2022-2023學年八年級數學上學期復習備考高分秘籍【蘇科版】專題6.3大題易丟分期末考前必做解答30題（提升版）一．解答題（共30小題）1．（2022秋?鹽都區期中）求滿足下列條件的x的值：（1）4x2﹣25＝0；（2）（x﹣3）3+125＝0．【分析】（1）方程變形后，利用平方根定義計算即可求出x的值；（2）方程變形后，利用立方根定義計算即可求出x的值．【解析】（1）方程整理得：x2＝，開方得：x＝±；（2）方程整理得：（x﹣3）3＝﹣125，開立方得：x﹣3＝﹣5，解得：x＝﹣2．2．（2022秋?錫山區期中）計算：（1）+|﹣1|+（﹣2）3；（2）+|1﹣|+﹣（）﹣1．【分析】（1）先算乘方，開方，再算加減即可；（2）先算開方，再去絕對值符號，最后算加減即可．【解析】（1）原式＝3+1﹣8＝﹣4；（2）原式＝5+﹣1﹣2﹣2＝．3．（2022秋?高新區校級期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算術平方根，求a+2b的平方根．【分析】根據題意求出2a﹣1＝5，3a+2b﹣3＝9，解出a，b的值代入a+2b中即可求解．【解析】∵±是2a﹣1的平方根，∴2a﹣1＝（）2，∴2a﹣1＝5，解得：a＝3，∵3是3a+2b﹣3的算術平方根，∴3a+2b﹣3＝9，解得：b＝，當a＝3，b＝時，∴a+2b＝6，∴a+2b的平方根為±．4．（2022秋?東臺市校級期中）閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此的小數部分我們不可能全部寫出來，而1＜＜2，于是可用﹣1來表示的小數部分．請解答下列問題：（1）的整數部分是4，小數部分是﹣4．（2）如果的小數部分為a，的整數部分為b，求a+b﹣的值．【分析】（1）直接利用二次根式的性質得出的取值范圍進而得出答案；（2）直接利用二次根式的性質得出，的取值范圍進而得出答案．【解析】（1）∵＜＜，∴4＜＜5，∴的整數部分是4，小數部分是：﹣4；故答案為：4；﹣4；（2）∵＜＜，∴2＜＜3，∵的小數部分為a，∴a＝﹣2，∵＜＜，∴3＜＜4，∵的整數部分為b，∴b＝3，∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1．5．（2022秋?射陽縣校級月考）已知點Q（2m﹣6，m+2），試分別根據下列條件，回答問題．（1）若點Q在y軸上，求點Q的坐標．（2）若點Q在∠xOy（即第一象限）角平分線上，求點Q的坐標．【分析】（1）根據y軸上的點的橫坐標等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根據點Q到兩坐標軸的距離相等，可得關于m的方程，解方程可得答案．【解析】（1）點Q在y軸上，則2m﹣6＝0，解得m＝3．所以m+2＝5，故Q點的坐標是（0，5）；（2）當點Q在∠xOy（即第一象限）角平分線上，有2m﹣6＝m+2，解得m＝8．所以2m﹣6＝10．故Q點的坐標是（10，10）．6．（2022春?崇川區期中）已知點A（3a﹣6，a+1），根據條件，解決下列問題：（1）點A的橫坐標是縱坐標的2倍，求點A的坐標；（2）點A在過點P（3，﹣2）且與x軸平行的直線上，求線段AP的長．【分析】（1）根據點A（3a﹣6，a+1）的橫坐標是縱坐標的2倍，列出方程即可；（2）根據與x軸平行的點縱坐標相同列方程求出A坐標，解答即可．【解析】（1）∵點A（3a﹣6，a+1）的橫坐標是縱坐標的2倍，∴3a﹣6＝2（a+1）．∴a＝8．∴3a﹣6＝18，a+1＝9．點A坐標為（18，9）．（2）∵點A與x軸平行，過點P（3，﹣2），∴a+1＝﹣2．∴a＝﹣3．∴3a﹣6＝﹣15．∴點A的坐標為（﹣15，﹣2）．∴AP＝3﹣（﹣15）＝18．7．（2022春?海安市期中）如圖，先將三角形ABC向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到三角形A1B1C1．（1）請寫出A、B、C的坐標；（2）皮克定理：計算點陣中頂點在格點上的多邊形面積公式：s＝a+b÷2﹣1，其中a表示多邊形內部的點數，b表示多邊形邊界上的點數，s表示多邊形的面積．若用皮克定理求A1B1C1三角形的面積，則a＝9，b＝5，＝10.5．【分析】（1）利用平移變換的性質求解即可；（2）利用給出的皮克定理，求解即可．【解析】（1）∵A1（﹣1，1），B1（5，2），C2（2，5），三角形ABC向左平移3個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到三角形A1B1C1．∴A（2，5），B（8，6），C（5，9）；（2）由題意，a＝9，b＝5，＝9+2.5﹣1＝10.5．故答案為：9，5，10.5．8．（2022春?