2022-2023學(xué)年黑龍江省虎林市高級(jí)中學(xué)5月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

3

1.在等差數(shù)列｛4｝中，％=-5,4+%+%=9,若仇=一（〃eN*），則數(shù)列也｝的最大值是（）

A.一3B.--

3

C.1D.3

2.設(shè)直線/的方程為x-2y+m=0（〃?eR）,圓的方程為（x-l>+（y-l>=25,若直線/被圓所截得的弦長(zhǎng)為26，則

實(shí)數(shù)用的取值為

A.一9或11B.-7或11C.-7D.-9

3.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足2s“=2向+4,則尤的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

4.定義在R上的奇函數(shù)“X）滿足〃-3-x）+/（x-3）=0,若/⑴=1,/（2）=-2,則

〃1）+〃2）+〃3）++/（2020）=（）

A.-1B.0C.1D.2

5.雙曲線...的離心率為.：，則其漸近線方程為

/一占=」（二>0"二〉0）

一=±y］二B.n=會(huì)元C.D，-

□=±TC口=土丁口

x+y>-l

6?若實(shí)數(shù)乂丁滿足不等式組卜—2y4—1，則2x—3y+4的最大值為（）

2x-y-l<0

A.-1B.-2C.3D.2

7.過拋物線y2=2〃x（p>0）的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A8兩點(diǎn)，若線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且恒可=8,則

拋物線的方程是（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=8xD.y2=10%

x-y+320

8.已知實(shí)數(shù)x，N滿足約束條件,x+2yN0，則z=3x+)，的最小值為()

x<2

B.2C.7D.11

9.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且AB//C。，若正方體的六個(gè)面所在的平面與直線

CE,EE相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為相，〃，則下列結(jié)論正確的是（）

D.m+n<S

x+2y-5<0

2x+y-4<0

10.若實(shí)數(shù)x，y滿足條件目標(biāo)函數(shù)z=2x-y,則z的最大值為（）

x>0

5

C.2D.0

2

，則sin|c+?)=

11.在AABC中，。，匕，c分別為角A，B,C的對(duì)邊，若AABC的面為S,且46s=（。+人）2一

()

B.互c底一血DV6+\/2

A.1-4

24

12.已知函數(shù)/（x）=3x+2cosx,若。=/（3也），）=/⑵，c=/（log27）,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知產(chǎn)是拋物線C:>2=2x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交》軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn),則

|FN|=.

22

rv

14.已知橢圓C：0+方=1（。>匕>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，過耳的直線交橢圓C于兩點(diǎn),若

F2,A,B

ZABF2=90°,且ABF?的三邊長(zhǎng)忸周，|A￡|成等差數(shù)列，則C的離心率為.

15.函數(shù)/。)=^一*、一。3-1|在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)匕的取值范圍是.

16.驗(yàn)證碼就是將一串隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)字或符號(hào)，生成一幅圖片，圖片里加上一些干擾象素(防止OCR),由用戶肉眼識(shí)

別其中的驗(yàn)證碼信息，輸入表單提交網(wǎng)站驗(yàn)證，驗(yàn)證成功后才能使用某項(xiàng)功能.很多網(wǎng)站利用驗(yàn)證碼技術(shù)來防止惡意登

錄，以提升網(wǎng)絡(luò)安全.在抗疫期間，某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗(yàn)證碼由0,1,2,…，9中的五個(gè)數(shù)字隨機(jī)組成.將

中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減的驗(yàn)證碼稱為“鐘型驗(yàn)證碼”(例如：如14532,12543),已知某人收到了一個(gè)“鐘

型驗(yàn)證碼”，則該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)-3ax+e,g(x)=l-Inx,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)用max｛九〃｝表示人〃中較大者，記函數(shù)力(x)=max"(x),g(x)｝,(x>0).若函數(shù)〃(x)在(0,+紇)上恰有2個(gè)

零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

17

18.(12分)已知等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，且4+/=3,a2a4=4.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若〃=w"(〃eN*),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S”.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=/e2*-ae'-2a2x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/(尤)20恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)在①6(/?cosC-a)=csinB；②2?+c=2匕cosC；(§)Z?sinA=\[3asin—這三個(gè)條件中任選一

個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答相應(yīng)的問題.

