3.知識導圖學法指導1.傾斜角和斜率都是表示直線方向的幾何量，它們分別從“形”和“數”兩方面反映直線的傾斜程度．2．求直線斜率的方法有：定義法、公式法等．3．用正切函數(k＝tanα)的圖象來掌握傾斜角和斜率之間的關系并熟記．4．由兩點坐標計算直線的斜率，為求直線的方程奠定基礎．1.已知直線的傾斜角(斜率)，求直線的斜率(傾斜角)的問題，一般以選擇題、填空題的形式出現，分值5分．2．過兩點的直線的斜率公式是高考的高頻考點，常與其他知識相結合，各種題型均有出現，分值4～6分.知識點一直線的傾斜角1．直線l的傾斜角的概念一個前提：直線l與x軸相交；一個基準：取x軸作為基準；兩個方向：x軸正方向與直線l向上方向．2．傾斜角的范圍當直線l與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0°.因此，直線的傾斜角α的取值范圍為[0°，180°)．1.傾斜角定義中含有三個條件：①x軸正方向；②直線向上的方向；③小于180°的非負角．2．平面直角坐標系中的每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．知識點二直線的斜率1．定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角α的正切值叫作這條直線的斜率．2．記法：斜率常用k表示，即k＝tan_α.3．斜率與傾斜角的對應關系.圖示傾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率0k>0不存在k<04.公式：經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)．[小試身手]1．判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)任一直線都有傾斜角，都存在斜率．()(2)傾斜角為135°的直線的斜率為1.()(3)若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanα.()(4)直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．[2019·山東省棗莊市校級月考]給出下列結論：①任意一條直線有唯一的傾斜角；②一條直線的傾斜角可以為－30°；③傾斜角為0°的直線只有一條，即x軸；④若直線的傾斜角為α，則sinα∈(0,1)；⑤若α是直線l的傾斜角，且sinα＝eq\f(\r(2),2)，則α＝45°.其中正確結論的個數是()A．1B．2C．3D．4解析：任意一條直線有唯一的傾斜角，傾斜角不可能為負，傾斜角為0°的直線有無數條，它們都垂直于y軸，因此①正確，②③錯誤．④中當α＝0°時，sinα＝0，故④錯誤，⑤中α有可能為135°，故⑤錯誤．答案：A3．已知直線l的傾斜角為30°，則直線l的斜率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\r(3)C．1D.eq\f(\r(2),2)解析：由題意可知，直線l的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).答案：A4．[2019·泰州校級月考]經過點(0,2)和點(3,0)的直線的斜率為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．－eq\f(2,3)D．－eq\f(3,2)解析：斜率k＝eq\f(0－2,3－0)＝－eq\f(2,3).答案：C類型一求直線的傾斜角例1求圖中各直線的傾斜角．【解析】(1)如圖(1)，可知∠OAB為直線l1的傾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直線l1的傾斜角為60°.(2)如圖(2)，可知∠xAB為直線l2的傾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直線l2的傾斜角為135°.(3)如圖(3)，可知∠OAC為直線l3的傾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直線l3的傾斜角為150°.求直線的傾斜角，關鍵是依據平面幾何知識判斷直線向上方向與x軸正向之間所成的角，同時應明確傾斜角的定義及傾斜角的范圍．方法歸納根據定義求直線的傾斜角的關鍵是根據題意畫出草圖；然后根據定義找直線向上的方向與x軸的正方向的夾角，即為直線的傾斜角．畫圖時一般要分情況討論，討論時要做到不重不漏，討論時的分類主要有0°、銳角、直角和鈍角四類．跟蹤訓練1設直線l過坐標原點，它的傾斜角為α.如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°得到直線l1，那么l1的傾斜角為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．當0°≤α＜135°時，傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，傾斜角為α－135°解析：根據題意，畫出圖形，如圖所示．A，B，C未分類討論，均不全面，不合題意．通過圖形可知：當0°≤α<135°時，l1的傾斜角為α＋45°；當135°≤α<180°時，l1的傾斜角為45°＋α－180°＝α－135°，故選D.答案：D條件中未指明α的范圍，畫出圖形考慮到傾斜角的范圍，對α分類討論．類型二直線的斜率例2(1)已知兩條直線的傾斜角分別為60°，135°，求這兩條直線的斜率；(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，AC的斜率；(3)求經過兩點A(2,3)，B(m,4)的直線的斜率．【解析】(1)直線的斜率分別為k1＝tan60°＝eq\r(3)，k2＝tan135°＝－1；(2)直線AB的斜率kAB＝eq\f(1－2,－4－3)＝eq\f(1,7)；直線BC的斜率kBC＝eq\f(－1－1,0－－4)＝eq\f(－2,4)＝－eq\f(1,2)；直線AC的斜率kAC＝eq\f(2－－1,3－0)＝eq\f(3,3)＝1.(3)當m＝2時，直線AB的斜率不存在；當m≠2時，直線AB的斜率為kAB＝eq\f(4－3,m－2)＝eq\f(1,m－2).1．利用k＝tanα求斜率．2．當x1≠x2時，利用k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)求斜率．方法歸納(1)求直線的斜率通常有兩種方法：一是已知直線的傾斜角α(α≠90°)時，可利用斜率的定義，即k＝tanα求得；二是已知直線所經過的兩點的坐標時，可利用過兩點的直線的斜率公式計算求得．(2)使用斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)求斜率時，要注意其前提條件是x1≠x2，若x1＝x2，即兩點的橫坐標相等時，直線斜率不存在．(3)利用斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)時，如果兩點的橫坐標中含有參數，則應討論橫坐標是否相等再確定直線的斜率．,跟蹤訓練2已知坐標平面內△ABC的三個頂點的坐標分別為A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直線AB，BC，AC的斜率．