2022年甘肅省蘭州市中考數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（3分）（2022?蘭州）計算："=（）

A.±2B.2C.±V2D.V2

2.（3分）（2022?蘭州）如圖，直線a〃匕,直線c與直線a,。分別相交于點A,B,AC-Lb,

垂足為C.若Nl=52°,則N2=（）

C.38°D.26°

3.（3分）（2022?蘭州）下列分別是2022年北京冬奧會、1998年長野冬奧會、1992年阿爾

貝維爾冬奧會、1984年薩拉熱窩冬奧會會徽上的圖案，其中是軸對稱圖形的是（）

4.（3分）（2022?蘭州）計算：（x+2y）?=（）

A./+4與葉4/B.x^+lxy+Ay2C./+4xy4*2）2D.

5.（3分）（2022?蘭州）如圖，△ABC內接于。。,CO是。。的直徑，NAC￡>=40°,則

NB=（）

A

A.70°B.60°C.50°D.40°

6.（3分）（2022?蘭州）若一次函數y=2x+l的圖象經過點（-3,yi）,（4,”），則》與

yi的大小關系是（）

A.yi<j2B.y\>y2C.yiW”D.yi^y2

7.（3分）（2022?蘭州）關于x的一元二次方程^1=0有兩個相等的實數根，則k=

（）

A.-2B.-1C.0D.1

AB1

8.（3分）（2022?蘭州）已知=—，若BC=2,則石尸=（)

DE2

A.4B.6C.8D.16

9.（3分）（2022?蘭州）無色酚酥溶液是一種常用酸堿指示劑，廣泛應用于檢驗溶液酸堿性，

通常情況下酚猷溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色.現有5

瓶缺失標簽的無色液體：蒸儲水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將

酚配試劑滴入任意一瓶液體后呈現紅色的概率是（）

1234

A.-B.—C.-D.—

5555

10.（3分）（2022?蘭州）如圖，菱形A5CQ的對角線AC與相交于點O,七為AQ的中

11.（3分）（2022?蘭州）已知二次函數y=2?-4x+5,當函數值y隨x值的增大而增大時,

x的取值范圍是（）

A.x<IB.x>1C.x<2D.x>2

12.（3分）（2022?蘭州）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該

展板的部分示意圖如圖2所示，它是以。為圓心，OA,。8長分別為半徑，圓心角N。

=120°形成的扇面，若OA=3m,OB=1.5m,則陰影部分的面積為（）

I枷F叫IU6K

A4

普、、-%

A.4.25m??2B.3.25n/w2C.311m2D.2.25nm2

二、填空題（本大題共4小題，每小題3分,共12分）

13.（3分）（2022?蘭州）因式分解：a2-16=

14.（3分）（2022?蘭州）如圖，小剛在蘭州市平面地圖的部分區域建立了平面直角坐標系,

如果白塔山公園的坐標是（2,2）,中山橋的坐標是（3,0）,那么黃河母親像的坐標

是

塔山公園

k親

黃河像

中1U橋

15.（3分）（2022?蘭州）如圖，在矩形紙片A8CD中，點E在邊上，將△CDE沿。E

則AB=cm.

E

16.（3分）（2022?蘭州）2022年3月12日是我國第44個植樹節，某林業部門為了考察某

種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統計

成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統計數據：

幼樹移植數（棵）100100050008000100001500020000

幼樹移植成活數878934485722489831344318044

（棵）

幼樹移植成活的頻0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

率

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是.（結果精確到0.1）

三、解答題（本大題共12小題，共72分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟）

17.（4分）（2022?蘭州）解不等式:2（x-3）<8.

18.（4分）（2022?蘭州）計算：（l+j）+空區.

19.（4分）（2022?蘭州）如圖1是小軍制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示，

AB=AE,AC^AD,ZBAD^ZEAC,ZC=50°,求NO的大小.

