7 D.0.7,-0.4【答案】C【詳解】解:由表可得,各組數(shù)據(jù)的殘差為:,,,,,故殘差最大值為0.4,最小值為-0.7.故選:C5.為測量河對岸的直塔AB的高度，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C，D，測得的大小為60°，點C，D的距離為200m，在點C處測得塔頂A的仰角為45°，在點D處測得塔頂A的仰角為30°，則直塔AB的高為（）A.100m B. C. D.200m【答案】A【詳解】設(shè)，則，，∴，在中，由余弦定理可得，∴，∴(負(fù)值舍去)，即直塔AB的高為100m。故選：A.6.已知圓心均在軸上的兩圓外切，半徑分別為，若兩圓的一條公切線的方程為，則（）A. B.2 C. D.3【答案】B【詳解】設(shè)圓：，圓：，其中，兩圓的公切線方程為，則，，兩圓外切，則，化簡得，，即，∴，故選：B7.設(shè)為的重心，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【詳解】因為為重心，所以，所以，故選：B.8.設(shè),,,則（）A. B.C. D.【答案】D【詳解】解:由題知,記,,所以,所以,所以,在時成立,所以,即,即,記,,所以,所以在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,所以,所以,則,即,即,,即有,因為,所以,綜上:.故選:D二、選擇題本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在正方體中,,,則（）A. B.平面C.平面 D.直線與直線異面【答案】AB【詳解】解:由題知,令正方體棱為3,以為坐標(biāo)原點,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系:因為,,所以,所以,,因為,所以,故選項A正確;設(shè)平面的法向量為,則,因為,所以,取,可得,因為,,所以,因為平面,所以平面,故選項B正確;因為,,所以,故與不垂直,即不垂直于平面,故選項C錯誤;因,,所以共線，即,所以四點共面，故直線與直線共面.故選項D錯誤，故選:AB10.已知拋物線：的焦點為F，點M，N均在C上，若是以F為直角頂點的等腰三角形，則（）A. B. C. D.【答案】BD【詳解】因為是以F為直角頂點的等腰三角形，所以軸，又因為拋物線方程為，所以，設(shè)，，有拋物線的定義可知，，，則，則∴，，∴，故選：BD.11.已知等差數(shù)列中，當(dāng)且僅當(dāng)時，僅得最大值.記數(shù)列的前k項和為，（）A.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值B.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值C.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值D.若，，則當(dāng)或14時，取得最大值【答案】BD【詳解】由等差數(shù)列前n項和有最大值，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，對于A，且時取最大值，設(shè)，則，當(dāng)時，；時，；時，，所以或14時，前k項和取最大值，A項錯誤；對于B，當(dāng)且僅當(dāng)時取最大值，則時，，時，.，則，，，，前14項和最大，B項正確；對于C，，則，同理，，，前13項和最大，C項錯誤；對于D，，，得，由題等差數(shù)列在時，，時，，所以，，，所以或14時，前k項和取最大值，D項正確；故選：BD.12.將樣本空間Ω視為一個單位正方形，任一事件均可用其中的區(qū)域表示，事件發(fā)生的概率為對應(yīng)區(qū)域的面積.如圖所示的單位正方形中，區(qū)域I表示事件AB，區(qū)域II表示事件，區(qū)域I和Ⅲ表示事件B，則區(qū)域IV的面積為（）ⅠⅡⅢⅣA. B. C. D.【答案】BC【詳解】由題意可知區(qū)域IV表示的事件為，對于C，，C對.對于B，，B對.對于A，，A錯.對于D，無法判斷A，B是否獨立，D錯，故選：BC.三、填空題本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則___________.【答案】【詳解】由，得，因為，所以，所以故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點分別為,,點在橢圓上,若是以為頂點的等腰三角形,且,則的離心率___________.【答案】0.4【詳解】解:由題知是以為頂點的等腰三角形,所以,因為點在橢圓上,根據(jù)橢圓的定義可知:,故,因為,故在中,由余弦定理可得:,即,解得:,即.故答案為:15.設(shè)過直線上一點A作曲線的切線有且只有兩條，則滿足題設(shè)的一個點A的縱坐標(biāo)為___________.【答案】2或【詳解】設(shè)切點，則，切線斜率為，所以切線，設(shè)，則，∴，令，則方程有且只有兩個解，所以，由，可得或2，當(dāng)變化時，的變化如下，02負(fù)0正0負(fù)減函數(shù)極小值增函數(shù)極大值2減函數(shù)所以函數(shù)的極小值為，極大值為，∴或，方程有且只有兩個解，即A的縱坐標(biāo)為2或.