海門市期末）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，則稱點A與點B互為“對角點”，例如：點A（﹣1，3），點B（2，6），因為2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以點A與點B互為“對角點”．（1）若點A的坐標是（4，﹣2），則在點B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，點A的“對角點”為點B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）若點A的坐標是（﹣2，4）的“對角點”B在坐標軸上，求點B的坐標；（3）若點A的坐標是（3，﹣1）與點B（m，n）互為“對角點”，且點B在第四象限，求m，n的取值范圍．【分析】（1）、（2）讀懂新定義，根據新定義解題即可；（3）根據新定義和直角坐標系中第四象限x、y的取值范圍確定m、n的取值范圍即可．【解析】（1）根據新定義可以得B2、B3與A點互為“對角點”；故答案為：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）①當點B在x軸上時，設B（t，0），由題意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t＝﹣6，∴B（﹣6，0）．②當點B在y軸上時，設B（0，b），由題意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，解得b＝6，∴B（0，6）．綜上所述：A的“對角點”點B的坐標為（﹣6，0）或（0，6）．（3）由題意得m﹣3＝n﹣（﹣1），∴m＝n+4．∵點B在第四象限，∴，∴，解得﹣4＜n＜0，此時0＜n+4＜4，∴0＜m＜4．由定義可知：m≠3，n≠﹣1，∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．故答案為：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．9．（2021秋?豐縣校級月考）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x，y），若點Q的坐標為（ax+y，x+ay），其中a為常數，則稱點Q是點P的“a級關聯點”例如，點P（1，4）的“3級關聯點”為Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知點A（2，﹣6）的“級關聯點”是點B，求點B的坐標；（2）已知點P的5級關聯點為（9，﹣3），求點P坐標；（3）已知點M（m﹣1，2m）的“﹣4級關聯點”N位于坐標軸上，求點N的坐標．【分析】（1）根據關聯點的定義，結合點的坐標即可得出結論；（2）設點P的坐標為（a，b），根據關聯點的定義，結合點的坐標列方程組即可得出結論；（3）根據關聯點的定義和點M（m﹣1，2m）的“﹣4級關聯點”N位于坐標軸上，即可求出N的坐標．【解答】解（1）∵點A（2，﹣6）的“級關聯點”是點B，故點B的坐標為（，）∴B的坐標（﹣5，﹣1）；（2）設點P的坐標為（a，b），∵點P的5級關聯點為（9，﹣3），∴，解得，∵P（2，﹣1）；（3）∵點M（m﹣1，2m）的“﹣4級關聯點”為M′（﹣4（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣4）×2m），當N位于y軸上時，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；當N位于x軸上時，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m＝，∴﹣4（m﹣1）+2m＝，∴N（，0）；綜上所述，點N的坐標為（0，﹣15）或（，0）．10．（2022秋?姑蘇區期中）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個等腰三角形的底邊，且∠BAC＝∠DAE．（1）求證：BD＝CE；（2）連接DC，若CD＝CE，試說明：AD平分∠BAC．【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，推導出∠BAD＝∠CAE，即可根據全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABD≌△ACE，得BD＝CE；（2）由全等三角形的判定定理“SSS”證明△ABD≌△ACD，得∠BAD＝∠CAD，則AD平分∠BAC．【解答】（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分別是這兩個等腰三角形的底邊，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．