20.（6分）（2022?蘭州）如圖，小睿為測量公園的一涼亭A8的高度，他先在水平地面點E

處用高1.5w的測角儀OE測得/AOC=31°,然后沿EB方向向前走3m到達點G處，

在點G處用高15"的測角儀尸G測得NAFC=42°.求涼亭AB的高度.（A,C,B三

點共線,ABA.BE,ACLCD,CD=BE,BC=DE.結果精確到O.bn）

（參考數據：sin310弋0.52,cos31°々0.86,tan31°弋0.60,sin420弋0.67,cos42°弋

0.74,tan42°?=0.90）

21.（6分）（2022?蘭州）人口問題是“國之大者”，黨中央高度重視人口問題，準確把握人

口發展形勢，有利于推動社會持續健康發展，為開啟全面建設社會主義現代化國家新征

程、向第二個百年奮斗目標進軍創造良好的條件.某綜合與實踐研究小組根據我國第七

次人口普查數據進行整理、描述和分析，給出部分數據信息：

信息一：普查登記的全國大陸31個省、自治區、直轄市人口數的頻數分布直方圖如下：

（數據分成6組：0WxV20,20Wx<40,40Wx<60,60Wx<80,80Wx<100,lOOWx

W120)

信息二：普查登記的全國大陸31個省、自治區、直轄市人口數（百萬人）在40WxV60

這一組的數據是：58,47,45,40,43,42,50；

信息三：2010-2021年全國大陸人口數及自然增長率；

請根據以上信息，解答下列問題：

（1）普查登記的全國大陸31個省、自治區、直轄市人口數的中位數為百萬人.

（2）下列結論正確的是.（只填序號）

①全國大陸31個省、自治區、直轄市中人口數大于等于100（百萬人）的有2個地區；

②相對于2020年，2021年全國大陸人口自然增長率降低，全國大陸人口增長緩慢；

③2010-2021年全國大陸人口自然增長率持續降低.

（3）請寫出2016-2021年全國大陸人口數、全國大陸人口自然增長率的變化趨勢，結

合變化趨勢談談自己的看法.

二|全國大陸

*—口然增長

020406080100120人口數/百萬人

22.（6分）（2022?蘭州）綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一此幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址

出土車雪（wei）范、芯組成的鑄型（如圖1）,它的端面是圓形.如圖2是用“矩”（帶

直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB=AC,

在圓上標記A,B,C三點；將“矩”向右旋轉，使它左側邊落在A,B點上，“矩”的另

一條邊與的交點標記為。點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A,B,C,。四點,

連接AD,BC相交于點O,即。為圓心.

B

問題解決：（1）請你根據“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖

確定圓心。.如圖3,點A,B,C在。0上，ABLAC,KAB=AC,請作出圓心0.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心

的方法后發現，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心0.如圖4,點A,B,

C在。。上，AB1AC,請作出圓心0.（保留作圖痕跡，不寫作法）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發現古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，

用平時學的尺規作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點A,B,C是。0上任意

三點，請用不帶刻度的直尺和圓規作出圓心0.（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確

定圓心的理由：.

B

圖3圖4圖5

23.（6分）（2022?蘭州）如圖，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,M

為AB邊上一動點，BN工CM,垂足為N.設A,M兩點間的距離為xaa（0WxW5）,B,

N兩點間的距離為yes（當點M和8點重合時，B,N兩點間的距離為0）.

小明根據學習函數的經驗，對因變量y隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.

下面是小明的探究過程，請補充完整.

（1）列表：下表的已知數據是根據A,M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別

得到了y與x的幾組對應值:

xlcm00.511.51.822.533.544.55

ylem43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

請你通過計算，補全表格：?=；

(2)描點、連線：在平面直角坐標系中，描出表中各組數值所對應的點(無，y),并畫

出函數y關于x的圖象；

1I--------1-------f--------1-------1

?????

IIIII?

01~2~3~4~□x

(3)探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數y的變化趨勢：；

(4)解決問題：當BN=2AM時，AM的長度大約是cm.(結果保留兩位小數)

24.(6分)(2022?蘭州)擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目.如圖1

是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度與水平距離x(〃?)

