1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時用空間向量研究夾角問題A級基礎鞏固1.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.15B.25C.35解析:以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系(圖略).設AB=1,則B(1,1,0),A1(1,0,2),A(1,0,0),D1(0,0,2),所以A1B=(0,1,-2),AD1cos<A1B,AD1>=A1所以異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為45答案:D2.若平面α的一個法向量為n=(4,1,1),直線l的一個方向向量a=(-2,-3,3),則l與α所成角的余弦值為()A.-1111 B.C.-11011 D.解析:設α與l所成的角為θ,則sinθ=|cos<a,n>|=|(-2,-3,3)·(4,1,1)|4+9+9×答案:D3.如圖,正方形ABCD所在平面外一點P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD的夾角為()A.30° B.45° C.60° D.90°解析:如圖所示,建立空間直角坐標系,設PA=AB=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以AD=(0,1,0).取PD中點為E,則E0,所以AE=0,易知AD是平面PAB的一個法向量,AE是平面PCD的一個法向量,所以cos<AD,AE>=AD·AE|所以平面PAB與平面PCD的夾角為45°.答案:B4.如圖所示,在四面體ABCD中,O是BD的中點,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2.(1)求證:AO⊥平面BCD;(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值.(1)證明:如圖,連接OC.由題意,知BO=DO,AB=AD,所以AO⊥BD.因為BO=DO,BC=CD,所以CO⊥BD.在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=3,因為CA=2,所以AO2+CO2=CA2,所以∠AOC=90°,即AO⊥CO.因為BD∩CO=O,所以AO⊥平面BCD.(2)解:如圖,以O為坐標原點建立空間直角坐標系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),所以BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0),所以cos<BA,CD>=BA·CD|所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為245.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,點E在棱PB上.(1)求證:平面AEC⊥平面PDB;(2)當PD=2AB,且E為PB的中點時,求直線AE與平面PDB所成角的大小.(1)證明:如圖,以D為坐標原點建立空間直角坐標系,設AB=a,PD=h,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),P(0,0,h).所以AC=(-a,a,0),DP=(0,0,h),DB=(a,a,0),所以AC·DP=0,AC·DB=0,所以AC⊥DP,AC⊥DB.因為DP∩DB=D,所以AC⊥平面PDB.又因為AC?平面AEC,所以平面AEC⊥平面PDB.(2)解:當PD=2AB,且E為PB的中點時,P(0,0,2a),E12a,1如圖,連接OE,由(1)知AC⊥平面PDB于點O,所以∠AEO為直線AE與平面PDB所成的角.因為EA=12a,-12所以cos∠AEO=EA·EO|所以∠AEO=45°,即直線AE與平面PDB所成角的大小為45°.B級能力提升6.如圖,已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是側棱BB1的中點,則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為()A.60° B.90°C.45° D.以上都不對解析:以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示.由題意知,A1(1,0,2),E(1,1,1),D1(0,0,2),A(1,0,0),所以A1E=(0,1,-1),D1E=(1,1,-1),EA=(0,-設平面A1ED1的法向量為n=(x,y,z),則n·A令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1)是平面A1ED1的一個法向量.因為cos<n,EA>=n·EA|n||所以<n,EA>=180°.所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90°.答案:B7.如圖,在空間直角坐標系Dxyz中,四棱柱ABCD-A1B1C1D1為長方體,AA1=AB=2AD,E為C1D1的中點,則平面A1B1B與平面A1BE夾角的余弦值為()A.-33 B.-32 C.3解析:設AD=1,則A1(1,0,2),B(1,2,0).因為E為C1D1的中點,所以E(0,1,2),所以A1E=(-1,1,0),A1B=(0,2,-2).設m=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,則A1E·m=0,A1B·m=0,所以-x+y=0,2y-2z=0,所以x=y,z=y.取y=1,則x=1,z=1,所以平面A1BE的一個法向量為m=(1,1,1).由題意可知,DA⊥平面A1B1B,所以DA=(1,0,0)是平面答案:C8.在空間直角坐標系中,若A(1,-2,0),B(2,1,6),則向量AB與平面Oxz的法向量的夾角的正弦值為74解析:設平面Oxz的法向量為n=(0,t,0)(t≠0).由題意知AB=(1,3,6),所以cos<n,AB>=n·AB|n||AB|=3t4|t|.因為<n,AB>∈9.