（2）解：連接CD，∵CD＝CE，BD＝CE，∴BD＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．11．（2022秋?鐘樓區校級月考）如圖①：△ABC中，∠A＝∠ABC，延長AC到E，過點E作EF⊥AB交AB的延長線于點F，延長CB到G，過點G作GH⊥AB交AB的延長線于H，且EF＝GH．（1）求證：△AEF≌△BGH；（2）如圖②，連接EG與FH相交于點D，若AB＝4，求DH的長．【分析】（1）由AAS即可證明△AEF≌△BGH；（2）證明△EFD≌△GHD（AAS），即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC．∵∠ABC＝∠GBH，∴∠A＝∠GBH．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠AFE＝∠BHG．在△ADG和△CDF中，，∴△AEF≌△BGH（AAS）．（2）解：∵△AEF≌△BGH，∴AF＝BH，∴AB＝FH＝4．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠EFD＝∠GHD．在△EFD和△GHD中，，∴△EFD≌△GHD（AAS），∴．12．（2022秋?啟東市期中）若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，當∠ABC和∠ADE互余時，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如圖，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．（1）若連接BD，CE，判斷△ABD與△ACE是否互為“底余等腰三角形”：是（填“是”或“否”）；（2）當∠BAC＝90°時，若△ADE的“余高”AH＝3，則DE＝6；（3）當0＜∠BAC＜180°時，判斷DE與AH之間的數量關系，并說明理由．【分析】（1）連接BD、CE，由AB＝AC＝AD＝AE，得∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，即可由∠ABC+∠ADE＝90°，推導出2（∠ABC+∠ADE）＝180°，則2（∠ADB+∠AEC）＝180°，所以∠ADB+∠AEC＝90°，則△ABD與△ACE互為“底余等腰三角形”，于是得到問題的答案．（2）當∠BAC＝90°時，則△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，先證明△ADE≌△ABC，再證明AH＝BH＝CH＝BC＝3，則DE＝BC＝6，于是得到問題的答案；（3）作AF⊥DE于點F，由AD＝AE，得DF＝EF，再證明△DFA≌△AHB，得DF＝AH，則DE＝2DF＝2AH．【解析】（1）如圖1，連接BD、CE，∵AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，∴∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED＝2（∠ABC+∠ADE），∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝2（∠ADB+∠AEC），∵∠ABC+∠ADE＝90°，∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°，∴2（∠ADB+∠AEC）＝180°，∴∠ADB+∠AEC＝90°，∴△ABD與△ACE互為“底余等腰三角形”，故答案為：是．（2）如圖2，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠D＝45°，∴∠D＝∠E＝∠B＝∠C＝45°，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（AAS），∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∠HAB＝∠HAC＝45°，∴AH＝BH＝CH＝BC＝3，∴DE＝BC＝6，故答案為：6.（3）DE＝2AH，理由：如圖3，作AF⊥DE于點F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵∠DFA＝∠AHB＝90°，∠B+∠D＝90°，∴∠D＝∠BAH＝90°﹣∠B，在△DFA和△AHB中，，∴△DFA≌△AHB（AAS），∴DF＝AH，∴DE＝2DF＝2AH．13．（2022秋?邗江區期中）如圖，△ABO≌△CDO，點E、F在線段AC上，且AF＝CE．試判斷FB與ED的關系，并說明理由．