之間的函數關系如圖2所示，擲出時起點處高度為3m當水平距離為3機時，實心球行

3

進至最高點,im處.

(1)求y關于x的函數表達式；

(2)根據蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準(女生)，投擲過程中，實心球從

起點到落地點的水平距離大于等于6.70加，此項考試得分為滿分10分.該女生在此項考

試中是否得滿分，請說明理由.

圖1圖2

圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規則與測試要求》

25.(6分)(2022?蘭州)如圖，點A在反比例函數y=[(x>0)的圖象上，ABL軸，垂

足為B(3,0),過C(5,0)作C￡)_Lx軸，交過8點的一次函數y=|x+b的圖象于O

點，交反比例函數的圖象于E點，SAAOB=3.

(1)求反比例函數y=[(x>0)和一次函數y=|x+6的表達式；

26.(7分)(2022?蘭州)如圖,是△ABC的外接圓,A8是直徑，ODLOC,連接AD,

ZADO=NBOC,AC與OD相交于點E.

(1)求證：是。。的切線；

1a

(2)若tanNOAC=*,AD=^,求。。的半徑.

D

27.（8分）（2022?蘭州）在平面直角坐標系中，P（a,b）是第一象限內一點，給出如下定

義：心=f和k2=搟兩個值中的最大值叫做點P的“傾斜系數”火.

（1）求點尸（6,2）的“傾斜系數”k的值；

（2）①若點P（?,b）的“傾斜系數”上=2,請寫出“和6的數量關系，并說明理由；

②若點P（a,b）的''傾斜系數"k=2,且a+人=3,求。尸的長；

（3）如圖，邊長為2的正方形438沿直線AC：y=x運動，P（a,b）是正方形A8C￡>

上任意一點，且點P的“傾斜系數”％《后，請直接寫出“的取值范圍.

【問題情境】

數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在正方形A8CQ中，E是3c的中點，AE

LEP,EP與正方形的外角/OCG的平分線交于P點.試猜想AE與EP的數量關系，并

加以證明；

【思考嘗試】

（1）同學們發現，取AB的中點F,連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，

解答老師提出的問題.

【實踐探究】

(2)希望小組受此問題啟發，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形

ABCO中，E為BC邊上一動點(點E,B不重合)，ZVIEP是等腰直角三角形，NAEP

=90°,連接CP,可以求出/。CP的大小，請你思考并解答這個問題.

【拓展遷移】

(3)突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在

正方形A8C。中，E為BC邊上一動點(點E,8不重合)，△?1￡：「是等腰直角三角形，

ZAEP=90°,連接。P.知道正方形的邊長時，可以求出△AOP周長的最小值.當AB

=4時，請你求出△AOP周長的最小值.

圖3

圖1圖2

2022年甘肅省蘭州市中考數學試卷

答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（3分）（2022?蘭州）計算：V4=（）

A.±2B.2C.±V2D.V2

【分析】利用算術平方根的性質求解.

解：V4=V22=2.

故選：B.

【點評】本題考查了算術平方根的性質，掌握性質特征是解題的關鍵.

2.（3分）（2022?蘭州）如圖，直線a〃＞直線c與直線”，b分別相交于點A,B,4cLb,

垂足為C.若/1=52°,則/2=（）

A.52°B.45°C.38°D.26°

【分析】根據平行線的性質可得NABC=52°,根據垂直定義可得NAC8=90°,然后

利用直角三角形的兩個銳角互余，進行計算即可解答.

解：'：a//b,

.?./1=/A8C=52°,

,：ACLb,

：.ZACB=90°,

：.N2=90°-NABC=38°,

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質，垂線，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

3.（3分）（2022?蘭州）下列分別是2022年北京冬奧會、1998年長野冬奧會、1992年阿爾

貝維爾冬奧會、1984年薩拉熱窩冬奧會會徽上的圖案，其中是軸對稱圖形的是（）

【分析】在平面內，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形為

軸對稱圖形.