故答案為；2或.16.已知球O的表面積為，P是球O內(nèi)的定點，，過P的動直線交球面于A，B兩點，，則球心O到AB的距離為___________cm；若點A，B的軌跡分別為圓臺的上、下底面的圓周，則圓臺的體積為___________.【答案】①.②.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，∴，即，，∴到AB的距離.取AB中點M，則，∴，，如圖所示.又點A，B的軌跡分別為圓臺的上、下底面的圓周，所以圓，圓，又圓，圓，所以四點共線，令，，，，∴，∴，∵，∴，，.故答案為：，.四、解答題本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列中，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，若，求的最小值.【答案】（1）（2）12【小問1詳解】當(dāng)時，設(shè)公差為，∴，∴，而，，∴時，設(shè)公比為，∴此時，∴.【小問2詳解】顯然，∴為偶數(shù)，，∴的最小值為12.18.已知四邊形內(nèi)接于圓，，，，平分.（1）求圓的半徑；（2）求的長.【答案】（1）（2）8【小問1詳解】如圖，在圓中，連接，在中，由余弦定理得：，所以，設(shè)圓О半徑為R，由正弦定理得：∴，所以半徑；【小問2詳解】由余弦定理得，由于，所以，因為平分，所以，所以，由正弦定理得.19.如圖，菱形ABCD的邊長為2，，E為AC的中點，將沿AC翻折使點D至點.（1）求證：平面平面ABC；（2）若三棱錐的體積為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【小問1詳解】證明：在菱形中，，∴和均為等邊三角形，又∵E為AC的中點，∴，，，平面，∴平面，又∵平面ABC，∴平面平面ABC.【小問2詳解】過作于點，∵平面平面ABC，平面，∴平面ABC.∴.過M作于點，連接，∵平面ABC，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.∴即為二面角的平面角，，∴，，∴，∴.故二面角的余弦值為.20.甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球單打比賽,約定:隨機(jī)選擇兩人打第一局,獲勝者與第三人進(jìn)行下一局的比賽,先獲勝兩局者為優(yōu)勝者,比賽結(jié)束.已知每局比賽均無平局,且甲贏乙的概率為,甲贏丙的概率為,乙贏丙的概率為.（1）若甲、乙兩人打第一局,求丙成為優(yōu)勝者的概率;（2）求恰好打完2局結(jié)束比賽的概率.【答案】（1）（2）【小問1詳解】由題知,根據(jù)約定,丙成為優(yōu)勝者的情形為:甲贏,丙贏,丙贏,或乙贏,丙贏,丙贏,兩種情況,當(dāng)甲贏,丙贏,丙贏時,概率,當(dāng)乙贏,丙贏,丙贏時,概率,故丙成為優(yōu)勝者的概率;【小問2詳解】若甲乙先比賽,則甲乙能先比賽的概率為,此時2局結(jié)束比賽的情形分為:①甲贏,甲贏;②乙贏,乙贏,故;若甲丙先比賽,則甲丙能先比賽的概率為,此時2局結(jié)束比賽情形分為:①甲贏,甲贏;②丙贏,丙贏,故;若乙丙先比賽,則乙丙能先比賽的概率為,此時2局結(jié)束比賽的情形分為:①乙贏,乙贏;②丙贏,丙贏,故.故恰好打完2局結(jié)束比賽的概率.21.已知雙曲線C過點,且C的漸近線方程為.（1）求C的方程;（2）設(shè)A為C的右頂點,過點的直線與圓O:交于點M,N,直線AM,AN與C的另一交點分別為D,E,求證:直線DE過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【小問1詳解】解:由題知C的漸近線方程為,故設(shè)雙曲線的方程為,因為過,所以,解得,故的方程為;【小問2詳解】由題知畫圖如下:因為直線過點,所以斜率不為零,故設(shè)直線方程為,,,聯(lián)立,可得,故,解得,由韋達(dá)定理得,因為,所以,,設(shè)直線方程為,,,,聯(lián)立,可得,所以,解得,由韋達(dá)定理得:,因為,所以,化簡可得,即,即,因為直線不過,所以,化簡可得,即,解得,所以直線為:,故直線恒過定點.【點睛】思路點睛:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用中的定點問題,關(guān)于定點的問題思路有:(1)先根據(jù)題意考慮特殊情況,斜率不存在,或斜率為零;(2)設(shè)普通的直線方程,聯(lián)立方程組;(3)判別式大于零,韋達(dá)定理;(4)根據(jù)題意建立關(guān)于的等式,進(jìn)行化簡.22.已知，函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的極小值；（2）若函數(shù)存在唯一的零點，求的取值范圍.【答案】（1）2（2）【小問1詳解】由，所以，，令，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