【分析】根據全等三角形的性質可得BO＝DO，AO＝CO，進一步可證△BOF≌△DOE（SAS），根據全等三角形的性質可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根據平行線的判定可得BF∥ED．【解析】FB＝ED，FB∥ED，理由如下：∵△ABO≌△CDO，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AF＝CE，∴OF＝OE，在△BOF和△DOE中，，∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，∴BF∥ED，∴FB＝ED，FB∥ED．14．（2022秋?新北區期中）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是△ABC中線，點E在AD的延長線上，且AD＝DE＝2．（1）求CE的長；（2）求△ABC的面積．【分析】（1）證△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝CE＝3即可；（2）由勾股定理逆定理證得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面積，即可得出△ABC的面積．【解析】（1）∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE＝3，即CE的長為3；（2）∵AD＝DE＝2，∴AE＝4，∵AC＝5，CE＝3，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，∴S△ABC＝S△ACE＝×3×4＝6．15．（2022秋?姑蘇區期中）在如圖所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，6），B（﹣1，2），C（﹣5，4）．（1）作出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1．并寫出點A1的坐標（3，6）．（2）在第（1）題的變換下，若點M（m，n）是線段AC上的任意一點，那么點M的對應點M1的坐標為（﹣m，n）．（3）在y軸上找一點P，使PA＝PB，則P點坐標為（0，5）．【分析】（1）利用關于y軸對稱的點的坐標特征得到點A1、B1、C1的坐標，然后描點即可；（2）利用關于y軸對稱的點的坐標特征求解；（3）作AB的垂直平分線交y軸于P點，從而得到P點坐標．【解析】（1）如圖，△A1B1C1為所作，點A1的坐標為（3，6）；（2）點M（m，n）關于y軸的對稱點M1的坐標為（﹣m，n）；故答案為：（﹣m，n）；（3）P點坐標為（0，5）；故答案為（0，5）．16．（2022秋?泗陽縣期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中線，DG垂直平分CE．（1）求證：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度數．【分析】（1）由直角三角形斜邊上的中線可得DE＝AB＝BE＝AE，利用線段垂直平分線的性質可得DE＝DC，進而可證明結論；（2）由等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中線，∴DE＝AB＝BE＝AE，∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∴CD＝AE；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝25°．17．（2022秋?新北區期中）如圖，在△ABC中，∠A＝40°，點D，E分別在邊AB，AC上，BD＝BC＝CE，連接CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度數；（2）直接寫出∠BEC與∠BDC之間的數量關系（不必說明理由）．【分析】（1）根據等腰三角形的性質得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根據三角形的內角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等邊三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到結論；（2）根據等腰三角形的性質得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根據△BDC的內角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到結論．