解：4不能沿一條直線折疊完全重合；

B.不能沿一條直線折疊完全重合；

C.不能沿一條直線折疊完全重合；

D.能夠沿一條直線折疊完全重合；

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，關鍵在于熟練掌握軸對稱圖形的概念，并對選

項作出正確判斷.

4.（3分）（2022?蘭州）計算：（x+2y）2=（）

A.7+4彳）44/B.f+2%），+4y2C.，+4xy+2）2D.7+4，

【分析】利用完全平方公式計算即可.

解：（x+2y）2—x1+4xy+4yi.

故選：A.

【點評】本題考查了完全平方公式：（a+b）2=a2±2ah+b1.

5.（3分）（2022?蘭州）如圖，/XABC內接于。0,CD是的直徑，NAC￡>=40°,則

NB=()

A.70°B.60°C.50°D.40°

【分析】由CO是OO的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，得出NC4O=90°,根

據直角三角形兩銳角互余得到N4CO與ND互余，即可求得NO的度數，繼而求得N8

的度數.

解：是。。的直徑，

AZCAD=90°,

AZACD+ZD=90°,

VZACD=40Q,

.?./AZ）C=NB=50°.

故選：C.

【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，直角三角形的性質，難度不

大，注意掌握數形結合思想的應用.

6.（3分）（2022?蘭州）若一次函數y=2x+l的圖象經過點（-3,yi）,（4,”），則》與

yi的大小關系是（）

A.yi<y2B.C.“W”D.yie），2

【分析】先根據一次函數的解析式判斷出函數的增減性，再根據-3V4即可得出結論.

解：?.,一次函數y=2r+l中，k=2>0,

.?.），隨著x的增大而增大.

???點（-3,%）和（4,”）是一次函數y=2x+l圖象上的兩個點，-3V4,

.'.yi<y2.

故選：A.

【點評】本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特征，熟知一次函數圖象的增減性是解

答此題的關鍵.

7.（3分）（2022?蘭州）關于x的一元二次方程^1=0有兩個相等的實數根，則/=

（）

A.-2B.-1C.0D.1

【分析】利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到％W0且△=22-4ZX（-1）=0,

然后解關于k的方程即可.

解：根據題意得且△=2?-4ZX（-1）=0,

解得k--1.

故選：B.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程—+法+c=0QWO）的根與A=h2-4ac

有如下關系：當△＞（）時，方程有兩個不相等的實數根；當△=（）時，方程有兩個相等的

實數根；當AVO時，方程無實數根.

AB1

8.（3分）（2022?蘭州）已知—=若3c=2,則石/=（）

DE2

A.4B.6C.8D.16

ABBC

【分析】利用相似三角形的性質可得二=二;，代入即可得出所的長.

DEEF

解：VAABC^ADEF,

.ABBC

??=,

DEEF

AB1

???—=BC=2,

DE2

21

??=一,

EF2

：.EF=4,

故選：A.

【點評】本題主要考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的對應邊成比例是解

題的關鍵.

9.（3分）（2022?蘭州）無色酚獻溶液是一種常用酸堿指示劑，廣泛應用于檢驗溶液酸堿性，

通常情況下酚獻溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色.現有5

瓶缺失標簽的無色液體：蒸儲水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將

酚醐試劑滴入任意一瓶液體后呈現紅色的概率是（）

1234

A.-B?一C.-D.一

5555

【分析】總共5種溶液，其中堿性溶液有2種，再根據概率公式求解即可.

解：???總共5種溶液，其中堿性溶液有2種，

2

二將酚獻試劑滴入任意一瓶液體后呈現紅色的概率是g,

故選：B.

【點評】本題考查了概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

10.（3分）（2022?蘭州）如圖，菱形A8CZ）的對角線AC與BQ相交于點。，E為AO的中

點，連接OE,ZABC=60°,BD=4yf3,貝ijOE=（）

【分析】根據菱形的性質可得，NABO=30°,ACLBD,則80=26，再利用含30°

角的直角三角形的性質可得答案.