在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足,b=2區(qū)a+c=4,求AABC的面

積.

21.(12分)已知A(—2,0),8(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足直線Q4與直線R5的斜率之積為-：，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)若過點(diǎn)F(l,0)的直線/與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)尸且與直線/垂直的直線與x=4相交于點(diǎn)T,求向\T就F\

的最小值及此時(shí)直線/的方程.

「131「—23一

22.(10分)已知矩陣4=8=,,,且二階矩陣M滿足AM=B,求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)

2111

特征向量.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

333

在等差數(shù)列(??｝中，利用已知可求得通項(xiàng)公式為=2〃-9,進(jìn)而勿=7=不3，借助/(x)=或w函數(shù)的的單調(diào)性

可知，當(dāng)〃=5時(shí)，"取最大即可求得結(jié)果.

【詳解】

3

因?yàn)槭?4+%=9,所以34=9,即1=3,又名=-5,所以公差1=2,所以a“=2〃-9,即2=----,因

2〃一9

3

為函數(shù)=在x<4.5時(shí)，單調(diào)遞減，且/(x)<0；在x>4.5時(shí)，單調(diào)遞減，且/(力>0.所以數(shù)列也｝

Lx—9

3

的最大值是。5,且々='=3,所以數(shù)列也｝的最大值是3.

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,借助函數(shù)單調(diào)性研究數(shù)列最值問題，難度較易.

2、A

【解析】

圓(x-l>+(y-l)2=25的圓心坐標(biāo)為(1,1),該圓心到直線/的距離”=丹葭，結(jié)合弦長(zhǎng)公式得

2卜5-色肅2=26解得m=-9或機(jī)=11,故選A.

3、C

【解析】

利用s“先求出a?,然后計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】

4+A

根據(jù)題意，當(dāng)〃=1時(shí)，2Sl=2a｝=4+A,.-.al=-r，

故當(dāng)“N2時(shí)，a“=S“-S,i=2"T,

數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

則q=i,故士|4=i,

解得4=-2,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列前"項(xiàng)和S”的表達(dá)形式，只要求出數(shù)列中的項(xiàng)即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ).

4、C

【解析】

首先判斷出/(x)是周期為6的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.

【詳解】

由已知“X)為奇函數(shù)，得〃T)=—/(X),

W/(-3-x)+/(x-3)=0,

所以3)=/(x+3),

所以〃x)=〃x+6),即/(x)的周期為6.

由于/⑴=1，〃2)=-2,"0)=0,

所以/⑶=/(—3)=—/(3)="3)=0,

/(4)=/(-2)=-/(2)=2,

/(5)=/(-l)=-/(l)=-h

/(6)=/(O)=O.

所以,f(l)+/(2)+/(3)+〃4)+〃5)+/(6)=0,

又2020=6x336+4,

所以〃1)+/(2)+〃3)++/(2020)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.

5、A

【解析】

分析：根據(jù)離心率得a,c關(guān)系，進(jìn)而得a,b關(guān)系，再根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結(jié)果.

因?yàn)闈u近線方程為一一一，所以漸近線方程為二=±、：二，選A.

點(diǎn)睛：已知雙曲線方程.求漸近線方程：一：一；..

，="二，二>43一芻=。=二=士三二?

6、C

【解析】

作出可行域，直線目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線/,平移該直線可得最優(yōu)解.

【詳解】

作出可行域，如圖由射線A3,線段AC,射線8圍成的陰影部分（含邊界），作直線/：2x-3y+4=0,平移直線

I,當(dāng)/過點(diǎn)C（1,D時(shí)，z=2x—3y+4取得最大值1.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題關(guān)鍵是作出可行域，本題要注意可行域不是一個(gè)封閉圖形.

7、B

【解析】

利用拋物線的定義可得,IAB1=1A/q+1M=玉+5々5，把線段48中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,|AB|=8代入可得p值,

然后可得出拋物線的方程.