【解析】（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等邊三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；（2）∠BEC與∠BDC之間的關系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：設∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．18．（2022秋?濱湖區校級期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，點E、F分別是邊AB、BC上的兩個點，點B關于直線EF的對稱點P恰好落在邊AC上且滿足EP⊥AC．（1）請你利用無刻度的直尺和圓規畫出對稱軸EF；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）若BC＝3，AC＝4，則線段EP＝．【分析】（1）作∠ABC的角平分線BP，作線段BP的垂直平分線交AB于E，交BC于F，直線EF即為所求作．（2）設BE＝EP＝PF＝BF＝x，利用平行線分線段成比例定理，求出x，再根據菱形的面積公式求解即可．【解析】（1）如圖，直線EF即為所求作．（2）由作圖可知，四邊形BEFPF是菱形，設BE＝EP＝PF＝BF＝x，∵EP⊥AC，∴∠APE＝∠ACB＝90°，∴PE∥BC，∴，∴，∴x＝，故答案為：．19．（2022秋?常州期中）如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．（1）求證：OC平分∠MOW；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．【分析】（1）根據全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根據全等三角形的性質得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根據全等三角形的性質得出AD＝BE＝3，根據全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，Rt根據全等三角形的性質得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．20．（2022秋?鎮江期中）國慶節前，學校開展藝術節活動，小明站在距離教學樓（CD）35米的A處，操控一架無人機進行攝像，已知無人機在D點處顯示的高度為距離地面30米，隨后無人機沿直線勻速飛行到點E處懸停拍攝，此時顯示距離地面10米，隨后又沿著直線飛行到點B處懸停拍攝，此時正好位于小明的頭項正上方（AB∥CD），且顯示距離地面25米，已知無人機從點D勻速飛行到點E所用時間與它從點E勻速飛行到點B所用時間相同，你能求出無人機從點D到點E再到點B一共飛行了多少米嗎？請寫出相應計算過程．【分析】過E作MN⊥AB于M，交CD于N，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，根據BE＝DE求出EM，根據勾股定理即可求得結論．【解析】過E作MN⊥AB于M，交CD于N，由題意得AB＝25米，CD＝30米，AC＝35米，AB∥CD，AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，BE＝DE，∴MN⊥CD，∴四邊形AMEF，四邊形EFCN，四邊形ACNM是矩形，∴MN＝AC＝35米，BM＝15米，DN＝20米，EN＝（35﹣EM）米，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，∴BM2+EM2＝DN2+EN2，∴152+EM2＝202+（35﹣EM）2，解得EM＝20米，∴BE＝＝25（米），∴BE+DE＝50米．答：無人機從點D到點E再到點B一共飛行了50米．21．（2022秋?江都區期中）同學們都知道，凡是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數，稱之為“勾股數”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）請你寫出另外兩組勾股數：6，8，10；7，24，25；（2）清朝的揚州籍數學家羅士琳提出了四個構造勾股數的法則，其中有兩個法則如下：（I）如果k是大于1的奇數，那么k，，是一組勾股數（Ⅱ）如果k是大于2的偶數，那么k，，是一組勾股數①如果在一組勾股數中，其中有一個數為12，根據法則（I）求出另外兩個數；②請你任選其中一個法則證明它的正確性．【分析】（1）根據勾股數的定義解決此題．（2）①根據題干中法則Ⅰ解決此題．②根據整式的運算以及勾股數的定義解決此題．【解析】（1）勾股數分別為6，8，10；7，24，25．故答案為：8，10；24，25．（2）①根據法則（I），則或．