解：：四邊形ABCZ）是菱形，ZABC=60°,

：.BO=DO,NABO=30°,ACLBD,AB=AD,

:.BO=2小

：.A0=^B0=2,

：.AB=2AO=4,

為AO的中點，ZAOD=90°,

：.OE=^AD=2,

故選：C.

【點評】本題主要考查了菱形的性質，含30°角的直角三角形的性質等知識，熟練掌握

菱形的性質是解題的關鍵.

11.（3分）（2022?蘭州）已知二次函數當函數值y隨x值的增大而增大時，

x的取值范圍是（）

A.x<1B.x>1C.x<2D.x>2

【分析】將二次函數解析式化為頂點式，由拋物線對稱軸及開口方向求解.

解：?.?y=2?-4x+5=2（x-1）2+3,

.?.拋物線開口向上，對稱軸為直線x=l,

時，y隨x增大而增大，

故選：B.

【點評】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系.

12.（3分）（2022?蘭州）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀”的扇面宣傳展板，該

展板的部分示意圖如圖2所示，它是以。為圓心，OA,OB長分別為半徑，圓心角NO

=120°形成的扇面，若04=3加，OB=l.5mf則陰影部分的面積為()

【分析】根據S陰=5扇形OOA-S扁形8OC，計算即可.

角軍：S陰=S扇形DOA-S扇形BOC

_1207rx91207rx?

=^60360-

=2.25mrr.

故選：D.

【點評】本題考查的是扇形面積的計算，掌握扇形的面積公式S=噱是解題的關鍵.

二、填空題(本大題共4小題，每小題3分，共12分)

13.(3分)(2022?蘭州)因式分解：a2-16=(a-4)(a+4).

【分析】直接利用平方差公式分解因式即可.

解：a2-16=(a-4)(a+4).

故(a-4)(a+4).

【點評】此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式是解題關鍵.

14.(3分)(2022?蘭州)如圖，小剛在蘭州市平面地圖的部分區域建立了平面直角坐標系，

如果白塔山公園的坐標是(2,2),中山橋的坐標是(3,0),那么黃河母親像的坐標是(-

4,1).

塔山公園

‘母親

黃河像

中1U橋

【分析】根據白塔山公園的坐標是（2,2）,中山橋的坐標是（3,0）畫出直角坐標系,

然后根據點的坐標的表示方法寫出黃河母親像的坐標；

/產

解：如圖，根據白塔山公園的坐標是（2,2）,中山橋的坐標是（3,0）畫出直角坐標系，

二黃河母親像的坐標是（-4,1）.

故（-4,1）.

【點評】本題考查了坐標確定位置：平面內的點與有序實數對一一對應；記住直角坐標

系中特殊位置點的坐標特征.

15.（3分）（2022?蘭州）如圖，在矩形紙片ABC。中，點E在8C邊上，將沿OE

翻折得到△FDE，點廠落在AE上.若CE=3cw,AF=2EF,則A8=3炳cm.

【分析】根據將△(?￡>￡沿。E翻折得到點尸落在AE上，可得EF=CE=3a〃,

CD=DF,NDEC=NDEF,NDFE=NC=90°=/O耐，ffi]AF=2EF,即得Af=6c7n,

AE=9cm,由四邊形ABC。是矩形，可得/，AD//BC,從而AO=4E=9c機，

在RtZ\AO尸中，用勾股定理得。尸=3百。巾，從而AB=O尸=3?an.

解：?.?將△<?￡>￡沿。E翻折得到△FCE,點尸落在AE上，

:.EF=CE=3cm,CD=DF,NDEC=NDEF,/￡>FE=/C=90°

?：AF=2EF,

：.AF=6cm,AE=AF+EF=6+3=9(cm),

?.?四邊形ABC。是矩形，

:.AB=CD=DF,AD//BC,

，NADE=NDEC=ZDEF,

：.AD=AE=9cm,

在RtZVIO尸中，AF2+DF2=AD2,

：.62+DF2=92,

：.DF=3^5(an),

：.AB=DF=3V5(cm),

故3代.

【點評】本題考查矩形中的翻折問題，解題的關鍵是掌握翻折的性質，能熟練應用勾股

定理列方程解決問題.