【詳解】

設(shè)拋物線V=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為居設(shè)點(diǎn)),6(%,%)，

由拋物線的定義可知|A8|=|AF|+|8/q=N+^+X2+^=(N+X2)+P，

線段A3中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又|AB|=8,.?.8=6+〃，可得〃=2,

所以拋物線方程為V=4x.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.

8、A

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.

【詳解】

無一y+3?0

由約束條件，x+2y>0,畫出可行域A8C如圖

[x<2

z=3x+y變?yōu)閥=-3x+z為斜率為-3的一簇平行線，z為在》軸的截距，

二z最小的時(shí)候?yàn)檫^C點(diǎn)的時(shí)候,

x-y+3=0

解所以C(—2,l),

x+2y=Q

此時(shí)z=3x+y=3x(-2)+1=-5

故選A項(xiàng)

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡(jiǎn)單題.

9、A

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何位置圖形，由圖形的位置關(guān)系分別求得〃〃的值，即可比較各選項(xiàng).

【詳解】

如下圖所示，C￡u平面ABPQ,從而CE//平面

易知CE與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,

m-4,

；EF//平面BPRB-所//平面AQQ|A，且Eb與正方體的其余四個(gè)面所在平面均相交,

??”=4,

二結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可知，只有機(jī)=〃正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關(guān)系的判斷與綜合應(yīng)用，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于中檔題.

10、C

【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最大值.

【詳解】

x+2y-5<0

2x+j-4<0

若實(shí)數(shù)x,y滿足條件c,目標(biāo)函數(shù)z=2x—y

x>0

.”1

如圖:

故答案選c

【點(diǎn)睛】

求線性目標(biāo)函數(shù)z=5+力（出?00）的最值：

當(dāng)b>o時(shí)，直線過可行域且在>軸上截距最大時(shí)，z值最大，在）’軸截距最小時(shí)，z值最小;

當(dāng)〃<0時(shí)，直線過可行域且在）'軸上截距最大時(shí)，二值最小,在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.

11、D

【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)求出C的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：由46s=（。+8）2-。2,

得4>/§x'aZ?sinC=42+b2-c1+lab,

2

*?*a2-vb1-c2=2t/Z?cosC,

2\/3tz&sinC=2abeosC+lab，

即GsinC-cosC=l

即2sin（c_j=l,

則"H，

,:OvCv萬，

7171571

：.——<c——<—,

666

、「兀兀日n「式

663

r.1..（717t\.71717C.7173-垃1V2"+0

貝”smC+—=sin—H——=sin—cos—+cos—sin—=--x-+X—，

l4JU4j343422224

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出C的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)

算是解決本題的關(guān)鍵.

12、D

【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得Ax)在R上為增函數(shù)，又由

2=log24<log27<3<3^,分析可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(x)=3x+2cosx,其導(dǎo)數(shù)函數(shù)意(x)=3-2sinx,

貝I有(x)=3-2$出》>0在尺上恒成立，

則f(x)在R上為增函數(shù)；

又由2=log24<log,7<3<3、"，

則。<c<a；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、上

2

【解析】

由題意可得尸己,0),又由于M為FW的中點(diǎn)，且點(diǎn)N在)'軸上，所以可得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程中可求

2

點(diǎn)"的縱坐標(biāo)，從而可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】

解：因?yàn)槭菕佄锞€C：V=2x的焦點(diǎn)，所以尸(g,0),

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(%，為)，

因?yàn)椤盀镕N的中點(diǎn)，而點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為0,

所以與=；，所以％2=2x；=g,解得％=±乎，

所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為（O,±JI）

3

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

此題考查拋物線的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

近

14、4---

2

【解析】

設(shè)忸￡|=x,|AB|=x+d,|A用=x+2d,根據(jù)勾股定理得出x=3d,而由橢圓的定義得出乂8工的周長(zhǎng)為4a,

有a=3d,便可求出。和c的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率.