∴k＝5或（不是奇數，舍去）．∴k＝5．∴＝13．∴另外兩個數為5、13．②選擇法則Ⅰ，證明過程如下：＝＝＝＝．∴＝．選擇法則Ⅱ，證明過程如下：＝＝＝＝．∴＝．22．（2022秋?玄武區校級期中）如圖，在△ABC中，AB邊上的垂直平分線DE與AB、AC分別交于點D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求證：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的長．【分析】（1）連接BE，根據線段垂直平分線的性質和勾股定理的逆定理即可求解；（2）設CE＝x，則AE＝BE＝4﹣x，在Rt△BCE中，根據BE2﹣CE2＝BC2列出方程計算即可求解．【解答】（1）證明：連接BE，∵AB邊上的垂直平分線為DE，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴∠C＝90°；（2）解：設CE＝x，則AE＝BE，在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2，∴（4﹣x）2﹣x2＝32，解得：x＝，∴CE的長為．23．（2022春?崇川區期中）定義：在平面直角坐標系xOy中，對于任意一點P（x，y）如果滿足y＝2|x|，我們就把點P（x，y）稱作“和諧點”．（1）在直線y＝6上的“和諧點”為（3，6）或（﹣3，6）；（2）求一次函數y＝﹣x+2的圖象上的“和諧點”坐標；（3）已知點P，點Q的坐標分別為P（2，2），Q（m，5），如果線段PQ上始終存在“和諧點”，直接寫出m的取值范圍是m≤．【分析】（1）由“和諧點”定義可求解；（2）由題意可得“和諧點”在直線y＝2x或直線y＝﹣2x上，聯立方程組，可求一次函數y＝﹣x+2的圖象上的“和諧點”；（3）畫出“和諧點”函數圖象，利用特殊點可求解．【解析】（1）∵y＝2|x|，且y＝6，∴x＝±3，∴在直線y＝6上的“和諧點”為（3，6）或（﹣3，6），故答案為：（3，6）或（﹣3，6）；（2）∵y＝2|x|，∴y＝2x或y＝﹣2x，∴“和諧點”在直線y＝2x或直線y＝﹣2x上，由題意可得：或，解得或，∴一次函數yy＝﹣x+2的圖象上的“和諧點”為（，）或（﹣2，4）；（3）如圖，做直線y＝2，y＝5，線段PQ一定在y＝2，y＝5之間，如果線段PQ上始終存在“和諧點”，線段PQ與y＝2|x|一定有交點，當Q（m，5），在直線y＝2x上時，∴m＝，∴當m≤時，線段PQ上始終存在“和諧點”；當Q（m，5），在直線y＝﹣2x上時，∴m＝﹣，∴當m≤﹣時，線段PQ上始終存在“和諧點”；綜上所述：當m≤時，線段PQ上始終存在“和諧點”．故答案為：m≤．24．（2022?鹽城）小麗從甲地勻速步行去乙地，小華騎自行車從乙地勻速前往甲地，同時出發．兩人離甲地的距離y（m）與出發時間x（min）之間的函數關系如圖所示．（1）小麗步行的速度為80m/min；（2）當兩人相遇時，求他們到甲地的距離．【分析】（1）用路程除以速度即可得小麗步行的速度；（2）求出小華的速度，即可求出兩人相遇所需的時間，進而可得小麗所走路程，即是他們到甲地的距離．【解析】（1）由圖象可知，小麗步行的速度為＝80（m/min），故答案為：80；（2）由圖象可得，小華騎自行車的速度是＝120（m/min），∴出發后需要＝12（min）兩人相遇，∴相遇時小麗所走的路程為12×80＝960（m），即當兩人相遇時，他們到甲地的距離是960m．25．（2022春?通州區期末）文具超市出售某品牌的水筆，每盒標價50元，為了促銷，超市制定了A，B兩種方案：A：每盒水筆打九折；B：5盒以內（包括5盒）不打折，超過5盒后，超過的部分打8折．（1）若購買水筆x盒，請分別直接寫出用A方案購買水筆的費用y1（元）和用B方案購買水筆的費用y2（元）關于x（盒）的關系式；（2）若你去購買水筆，如何選擇哪種方案更優惠？請說明理由．【分析】（1）根據題意直接得出函數解析式即可；（2）分0≤x≤5和x＞5兩種情況，分別計算所需費用，然后比較大小即可．【解析】（1）A方案：y1＝50×0.9x＝45x；B方案：，∴y1關于x（盒）的關系式為y1＝45x；y2關于x（盒）的關系式為；（2）①當0＜x≤5的整數時，∵y1＝45x，y2＝50x，∴y1＜y2，∴選擇A方案更優惠；②當x＞5的整數時，∵y1＝45x，y2＝50+40x，∴分三種情況：（i）當y1＝y2時，即45x＝50+40，∴x＝10；（ii）當y1＞y2時，即45x＞50+40x，∴x＞10；（iii）當y1＜y2時，即45x＜50+40x，∴x＜10；綜上所述，當購買10盒時，A、B兩種方案一樣的優惠；當購買小于10盒時，A方案更優惠；當購買大于10盒時，B方案更優惠．26．（2022春?海門市期末）定義：形如的函數稱為正比例函數y＝kx（k≠0）的“分移函數”，其中b叫“分移值”．