向量空間fn的群

1wa與ba將ax.b表示為fn個圓的非齊次線性方程組，其輸出組為齊次線性方程組ax.0，其中。A=(a11a12?a1na21a22?a2nam1am2?amn)?X=(x1x2?xn)?b=(b1b2?bm).導出組AX=0的解(列)向量全體為集合WA,則WA是列向量空間Fn的n-r(A)維子空間,但AX=b的解列向量的全體(如果AX=b有解的話)卻不是Fn的子空間.作為Fn的一個子集,它與Fn,WA的關系是什么?下面我們將向量空間Fn看作一個群,討論一下WA看看有什么發現.2變式亞聯法定理1數域F上的n維向量空間Fn對于向量的加法運算作成一個交換群.證首先,Fn作為一個向量空間非空,并且對于向量的加法這種代數運算封閉,滿足結合律,而且零向量就是Fn的單位元.Fn中的任一向量α的負向量-α就是α的逆元,所以Fn對于向量的加法運算來說作成一個群.又因為向量的加法運算滿足交換律,所以Fn是一個交換群.定理2齊次線性方程組AX=0的解空間WA是Fn的一個不變子群.證對于任意的兩個n維向量X1,X2∈WA,有AX1=0,AX2=0,則A(X1-X2)=AX1-AX2=0,即X1-X2∈WA.從而WA是Fn的一個子群.而Fn是一個交換群,所以WA是Fn的一個不變子群.3線性方程組的ax=b的解集由于數域F上n元非齊次線性方程組AX=b(當b≠0時)的導出組AX=0的解空間WA是Fn的一個不變子群,所以可以定義WA的一個陪集為X0+WA={X0+X|X∈WA},其中X0∈Fn,那么以WA的所有陪集作為元素的集合構成了Fn的一個商群Fn/WA,WA的兩個陪集X1+WA與X2+WA相等的充要條件是X1-X2∈WA.定理3如果域F上一個有解的n元線性方程組AX=b的一個解為X0,則AX=b的解集一定是齊次線性方程組AX=0的解集WA的陪集X0+WA.反之,WA的任意一個陪集X0+WA一定是某個n元線性方程組AX=b(其中b=AX0)的解集.特別地,b=0當且僅當WA的陪集X0+WA=WA.證先證明定理的前半部分.如果X1是AX=b的任意一個解,則A(X1-X0)=AX1-AX0=b-b=0,即X1-X0∈WA.由陪集X0+WA的定義可知X1∈X0+WA,從而說明AX=b的解集是陪集X0+WA的子集.反之,對于陪集X0+WA中的任意向量X1,有X1-X0∈WA,則AX1-AX0=A(X1-X0),即AX1=AX0=b,說明X1也是線性方程組AX=b的解,即陪集X0+WA是AX=b的解集的子集.總之,AX=b的解集即為陪集X0+WA.由以上證明過程可以看出,定理的后半部分也成立.特別地,當b=0時,可取X0=0,由陪集的定義知0+WA=WA,即當且僅當b=0時,X0+WA=WA.事實上,定理3說明了n元線性方程組AX=b的解集與AX=0的解集WA的陪集根本上就是同一個集合,只不過是看問題的角度不同,而陪集是群Fn的一個分類.那么,從向量空間的角度看,以A為系數矩陣的所有有解的線性方程組AX=b的解集就是Fn的一個分類,齊次線性方程組AX=0的解集WA是Fn的一個類,非齊次線性方程組AX=b(當b≠0時)的解集盡管不是Fn的一個子空間,但卻也是Fn的一個類.對于線性方程組的解集又是陪集的這一性質,我們可以引入以下定義:定義1n元線性方程組AX=b的解集稱為它的解陪集,記作X0+WA={X0+X|X∈WA},其中X0是AX=b的某個解,WA是AX=0的解集.特別地,齊次線性方程組AX=0的解陪集就是WA,商群Fn/WA的元素就是所有有解的線性方程組AX=b的解陪集.4特定系數矩陣的解析法A=(a11a12?a1na21a22?a2nam1am2?amn)?X=(x1x2?xn)?bi=(0?1?0)第i個分量,bi為F上第i個分量為1且其余分量都等于0的m維向量.引理1數域F上n元非齊次線性方程組AX=bi有解的充要條件是,系數矩陣A的第i個行向量不能由A的其余的行向量線性表出.證因為AX=bi有解的充要條件是r(A)=r([Ab]),而將增廣矩陣[Ab]利用初等行變換為階梯形矩陣時,當且僅當A的第i個行向量不能化為零向量,才能保證r(A)=r([Ab])成立,即必須A的第i個行向量不能由A的其余行向量線性表出.