16.(3分)(2022?蘭州)2022年3月12日是我國第44個植樹節，某林業部門為了考察某

種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統計

成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統計數據：

幼樹移植數(棵)100100050008000100001500020000

幼樹移植成活數878934485722489831344318044

（棵）

幼樹移植成活的頻0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902

率

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是0.9.（結果精確到0.1）

【分析】大量重復試驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度

越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的

近似值就是這個事件的概率.

解：?.?幼樹移植數20000棵時，幼樹移植成活的頻率為0.902,

估計幼樹移植成活的概率為0.902,精確到0.1,即為0.9.

故0.9.

【點評】本題考查了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率，大量反復試驗下頻率

穩定值即概率.

三、解答題（本大題共12小題，共72分.解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算

步驟）

17.（4分）（2022?蘭州）解不等式:2（%-3）<8.

【分析】先去括號，再移項、合并同類項，不等式兩邊同乘以點即可得出不等式的解集

解：去括號，得：2x-6<8,

移項，得：2x<8+6,

合并同類項，得：2x<14,

兩邊同乘以士得：x<7.

2

故原不等式的解集是x<7.

【點評】本題主要考查了解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，

都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1.

18.（4分）（2022?蘭州）計算：（1+；）+空31.

【分析】根據分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案.

x+1*x

xx(x+l)

1

X

【點評】本題考查分式的混合運算，熟練掌握分式的加減運算以及乘除運算法則是解題

的關鍵.

19.（4分）（2022?蘭州）如圖1是小軍制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示,

AB^AE,AC=AD,/BAD=NEAC,ZC=50°,求NO的大小.

圖1圖2

【分析】由可得NA4C=NEA￡>,根據&4S可證△BAC絲△EAZ）,再根

據全等三角形的性質即可求解.

解："：ZBAD=ZEAC,

：.ZBAD+ZCAD=ZEAD+ZCAD,即NBAC=/￡4。,

在ABAC與AEAD中，

AB=AE

乙BAC=Z.EADy

AC=AD

/.△BAC^AEAD(SAS),

AZD=ZC=50°.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決

問題，屬于中考常考題型.

20.（6分）（2022?蘭州）如圖，小睿為測量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點E

處用高1.5〃?的測角儀。E測得NA￡>C=31°,然后沿E8方向向前走3〃?到達點G處，

在點G處用高15"的測角儀FG測得/AFC=42°.求涼亭AB的高度.（A,C,B三

點共線，ABA.BE,ACLCD,CD=BE,BC=DE.結果精確到0.1m）

(參考數據：sin31°*0.52,cos310弋0.86,tan31°?=0.60,sin42°弋0.67,cos42°弋

0.74,tan42°g0.90)

【分析】根據題意可得8c=FG=OE=1.5〃?，DF=GE=3m,ZACF=90°,然后設CF

=xm,則C￡>=(x+3)m,先在RlZ\AC尸中，利用銳角三角函數的定義求出AC的長，

再在Rt^ACO中，利用銳角三角函數的定義列出關于x的方程，進行計算即可解答.

解：由題意得：

BC=FG=DE=L5m,DF=GE^3m,ZACF=9O0,

設CF=xm,

：.CD=CF+DF=(x+3)m,

在RtZXACF中，ZAFC=42°,

；.AC=CF.tan42°=^0.9x(m),

在RtZ\AC￡>中，/A￡>C=31°,

,AC0.9x..,

..tana310=777；=?0.6,

CDx+3

??x=6,

經檢驗：x=6是原方程的根，

AAB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(/n),

涼昂AB的高約為6.9m.

【點評】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定

義是解題的關鍵.