例如，函數y＝2x的“分移函數”為，其中“分移值”為1．（1）已知點（1，2k）在y＝kx（k≠0）的“分移函數”的圖象上，則k＝2；（2）已知點P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）在函數y＝2x的“分移函數”的圖象上，求m的值；（3）已知矩形ABCD頂點坐標為A（1，0），B（1，2），C（﹣2，2），D（﹣2，0）．函數y＝kx的“分移函數”的“分移值”為3，且其圖象與矩形ABCD有兩個交點，直接寫出k的取值范圍．【分析】（1）待定系數法求解析式即可；（2）將點P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）代入函數y＝2x的“分移函數”的解析式，可得關于m和b的二元一次方程組，求解即可；（3）根據函數y＝kx的“分移函數”圖象與矩形ABCD的性質，通過計算函數圖象分別過點B和過點D時k的值，即可確定圖象與矩形ABCD有兩個交點時k的取值范圍．【解析】（1）將點（1，2k）代入y＝kx+2，得k+2＝2k，解得k＝2，故答案為：2；（2）根據題意，將點P1（2，1﹣m）代入y＝2x+b，得4+b＝1﹣m①，將點P2（﹣3，2m+1）代入y＝2x﹣b，得﹣6﹣b＝2m+1②，①+②得﹣2＝m+2，∴m＝﹣4，（3）∵函數y＝kx的“分移函數”的“分移值”為3，∴，當k＞0時，函數圖象與矩形ABCD沒有交點，當k＜0時，當函數圖象經過點B時，如圖所示：此時函數圖象與矩形ABCD有一個交點，將點B（1，2）代入y＝kx+3，得k+3＝2，解得k＝﹣1，當函數圖象經過點D時，此時函數圖象與矩形ABCD有三個交點，將點D（﹣2，0）代入y＝kx﹣3，得﹣2k﹣3＝0，解得k＝，∴當函數圖象與矩形ABCD有兩個交點時，k的取值范圍是．27．（2022春?海州區期末）某地區為綠化環境，計劃購買甲、乙兩種樹苗共計n棵．有關甲、乙兩種樹苗的信息如圖所示．信息1．甲種樹苗每棵60元；2．乙種樹苗每棵90元；3．甲種樹苗的成活率為90%；4．乙種樹苗的成活率為95%．（1）當n＝400時，如果購買甲、乙兩種樹苗公用27000元，那么甲、乙兩種樹苗各買了多少棵？（2）實際購買這兩種樹苗的總費用恰好為27000元，其中甲種樹苗買了m棵．①寫出m與n滿足的關系式；②要使這批樹苗的成活率不低于92%，求n的最大值．【分析】（1）設甲種樹苗購買了x棵，乙種樹苗購買了y棵，根據n＝400，購買甲、乙兩種樹苗共用27000元列方程組求解即可；（2）①設甲種樹苗的數量為m棵，則乙種樹苗的數量為（n﹣m）棵，根據購買甲、乙兩種樹苗共用27000元可列方程解答；②根據這批樹苗的成活率不低于92%可列出不等式求解．【解析】（1）設甲種樹苗購買了x棵，乙種樹苗購買了y棵，根據題意，得，解得，所以甲種樹苗購買了300棵，乙種樹苗購買了100棵；（2）①甲種樹苗的數量為m棵，則乙種樹苗的數量為（n﹣m）棵，60m+90（n﹣m）＝27000，∴m＝3n﹣900；②根據題意，得90%m+95%（n﹣m）≥92%n，把m＝3n﹣900帶入，得90%（3n﹣900）+95%（900﹣2n）≥92%n，解得n≤375，所以n的最大值為375．28．（2022?淮安模擬）小華早起鍛煉，往返于家與體育場之間，離家的距離y（米）與時間x（分）的關系如圖所示．回答下列問題：（1）小華家與體育場的距離是2400米，小華在體育場休息5分鐘；（2）小華從體育場返回家的速度是160米/分；（3）小明與小華同時出發，勻速步行前往體育場，假設小明離小華家的距離y（米）與時間x（分）的關系可以用y＝kx+400來表示，而且當小華返回到家時，小明剛好到達體育場．求k的值并在圖中畫出此函數的圖象（用黑水筆描清楚）．【分析】（1）由圖象直接可得小華家與體育場的距離是2400米，小華在體育場休息5分鐘；（2）由速度＝路程÷時間可得小華從體育場返回家的速度是160米/分；（3）把（40，2400）代入y＝kx+400得k＝50，畫出圖象即可．【解析】（1）由圖象可知小華家與體育場的距離是2400米，小華在體育場休息25﹣20＝5（分鐘）；故答案為：2400，5；（2）小華從體育場返回家的速度是2400÷（40﹣25）＝160（米/分）；故答案為：160；（3）根據題意知圖象經過（40，2400），代入y＝kx+400得：2400＝40k+400，∴k＝50，畫出函數的圖象如下：29．（2021秋?廣陵區校級期末）如圖1，在矩形OACB中，點A，B分別在x軸、y軸正半軸上，點C在第一象限，OA＝8，OB＝6．（1）請直接寫出點C的坐標；（2）如圖②，點F在BC上，連接AF，把△ACF沿著AF折疊，點C剛好與線段AB上一點C′重合，求線段CF的長度；（3）如圖3，動點P（x，y）在第一象限，且點P在直線y＝2x﹣4上，點D在線段AC上，是否存在直角頂點為P的等腰直角三角形BDP，若存在，請求出直線PD的解析式；若不存