專題01.雙中點（線段）模型與雙角平分線（角）模型線段與角度是初中幾何的入門知識，雖然難度不高，但重要性是不言而喻的。這類模型通常由問題出發，先由線段（角度）和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點模型和雙角平分線模型，可以寫出的線段（角度）和差種類較多，這就增加了思考的難度。模型1.

線段的雙中點模型圖1圖21）雙中點模型（兩線段無公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.2）雙中點模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點共線，D、E分別為AB、BC中點，結論：.例1．（2023·廣東七年級期中）如圖，是的中點，是的中點，若，，則下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D，線段，長度為2的線段在線段上運動，分別取線段、的中點、，則．例3．（2022秋·湖北咸寧·七年級統考期末）如圖，點是的中點，點是的中點，現給出下列等式：①，②，③，④．其中正確的等式序號是．例4．（2022秋·江蘇淮安·七年級統考期末）線段，是的中點，是的中點，是的中點，是的中點，依此類推……，線段的長為．例5．（2022秋·山東青島·七年級校考期末）直線l上有三點A、B、C，其中，，M、N分別是、的中點則的長是．例6．（2023·河南周口·七年級統考期末）如圖，點C在線段上，點M是的中點，點N是的中點．(1)若，求的長；(2)若，，求的長；(3)若，求的長．例7．（2022秋·廣東廣州·七年級統考期末）如圖，點在線段上，，，點、分別是、的中點．(1)求線段的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．例8．（2022春·湖南株洲·七年級統考期末）材料閱讀：當點在線段上，且時，我們稱為點在線段上的點值，記作．如點是的中點時，則，記作；反過來，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點、分別從點和點同時出發，相向而行，運動速度均為，當點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為，請用含有的式子表示和，并判斷它們的數量關系．拓展運用：(3)已知線段，點、分別從點和點同時出發，相向而行，若點、的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點、同時停止運動，設運動時間為．則當為何值時，等式成立．例9．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點．（1）求線段MN的長度．（2）根據第（1）題的計算過程和結果，設AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動點P、Q分別從A、B同時出發，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當一個點到達終點，另一個點也隨之停止運動．設點P的運動時間為t（s）．當C、P、Q三點中，有一點恰好是以另外兩點為端點的線段的中點時，直接寫出時間t．模型2.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結論：.例1．（2022秋·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，是內部的一條射線，、分別是、的角平分線．若，，則的度數為（）A． B． C． D．例2．（2023秋·福建福州·七年級統考期末）如圖，已知射線在內部，平分平分平分，以下四個結論：①；②；③；④．其中正確的結論有（填序號）．

例3．（2023·河南·七年級校聯考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數是．

例4．（2022秋·山西太原·七年級統考期末）圖，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的內部，OC在∠BOD的內部，OE是∠AOB的一條三等分線．請從A，B兩題中任選一題作答．A．當∠BOC＝30°時，∠EOD的度數為．B．當∠BOC＝α°時，∠EOD的度數為（用含α的代數式表示）．例5．（2023·江蘇無錫·七年級校考期末）解答題：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數；(2)若，是平面內兩個角，，，、分別平分、，求的度數．（用含、的代數式表示）例6．（2022秋·河南商丘·七年級統考期末）綜合與探究：如圖1，在的內部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數為__________．(2)如圖2，已知，過點O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數（）．例9．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數（用含的代數式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．課后專項訓練1．（2023秋·福建泉州·七年級統考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或2．（2023秋·海南·七年級統考期末）已知線段，點是直線上一點，，若是的中點，是的中點，則線段的長度是（

）A． B． C．或 D．或3．（2023秋·江西上饒·七年級統考期末）如圖，C、D是線段上兩點，M、N分別是線段的中點，下列結論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④4．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．5．（2023秋·廣西·七年級專題練習）如圖，在數軸上，O是原點，點A表示的數是4，線段（點B在點C的左側）在直線上運動，且．下列說法正確的是（）甲：當點B與點O重合時，；乙：當點C與點A重合時，若P是線段延長線上的點，則；丙：在線段運動過程中，若M，N為線段的中點，則線段的長度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙6．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（

）．

A． B． C． D．7．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在的內部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數為（）A． B． C．或 D．或8．（2023秋·廣西崇左·七年級統考期末）如圖，是內的一條射線，平分，平分，，則的度數為（