【詳解】

解：由己知，.K8名的三邊長(zhǎng)忸勾，|A8|,|A閭成等差數(shù)列，

設(shè)忸月|=龍，|AB|=x+d,|A月|=x+2d,

而乙鉆乙=90。，根據(jù)勾股定理有：d+（x+d）2=（x+2d）2,

解得：x=3d,

由橢圓定義知：AB"的周長(zhǎng)為4。，有a=3d,|叫|="=忸4|,

21

在直角8凡與中，由勾股定理，2a2=4c?,BP：=c=七,

JG

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.

【解析】

翼，設(shè)g（r）=e；

函數(shù)為奇函數(shù)，g（）=e5"+e丁>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

g'（0）=2&<2（e—l）,畫出簡(jiǎn)圖，如圖所示，根據(jù)2&<&<2（e-1）,解得答案.

【詳解】

/(x)="—e一_42十一1|二屋一e--2bx——9設(shè)，=X---,tG

22

+ff

原函數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=e2_e2-_2b\t[即2b\t\有兩個(gè)解.

設(shè)g⑺=則g（T）=e?—e*=—g（r），函數(shù)為奇函數(shù).

g3=±'+e?>0,函數(shù)單調(diào)遞增,g（0）=。，g]>”1,g，；卜

當(dāng)匕=0時(shí)，易知不成立；

當(dāng)人>0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性，考慮xNO時(shí)的情況，g'（O）=2&<2（e-1）,

畫出簡(jiǎn)圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故2&<2b<2（e-l）,即五<b<e-1,

根據(jù)對(duì)稱性知：Z?e（l-e,-Ve）—

故答案為：（l-e,-Ve）

本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.

16、—

36

【解析】

首先判斷出中間號(hào)碼的所有可能取值，由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是7的事件數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算

公式計(jì)算出所求概率.

【詳解】

根據(jù)“鐘型驗(yàn)證碼”中間數(shù)字最大，然后向兩邊對(duì)稱遞減，所以中間的數(shù)字可能是4,5,6,7,8,9.

當(dāng)中間是4時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0』,2,3,選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），所

以方法數(shù)有C；xC；=6種.

當(dāng)中間是5時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是Q1,2,3,4,選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一），

所以方法數(shù)有《*。；=10、3=30種.

當(dāng)中間是6時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5,選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯一）,

所以方法數(shù)有低xC：=15x6=90種.

當(dāng)中間是7時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0』,2,3,4,5,6,選其中兩個(gè)排在左邊（排法唯一），另外兩個(gè)排在右邊（排法唯

一)，所以方法數(shù)有C；xC；=21x10=21()種.

當(dāng)中間是8時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0」,2,3,4,5,6,7,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一)，另外兩個(gè)排在右邊(排法

唯一)，所以方法數(shù)有C；xC；=28x15=42()種.

當(dāng)中間是9時(shí)，其它4個(gè)數(shù)字可以是0」,2,3,4,5,6,7,8,選其中兩個(gè)排在左邊(排法唯一)，另外兩個(gè)排在右邊(排

法唯一)，所以方法數(shù)有C；xC；=36x21=756種.

___________210__________2105

所以該驗(yàn)證碼的中間數(shù)字是7的概率為

6+30+90+210+420+756TT1236

故答案為：三

36

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中

檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)函數(shù).f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-右)和(布,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間為(-五,、萬)；(2)《士!?

3

【解析】

(1)由題可得/'(x)=3/一3a，結(jié)合。的范圍判斷尸(x)的正負(fù)，即可求解；

(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理，分類討論進(jìn)行求解

【詳解】

(1)/'(X)=3f-3a,

①當(dāng)a40時(shí),/(x)20,

二函數(shù)/(x)在(一8,+8)內(nèi)單調(diào)遞增；

②當(dāng)a>()時(shí)，令f(x)=3(x+4a)(x-4a)-0，解得x=-4a或x=G,

當(dāng)x<-4■或x>&時(shí),/'(x)>0,則fW單調(diào)遞增，

當(dāng)-&<x<G時(shí),f\x)<0,則/(x)單調(diào)遞減，

二函數(shù)fM的單調(diào)遞增區(qū)間為(―8,-G)和(&,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(一G,

(2)(I)當(dāng)xe(0,e)時(shí),g(x)>0,/?(x)..g(x)>0,所以/z(x)在(0,e)上無零點(diǎn);