21.(6分)(2022?蘭州)人口問題是“國之大者”，黨中央高度重視人口問題，準確把握人

口發展形勢，有利于推動社會持續健康發展，為開啟全面建設社會主義現代化國家新征

程、向第二個百年奮斗目標進軍創造良好的條件.某綜合與實踐研究小組根據我國第七

次人口普查數據進行整理、描述和分析，給出部分數據信息：

信息一：普查登記的全國大陸31個省、自治區、直轄市人口數的頻數分布直方圖如下：

(數據分成6組：0Wx<20,20Wx<40,40Wx<60,60^x<80,80Wx<100,lOOWx

<120)

信息二：普查登記的全國大陸31個省、自治區、直轄市人口數(百萬人)在40Wx<60

這一組的數據是：58,47,45,40,43,42,50；

信息三：2010-2021年全國大陸人口數及自然增長率；

請根據以上信息，解答下列問題：

(1)普查登記的全國大陸31個省、自治區、直轄市人口數的中位數為40百萬人.

(2)下列結論正確的是①②.(只填序號)

①全國大陸31個省、自治區、直轄市中人口數大于等于100(百萬人)的有2個地區；

②相對于2020年，2021年全國大陸人口自然增長率降低，全國大陸人口增長緩慢；

③2010-2021年全國大陸人口自然增長率持續降低.

(3)請寫出2016-2021年全國大陸人口數、全國大陸人口自然增長率的變化趨勢，結

合變化趨勢談談自己的看法.

二|全國大陸

—自然增長

201020112012201320142015201620172018201920202021

【分析】（1）根據已知發現中位數在第三組內，從小到大排列找出處在中間位置的一個

數即可求出中位數；

（2）①根據頻數分布直方圖進行判斷即可；

②根據條形圖與折線圖即可判斷：

③根據折線圖即可判斷；

（3）根據條形圖與折線圖可寫出2016-2021年全國大陸人口數、全國大陸人口自然增

長率的變化趨勢，根據變化趨勢寫出看法即可.

解：（1）將這31個省、自治區、直轄市人口數從小到大排列處在中間位置的數是40百

萬人，因此中位數是40百萬人，

故40；

（2）①全國大陸31個省、自治區、直轄市中人口數大于等于100（百萬人）的有2個地

區，故原結論正確，符合題意；

②相對于2020年，2021年全國大陸人口自然增長率降低，全國大陸人口增長緩慢，故原

結論正確，符合題意；

③2010-2021年全國大陸人口自然增長率的情況是：2010-2012,2013-2014,2015-

2016年增長率持續上升;2012-2013,2014-2015,2016-2021年增長率持續降低，

故原結論錯誤，不符合題意.

所以結論正確的是①②.

故①②；

（3）2016-2021年全國大陸人口數增長緩慢，全國大陸人口自然增長率持續降低.

看法：放開計劃生育，鼓勵多生優生，以免人口自然增長率為負（答案不唯一）.

【點評】本題考查頻數分布直方圖、條形統計圖、折線統計圖，中位數，理解統計圖中

數量之間的關系是正確解答的前提.

22.（6分）（2022?蘭州）綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一此幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址

出土車喜（wei）范、芯組成的鑄型（如圖1）,它的端面是圓形.如圖2是用“矩”（帶

直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB=AC,

在圓上標記4,B,C三點；將“矩”向右旋轉，使它左側邊落在A,B點上，“矩”的另

一條邊與的交點標記為。點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A,B,C,O四點,

連接A。，BC相交于點。，即。為圓心.

圖1圖2

問題解決：（1）請你根據“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖

確定圓心。.如圖3,點A,B,C在上，AB1AC,且48=4C,請作出圓心O.（保

留作圖痕跡，不寫作法）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心

的方法后發現，如果AB和4c不相等，用三角板也可以確定圓心O.如圖4,點A,B,

C在。。上，ABLAC,請作出圓心。.（保留作圖痕跡，不寫作法）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發現古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，

用平時學的尺規作圖的方法確定圓心可以減少誤差.如圖5,點A,B,C是上任意

三點，請用不帶刻度的直尺和圓規作出圓心。（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確

定圓心的理由：垂直平分弦的直線經過圓心.