引理2如果r(A)=m,則數域F上任意的n元線性方程組AX=b,其中b=(k1,k2,…,km)T的解陪集可表示為(k1X1+k2X2+…+kmXm)+WA,其中Xi是非齊次線性方程組AX=bi的一個特解(i=1,2,…,m).證因為r(A)=m,AX=bi的系數矩陣A的行向量線性無關,由引理1,AX=bi(i=1,2,…,m)都有解,設AX=bi某個特解為Xi,由b=k1b1+k2b2+…+kmbm=k1(AX1)+k2(AX2)+…+km(AXm)=A(k1X1+k2X2+…+kmXm)知向量k1X1+k2X2+…+kmXm是AX=b的一個解,從而AX=b的解陪集為(k1X1+k2X2+…+kmXm)+WA.定理4如果數域F上n元線性方程組AX=b有解,且r(A)=r,則一定存在r個向量X1,X2,…,Xr∈Fn,且存在一組數k1,k2,…,kr∈F,使得AX=b的解陪集為(k1X1+k2X2+…+krXr)+WA.證因為r(A)=r([Ab])=r,所以一定有[Ab]初等行變換→(Bd00),其中r(B)=r[Bd]=r,且B為r×n矩陣,d為r維列向量.設d=(k1k2?kr)?di=(0?1?0)第i個分量,di為第i個分量為1且其余分量為0的r維列向量(i=1,2,…,r).那么由引理2知,n元線性方程組BX=d的解陪集為(k1X1+k2X2+…+krXr)+WB,其中Xi為BX=di的某個特解,而AX=b與BX=d的解陪集相同且WA=WB,從而AX=b的解陪集為(k1X1+k2X2+…+krXr)+WA.如果我們進一步研究定理4中的向量組X1,X2,…,Xr可以知道Xi?WB=WA(i=1,2,…,r),而且線性無關.因為如果存在一組數l1,l2,…,lr∈F,使得l1X1+l2X2+…+lrXr=0,則B(l1X1+l2X2+?+lrXr)=l1(BX1)+l2(BX2)+?+lr(BXr)=l1d1+l2d2+?+lrdr=(l1l2?lr)=B(0)=0.所以l1=l2=…=lr=0,即由n元線性方程組BX=di(i=1,2…,r)的特解構成的向量組X1,X2,…,Xr線性無關.推論1定理4中的向量組X1,X2,…,Xr線性無關.5商空間fn/wa的維數由一般商群的代數運算的定義可規定商群Fn/WA中的元素即解陪集的加法運算:(X1+WA)+(X2+WA)=(X1+X2)+WA.另外,不難證明可以如下規定解陪集的數乘運算:對任意k∈F,有k(X0+WA)=kX0+WA,則易證商群Fn/WA對于加法和數乘運算作為一個數域F上的線性空間.特別地,Fn/WA中的零向量就WA,從而我們可以稱商群Fn/WA為商空間.定義2商群Fn/WA對于如上規定的解陪集的加法以及數與解陪集的乘法所作成的線性空間稱為Fn的商空間.那么商空間Fn/WA的基向量是什么?維數又等于多少?為此,我們進一步討論由定理4中的向量組X1,X2,…,Xr所引出的商空間Fn/WA中的一組向量X1+WA,X2+WA,…,Xr+WA(Xi?WA,i=1,2,…,r),它們一定線性無關.因為如果存在一組數l1,l2,…,lr∈F,使得l1(X1+WA)+l2(X2+WA)+…+lr(Xr+WA)=WA(注意商空間Fn/WA的零向量是WA),則有(l1X1+l2X2+…+lrXr)+WA=WA,從而l1X1+l2X2+…+lrXr∈WA=WB,B(l1X1+l2X2+?+lrXr)=l1d1+l2d2+?+lrdr=(l1l2?lr)=0.所以l1=l2=…=lr=0,即向量組X1+WA,X2+WA,…,Xr+WA線性無關.推論2由定理4引出的商空間Fn/WA中的一組向量X1+WA,X2+WA,…,Xr+WA線性無關,其中r=r(A).至此,我們由商空間Fn/WA中解陪集的代數運算的定義.根據定理4及推論2,不難發現向量組X1+WA,X2+WA,…,Xr+WA就是商空間Fn/WA的基向量,從而可知Fn/WA的維數為r.定理5商空間Fn/WA的維數是r(A).總之,我們已經知道,盡管數域F上n元非齊次