如圖,已知點E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,若B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC的夾角的正切值等于23解析:如圖,建立空間直角坐標系,設正方體的棱長為1,則A(1,0,0),E1,1,1所以AE=0,1,13由題意,知平面ABC的一個法向量為n1=(0,0,1).設平面AEF的法向量為n2=(x,y,z),則n2·取z=3,則x=1,y=-1.故n2=(1,-1,3)是平面AEF的一個法向量.所以cos<n1,n2>=n1·n所以平面AEF與平面ABC的夾角α滿足cosα=31111,sinα=2211,所以tan10.如圖,已知矩形ABCD與ABEF全等,D-AB-E為直二面角,M為AB的中點,直線FM與BD所成的角為θ,若cosθ=39,則線段AB與BC的長度之比為2∶2解析:設AB=a,BC=b,以A為坐標原點,AF,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則F(b,0,0),M0,a2,0,B(0,a,0),所以FM=-b,a2,0,BD所以|FM|=b2+a24,FM·BD=-a2因為|cos<FM,BD>|=-a22整理,得4b4a4+5b2解得b2a2=2或b2a2=-134(舍去),11.如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,點M,N分別是CC1,BC的中點,點P在A1B1上,且滿足A1P=λA1B1(1)證明:PN⊥AM;(2)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該最大角的正切值;(3)若平面PMN與平面ABC的夾角為45°,試確定點P的位置.(1)證明:如圖,以AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系Axyz.則點P(λ,0,1),N(12,12,0),M(0,1,12),從而PN=(12-λ,12,-1),AM=(0,1,12).因為PN·AM=(12-λ)×0+12×1-1(2)解:由題意可知平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1),則sinθ=|sin(π2-<PN,n>)|=|cos<PN,n>|=|PN·n||PN||n|=1(λ-12)

2+54(*).因為θ∈[0,π2],所以當θ最大時,sinθ最大,tanθ最大（(tanθ)max=2.(3)解:由(2)可知平面ABC的一個法向量為n=(0,0,1).設平面PMN的一個法向量為m=(x,y,z),由(1)得MP=（λ,-1,12）,NP=（λ-12,-12,1）.(λ-12)x-12y+z=0,λx-y+12z=0.解得y=2λ+13x,z=2(1-λ)3x.令x=3,得y=2λ+1,z=2(1-λ).故m=(3,2λ+1,2(1-λC級挑戰創新12.多空題如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.異面直線AB與A1C所成角的大小為π2;若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,則直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為10解析:如圖,取AB中點O,連接CO,A1B,A1O.因為AB=AA1,∠BAA1=60°,所以△BAA1是正三角形,所以A1O⊥AB.因為CA=CB,所以CO⊥AB.因為CO∩A1O=O,所以AB⊥平面COA1,所以AB⊥A1C.所以異面直線AB與A1C所成角的度數為π2由上可知,OC⊥AB,OA1⊥AB,因為平面ABC⊥平面AA1B1B,平面ABC∩平面AA1B1B=AB,所以OC⊥平面AA1B1B,所以OC⊥OA1,所以OA,OC,OA1兩兩相互垂直.如圖,以O為坐標原點,OA,OA1,OC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系.由題設知A(1,0,0),A1(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),則BC=(1,0,3),BB1=AA1=(-1,3,0),A1C=(0,設n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,則n·BC=0,n·BB1=0,即所以平面BB1C1C的一個法向量是n=(3,1,-1),所以cos<n,A1C>=n·所以直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為10513.開放性問題如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E為PB的中點,.試證明四邊形ABCD是直角梯形,并求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.從下列兩個條件中選一個,補充在上面問題中,并完成解答.

①CD⊥BC;②BC∥平面PAD.解:選擇條件①.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.因為PA=AD=CD=2,所以PD=22.又因為PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.因為PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,則CD⊥AD.又因為CD⊥BC,所以AD∥BC.所以四邊形ABCD是直角梯形.如圖,過點A作AD的垂線,交BC于點M.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖,建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).所以PC=(2,2,-2),PD=(0,2,-2).因為E為PB的中點,所以E1,-所以AE=1,-設平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n·PC=2x+2y-2設直線AE與平面PCD所成的