A

A

A

□

圖3圖4圖5

【分析】問題解決：

(1)以B為頂點，以48為一邊，用三角板作是直角,的另一邊與圓交于

D,連接A。，BC,AD,BC的交點即是圓心0；

類比遷移：

(2)方法同(1)；

拓展探究：

(3)連接AC,AB,作AC,A8的垂直平分線,兩條垂直平分線的交點即為圓心，根據

是垂直平分弦的直線經過圓心.

解：問題解決：

;(1)如圖：

A

D

。即為圓心；

類比遷移：

(2)如圖：

e

O即為所求作的圓心;

拓展探究：

（3）如圖:

0即為所求作的圓心，理由是垂直平分弦的直線經過圓心,

故垂直平分弦的直線經過圓心.

【點評】本題考查圓的綜合應用，涉及用三角板或尺規確定圓心，解題的關鍵是掌握若

圓周角是直角，它所對的弦是直徑及垂徑定理與推論的應用.

23.（6分）（2022?蘭州）如圖，在Rt/XABC中，NACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,M

為AB邊上一動點，BN上CM,垂足為N.設A,M兩點間的距離為xa”（0WxW5）,B,

N兩點間的距離為yc/n（當點M和8點重合時，B,N兩點間的距離為0）.

小明根據學習函數的經驗，對因變量），隨自變量x的變化而變化的規律進行了探究.

下面是小明的探究過程，請補充完整.

（1）列表：下表的已知數據是根據A,M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別

得到了y與x的幾組對應值：

x/cm00.511.51.822.533.544.55

ylem43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

請你通過計算，補全表格：a=3.2;

（2）描點、連線：在平面直角坐標系中，描出表中各組數值所對應的點（x,），），并畫

出函數y關于x的圖象;

（3）探究性質：隨著自變量x的不斷增大，函數y的變化趨勢：、，隨x的增大而減小；

（4）解決問題：當8N=2A/時，AM的長度大約是1.67an.（結果保留兩位小數）

【分析】（1）先求出AB邊上的高，進而求出AM,判斷出點M與“重合，即可得出答

案；

（2）先描點，再連線，即可畫出圖象；

（3）根據圖象直接得出結論；

（4）利用表格和圖象估算出AM的長度.

解：（1）如圖，

在RtZ\ABC中，AC=3,BC=4,根據勾股定理得，AC=5,

過點C作于M,

.$A8C=%C?BC=

.?.CAT=￥，

在「△ACAf中，根據勾股定理得，ANT=y/AC2-CM'2=1.8,

當x=1.8時，點M與點”重合，

：.CMLAB,

?：BNLCM,

???點M,N重合，

:.a=BN=BM=AB-AM=3.2,

故3.2；

（2）如圖所示,

（3）由圖象知，y隨x的增大而減小,

故y隨x的增大而減小；

（3）借助表格和圖象得，當BN=2A歷時，A仞的長度大約是1.67cm,

故1.67.

【點評】此題主要考查了勾股定理，三角形的面積，函數圖象的畫法，畫出函數圖象是

解本題的關鍵.

24.（6分）（2022?蘭州）擲實心球是蘭州市高中階段學校招生體育考試的選考項目.如圖1

是一名女生投實心球，實心球行進路線是一條拋物線，行進高度與水平距離X。”）

之間的函數關系如圖2所示，擲出時起點處高度為半"，當水平距離為3瓶時，實心球行

進至最高點3，〃處.

（1）求y關于x的函數表達式；

（2）根據蘭州市高中階段學校招生體育考試評分標準（女生），投擲過程中，實心球從

起點到落地點的水平距離大于等于6.70〃?，此項考試得分為滿分10分.該女生在此項考

試中是否得滿分，請說明理由.

圖I圖2

圖1來源：《2022年蘭州市高中階段學校招生體育考試規則與測試要求》

【分析】(1)根據題意設出y關于x的函數表達式，再用待定系數法求函數解析式即可；

(2)根據該同學此次投擲實心球的成績就是實心球落地時的水平距離，令y=0,解方程

即可.

解：(D根據題意設y關于x的函數表達式為y=a(x-3)2+3,

把(0,-)代入解析式得：-=a(0-3)2+3,

33

解得：a=一3，