解析：kAB＝eq\f(1－1,1－－1)＝0，kAC＝eq\f(－1－1,1－－1)＝－1.∵B，C兩點的橫坐標相等，∴直線BC的斜率不存在．已知點的坐標，可代入過兩點的直線的斜率公式求斜率，但應先驗證兩點的橫坐標是否相等．類型三直線的傾斜角、斜率的綜合應用例3已知兩點M(2，－3)，N(－3，－2)，直接l過點P(3,3)且與線段MN相交，試求l的斜率k的取值范圍．【解析】過點P且與線段MN相交的直線，必在PM與PN之間(含直線PM、PN)．因為kPN＝eq\f(3－－2,3－－3)＝eq\f(5,6)，kPM＝eq\f(3－－3,3－2)＝6，且在過P點且與線段MN相交的直線中，不含垂直于x軸的直線，所以直線l的斜率k的取值范圍為eq\f(5,6)≤k≤6.利用斜率公式找到臨界條件，建立等量關系式，然后確定斜率k的取值范圍．方法歸納已知直線的傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍時，要注意對傾斜角按銳角和鈍角兩種情況分別進行分析求解；已知斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時，應對斜率分正值和負值兩種情況分別進行分析求解．跟蹤訓練3已知經過兩點A(5，m)和B(m,8)的直線的斜率大于1，求實數m的取值范圍．解析：由題意得eq\f(8－m,m－5)>1，∴eq\f(8－m,m－5)－1>0，∴eq\f(8－m－m＋5,m－5)>0，即eq\f(2m－13,m－5)<0，∴5<m<eq\f(13,2).故m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(13,2))).直接依據斜率公式建立不等式，然后求解不等式，即可得到所求的結果.[基礎鞏固](25分鐘，60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．已知直線過點A(0,4)和點B(1,2)，則直線AB的斜率為()A．3B．－2C．2D．不存在解析：由題意可得AB的斜率為k＝eq\f(2－4,1－0)＝－2.答案：B2．以下兩點確定的直線的斜率不存在的是()A．(4,1)與(－4，－1)B．(0,1)與(1,0)C．(1,4)與(－1,4)D．(－4,1)與(－4，－1)解析：選項A，B，C，D中，只有D選項的橫坐標相同，所以這兩點確定的直線與x軸垂直，即它們確定的直線的斜率不存在．答案：D3．[2019·孝感檢測]已知直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：直線傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°，又直線l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角α的取值范圍是90°<α<180°.答案：C4．直線l的傾斜角是斜率為eq\f(\r(3),3)的直線的傾斜角的2倍，則l的斜率為()A．1B.eq\r(3)C.eq\f(2\r(3),3)D．－eq\r(3)解析：∵tanα＝eq\f(\r(3),3)，0°≤α<180°，∴α＝30°，∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝eq\r(3).故選B.答案：B5．過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為()A．1B．4C．1或3D．1或4解析：∵kMN＝eq\f(m－4,－2－m)＝1，∴m＝1.答案：A二、填空題(每小題5分，共15分)6．若直線l的斜率k的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，則該直線的傾斜角α的取值范圍是________．解析：當0≤k<eq\f(\r(3),3)時，因為tan0°＝0，tan30°＝eq\f(\r(3),3)，所以0°≤α<30°.答案：[0°，30°)7．已知A(2，－3)，B(4,3)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(m,2)))三點在同一條直線上，則實數m的值為________．解析：因為A、B、C三點在同一條直線上，所以有kAB＝kAC，即eq\f(3－－3,4－2)＝eq\f(\f(m,2)－－3,5－2)，解得m＝12.答案：128．若ab<0，則過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,b)))與Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，0))的直線PQ的傾斜角的取值范圍是________．解析：kPQ＝eq\f(－\f(1,b)－0,0－\f(1,a))＝eq\f(a,b)<0，又傾斜角的取值范圍為[0，π)，故直線PQ的傾斜角的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))三、解答題(每小題10分，共20分)9．經過下列兩點的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．解析：(1)存在．直線AB的斜率kAB＝eq\f(5－3,4－2)＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝45°.(2)存在．直線CD的斜率kCD＝eq\f(－1－3,2－－2)＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以傾斜角α＝135°.(3)不存在．因為xP＝xQ＝－3，所以直線PQ的斜率不存在，傾斜角α＝90°.10．如圖，直線l2的傾斜角α2＝120°，直線l1的傾斜角為α1，直線l1⊥l2，求直線l1的斜率．解析：由平面幾何知識可得α2＝α1＋90°，所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，所以直線l1的斜率為k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).[能力提升](20分鐘，40分)11．給出下列說法：①若α是直線l的傾斜角，則0°≤α＜180°；②若k是直線的斜率，則k∈R；③任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；④任意一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角．其中說法正確的個數是()A．1B．2C．3D．4解析：顯然①②③正確，④錯誤．答案：C12．若經過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數a解析：因為直線的傾斜角為鈍角，所以1－a≠3，即a≠－2.且eq\f(1＋a－2a,1－a－3)<0，整理得eq\f(a－1,a＋2)<0，①當a＋2>0時，a－1<0.解得－2<a<1.②當a＋2<0時，a－1>0，此時無解．綜上可得－2<a<1.答案：(－2,1)13．已知直線l的傾斜角α的取值范圍為45°≤α≤135°