(H)當(dāng)x=e時(shí),g(e)=0,/(e)=e3—3ae+e,

①若f(e)=e3-3ae+e?0,即。…與■，則e是〃(％)的一個(gè)零點(diǎn)；

p2.1

②若f(e)=/-+e>0,即。<之二，則e不是h(x)的零點(diǎn)

3

(HD當(dāng)x￡3+。。)時(shí),g(x)<0,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)/(%)在(e,+8)上零點(diǎn)的情況，因?yàn)?/p>

f(x)=3x2-3a>3e?-3Q,所以

①當(dāng)％/時(shí)j(x)>o"⑴在?”)上單調(diào)遞增。又/?(eXi-3〃e+e,所以

(i)當(dāng)二時(shí)J(e)..0"(x)在3”)上無零點(diǎn)；

3

e21

(ii)當(dāng)土產(chǎn)<a4e?時(shí),/(e)<0,又f(2e)=Se3-6ae+e..8e，-6e?+e>0。，所以此時(shí).f。)在(e,+oo)上恰有一

個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)?>e2時(shí)，令/'(X)=0,得尤=±JZ,由f'M<0,得e<x<&;由/'(X)>0,得x>&,所以fM在(e,G)上單

調(diào)遞減，在+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?⑻=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0,/(2a)=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此時(shí)fM在

(e,+oo)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，

綜-上,a>---+-1

3

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想

18、⑴&=2"-2⑵s,,=g+(〃-l)2"T

【解析】

(D先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出4，%的值，從而可求出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；(2)利用錯(cuò)位相減求和法可

求出數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和s〃.

【詳解】

17

解：(1)由｛a“｝是遞增等比數(shù)列，ax+a5=—,a2a4=a｝a5=4,

171q=8

4+%=耳，解得.a=-

聯(lián)立《2或＜1，

a}a5=4q=8

因?yàn)閿?shù)列｛。,｝是遞增數(shù)列，所以只有符合題意,

4=8

則/=&=16,結(jié)合4>0可得4=2,

二數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：%=2"一2；

(2)由2=w”(〃eN*),

,1

...2=小2"-2；.?.A=］；

那么S“=lx2T+2x2°+3x21++n-2"-2,①

貝!12s“=1x2°+2x21+3x2?++(?-1)2"-2+n-2n-,,②

將②-①得：

S,,=—p+2。+2+2?+2曰)+〃.2"T=g-2"-'+n'2""=g+(〃—l)2，i.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

19、(1)當(dāng)a=0時(shí)，/(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-8,ln(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),+8)上

「-11

單調(diào)遞增；當(dāng)。<0時(shí)，/3)在(-8,In(-a))上單調(diào)遞減，在(In(-a),+oo)上單調(diào)遞增；(2)ae-e4,-.

2

【解析】

(1)對(duì)a分三種情況。=0,。0,。)0討論求出函數(shù)/(幻的單調(diào)性；⑵對(duì)a分三種情況。=0,。(0,力0,先求出每

一種情況下函數(shù)f(x)的最小值，再解不等式得解.

【詳解】

(1)f\x)=e2x-aex-2a2=(e'+a)(e*-2a),

當(dāng)。=0時(shí)，f'(x)^e2x>0,f(x)在(一8,內(nèi))上單調(diào)遞增；

當(dāng)。>0時(shí)，f<0,x<\n(2a),f\x)>0,x>ln(2tz),

???/(%)在(-oo』n(2〃))上單調(diào)遞減，在(ln(2〃),+oo)上單調(diào)遞增;

21

LU

當(dāng)〃v()時(shí)，/(尤)<0,fcV2f\x)>0,x>ln(-a),

{-=—

a2

Q-=b~+c~

/(x)在(-8,In(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),k)上單調(diào)遞增.

綜上：當(dāng)a=0時(shí)，/(x)在(f,田)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，”幻在(-8/n(2a))上單調(diào)遞減，在(ln(2a),+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)。<0時(shí)，f(x)在(Yo/n(-a))上單調(diào)遞減，在(ln(-a),+oo)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)可知:

當(dāng)〃=0時(shí)，/(%)=e2x>0,???a=0成立.