）．A． B． C． D．9．（2023吉林七年級上學期期末數學試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（

）A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角C．圖中∠AOC的補角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個10．（2023秋·重慶開州·七年級統考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點B逆時針旋轉一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結論：

①在圖1的情況下，在內作，則平分；②在旋轉過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；③在旋轉過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數為3次；④的角度恒為．其中正確的結論個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022秋·四川巴中·七年級統考期末）如圖：數軸上點、、表示的數分別是，，1，且點為線段的中點，點為原點，點在數軸上，點為線段的中點．、為數軸上兩個動點，點從點向左運動，速度為每秒1個單位長度，點從點向左運動，速度為每秒3個單位長度，、同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點表示的數是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點是線段的中點；其中正確的有．（填序號）12．（2023秋·安徽六安·七年級?？计谀┤鐖D，已知、是內部的兩條射線，平分，平分，①若，，則的度數為度；②若，，則的度數為度(用含x的代數式表示)．13．（2023春·四川達州·七年級?？茧A段練習）已知點A、B、C都在直線l上，點C是線段的三等分點，D、E分別為線段中點，直線l上所有線段的長度之和為91，則．14．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為（用a，b的式子表示）．15．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，點C，D在線段上，P，Q分別是的中點，若，則．16．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┮阎欣頂礱，b滿足：．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．下列結論：①；②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．所有結論正確的序號是．17．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知有理數a，b滿足：．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動（點B在點C的左側），．下列結論：①；②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時，若點P是線段BC延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N為線段的中點，則線段的長度不變．所有結論正確的序號是．18．（2023秋·湖南邵陽·七年級統考期末）如圖，在直線上，線段，動點從出發，以每秒2個單位長度的速度在直線上運動，為的中點，為的中點，設點的運動時間為秒．(1)若點在線段上運動，當時，；(2)若點在射線上運動，當時，求點的運動時間的值；(3)當點在線段的反向延長線上運動時，線段、、有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．19．（2023秋·福建泉州·七年級?？计谀靖拍钆c發現】當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．例如，點C是AB的中點時，即，則；反之，當時，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．(1)【理解與應用】如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．(2)【拓展與延伸】已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．①小王同學發現，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；②t為何值時，．20．（2023秋·河南新鄉·七年級統考期末）小明在學習了比較線段的長短時對下面一道題產生了探究的興趣：如圖1，點在線段上，，分別是，的中點．若，，求的長．(1)根據題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過程中，發現的長度具有一個特殊性質，于是他先將題中的條件一般化，并開始深入探究．設，是線段上任意一點（不與點，重合），小明提出了如下三個問題，請你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點，即，，求的長．③若，分別是，的等分點，即，，則______．21．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）已知：射線在內部，平分．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，作平分，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，作射線的反向延長線，在的下方，且，反向延長射線得到射線，射線在內部，是的平分線，若，，求的度數．22．（2023秋·安徽池州·七年級統考期末）（1）如圖1，已知內部有三條射線，平分，平分，若，求的度數；（2）若將（1）中的條件“平分，平分”改為“，”，且，求的度數；（3）如圖2，若、在的外部時，平分，平分，當，時，猜想：與的大小有關系嗎？如果沒有，指出結論并說明理由．23．（2023秋·河北邢臺·七年級校聯考期末）已知，平分，平分．

(1)如圖1，當，重合時，求的度數；(2)如圖2，當在內部時，若，求的度數；(3)當和的位置如圖3時，求的度數．24．（2023·山西呂梁·七年級統考期末）綜合與探究【背景知識】如圖甲，已知線段，，線段在線段上運動，E，F分別是，的中點．(1)若，則

；(2)當線段在線段上運動時，試判斷的長度是否發生變化？如果不變，請求出的長度，如果變化，請說明理由；【類比探究】(3)對于角，也有和線段類似的規律．如圖乙，已知在內部轉動，，分別平分和，若度，度，求．25．（2023·江蘇七年級課時練習）（理解新知）如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“奇妙點”，（1）線段的中點這條線段的“奇妙點”（填“是”或“不是”）（2）（初步應用）如圖②，若，點N是線段CD的“奇妙點”，則