1．(2021·寧夏中考)如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，以CD為直徑的半圓O經過點A，點M是弦AC上一點，過點M作ME⊥BC，垂足為E，交BA的延長線于點F，且FA＝FM.(1)求證：直線BF與半圓O相切；(2)若AB＝3，求BD·BC的值．【解析】(1)如圖，連接AO.∵FE⊥BC，∴∠CEM＝90°，∴∠C＋∠CME＝90°，∵FA＝FM，∴∠FAM＝∠FMA＝∠CME，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC，∴∠FAM＋∠OAC＝90°，∴∠OAF＝90°，∴OA⊥AB，∵OA是半徑，∴BF是⊙O的切線．(2)連接AD.∵CD是直徑，∴∠DAC＝90°，∴∠C＋∠ADC＝90°，∵∠BAO＝90°，∴∠BAD＋∠OAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BAD＋∠ADC＝90°，∴∠BAD＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BAD∽△BCA，∴eq\f(BA,BC)＝eq\f(BD,BA)，∴BD·BC＝BA2＝9.2.(2020·寧夏中考)如圖，在△ABC中，∠B＝90°，點D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O交AB于點E，連接CE，且CE平分∠ACB.(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)連接DE，若∠A＝30°，求eq\f(BE,DE).【解析】(1)連接OE，如圖1所示．∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE為⊙O的半徑，∴AE是⊙O的切線．(2)連接DE，如圖2所示：∵CD是⊙O的直徑，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴eq\f(BE,DE)＝eq\f(CE,CD)，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴eq\f(CE,CD)＝cos∠DCE＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(BE,DE)＝eq\f(\r(3),2).3．(2019·寧夏中考)如圖在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑作⊙O交AC于點D，連接OD.(1)求證：OD∥BC；(2)過點D作⊙O的切線，交BC于點E，若∠A＝30°，求eq\f(CD,BE)的值．【解析】(1)∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO，∴∠C＝∠ADO，∴OD∥BC.(2)如圖，連接BD，∵∠A＝30°，∠A＝∠C，∴∠C＝30°，∵DE為⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵OD∥BC，∴DE⊥BC，∴∠BED＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠BDA＝90°，∠CBD＝60°，∴eq\f(BD,CD)＝tan∠C＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴BD＝eq\f(\r(3),3)CD，∴eq\f(BE,BD)＝cos∠CBD＝cos60°＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(3),6)CD，∴eq\f(CD,BE)＝2eq\r(3).4．(2018·寧夏中考)已知：AB為⊙O的直徑，延長AB到點P，過點P作圓O的切線，切點為C，連接AC，且AC＝CP.(1)求∠P的度數．(2)若點D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，連接CD交AB于點E，且DE·DC＝20，求⊙O的面積．(π取3.14)【解析】(1)連接OC.∵PC為⊙O的切線，∴∠OCP＝90°，即∠2＋∠P＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠1，∵AC＝CP，∴∠P＝∠CAO，又∵∠2是△AOC的一個外角，∴∠2＝2∠CAO＝2∠P，∴2∠P＋∠P＝90°，∴∠P＝30°.(2)連接AD.∵D為eq\o(AB,\s\up8(︵))的中點，∴∠ACD＝∠DAE，∴△ACD∽△EAD，∴eq\f(DC,AD)＝eq\f(AD,DE)，即AD2＝DC·DE，∵DC·DE＝20，∴AD＝2eq\r(5)，∵AD＝BD，∴AD＝BD＝2eq\r(5)，∵AB是⊙O的直徑，∴△ADB為等腰直角三角形，∴AB＝2eq\r(10)，∴OA＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(10)，∴S⊙O＝π·OA2＝10π＝31.4.5．(2017·寧夏中考)將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB(其中∠ABD＝90°，∠D＝60°，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°)如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經過點C，且與AD相交于點E，分別連接EB，EC.(1)求證：EC平分∠AEB.(2)求eq\f(S△ACE,S△BEC)的值．【解析】(1)∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∴∠AEC＝∠BEC，∴EC平分∠AEB.(2)如圖所示，作CM⊥AE，CN⊥BE，垂足分別為點M，點N，∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，即EB⊥AD；在Rt△ADB中，∠ABD＝90°，∠D＝60°，∴∠DAB＝30°，在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠DAB＝30°，∴tan∠DAB＝tan30°＝eq\f(EB,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∵EC平分∠AEB，又∵CM⊥EA，CN⊥EB，∴CM＝CN，∴eq\f(S△ACE,S△BEC)＝eq\f(\f(1,2)AE·MC,\f(1,2)BE·CN)＝eq\f(AE,BE)＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).6．(2016·寧夏中考)已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC于D，BC于E，連接ED.若ED＝EC.(1)求證：AB＝AC.(2)若AB＝4，BC＝2eq\r(3)，求CD的長．【解析】(1)∵ED＝EC，∴∠C＝∠EDC.又∵∠B＋∠ADE＝180°，∠EDC＋∠ADE＝180°，∴∠B＝∠EDC＝∠C，∴AB＝AC.(2)連接AE.∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°，∴CE＝eq\f(1,2)BC＝eq\r(3