1

當(dāng)。>0時(shí)，/(x)min=/(ln(2a))=|/*)_力吟)_2al也(2々)=-2aln(2a)>0,

ln(2a)<0,0<iz<-.

2

2,n(a}

當(dāng)。<0時(shí)，/(x)min=/(ln(-^))=1e-^-a^--2crIn(-tz)

=~~——2/In(-tz)>0,

333

ln(-a)<^-,-a>-e^即_)?”0,

r

綜上ae—e4,—.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推

理能力.

20、橫線處任填一個(gè)都可以，面積為

【解析】

無論選哪一個(gè)，都先由正弦定理化邊為角后，由誘導(dǎo)公式sinA=sin(B+C),展開后，可求得3角，再由余弦定理

b2=。2+。2-2奴9053求得對(duì)，從而易求得三角形面積.

【詳解】

在橫線上填寫“百gcosC-a)=csin3”.

解：由正弦定理，得百(sinBcosC-sinA)=sinCsinB.

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

得一6cosfisinC=sinCsinB.

由OvC<zr,得sinCHO.

所以一6cos5=sin3.

又cosBwO(若COS5=0,貝！lsin3=0,sir?3+COS25=0這與sin23+cos?5=1矛盾),

所以tanB——\/3?

又。<B<兀，得8=葛.

由余弦定理及〃=26，

得(2>/3)2=a2+c2-2accos—,

3

即12=(a+c)2—ac.將Q+C=4代入，解得ac=4.

所以S^ABC=]‘inB=gx4x=^3?

在橫線上填寫“2a+c=2Z?cosC

解：由2a+c=2Z?cos。及正弦定理，得

2sinA++sinC=2sin8cosC?

又sinA=sin(B+C)=sin3cosC+cosBsinC,

所以有2cosBsinC4-sinC=0.

因?yàn)椤！?0,%)，所以sinCwO.

從而有cos8=-工.又8￡(0,7)，

2

所以3

3

由余弦定理及b=2G，

得(26)2=a2+c2-2accos,

即12=(a+c)2-,將o+c=4代入，

解得ac=4.

所以SABC=gacsinB=gx4x—=6.

lA+C

在橫線上填寫“OsinA=6asinC"

2

解：由正弦定理，#sinBsinA-y/3sinAsin—.

2

由0cA＜乃，得sinAw。，

所以sin8=Jacos'

2

由二倍角公式，得2sin'cosg=Gcos'.

222

由0＜式＜7,得cos二"工。，所以sin0=

22222

,B兀?2萬

所以一=一,即8=—.

233

由余弦定理及＞

得(273)2=?2+c2-2accos.

即12=(a+c)2-ac.將a+c=4代入，

解得ac=4.

所以,S'AABC=/acsinB=-^-x4x=＞]3-

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積公式，考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式等，正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換，求三角形面積

時(shí)，

①若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入

公式求面積；

②若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇

面積公式是解題的關(guān)鍵.

V-2v2\TF\

21、(1)二+匕=1(》聲±2)(2)號(hào)的最小值為1,此時(shí)直線/：x=l

43、'\MN\

【解析】

(1)用直接法求軌跡方程，即設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x,y),把已知用坐標(biāo)表示并整理即得.注意取值范圍；

(2)設(shè)/：x=my+l,將其與曲線C的方程聯(lián)立，消元并整理得(31+4)產(chǎn)+6沖—9=0,

設(shè)N（%2，＞2），則可得X+%，，乂必，由|MN|=Jl+＞-必|求出|w|,

ITPI______

將直線口方程y=-〃?（x-l）與x=4聯(lián)立，得了（4,一3〃?），求得，耳，計(jì)算京茄，設(shè)/=府11?顯然d1，構(gòu)

造/（'）=蹤^=；（夕+；｝'?1），由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得其最小值，同時(shí)可得直線/的方程.

【詳解】

3yy3

（1）設(shè)P（x,y）,貝必處山也:一%，即三而?力=一^

r2v2

整理得二+二=l（xw±2）

43

⑵設(shè)/：x=my+\,將其