彈性力學簡明教程（第四版）課后習題解答徐芝綸【2-8】在圖2-16中，試導出無面力作用時AB邊界上的之間的關系式【解答】由題可得：將以上條件代入公式（2-15），得：【2-9】試列出圖2-17，圖2-18所示問題的全部邊界條件。在其端部小邊界上，應用圣維南原理列出三個積分的應力邊界條件。 圖2-17 圖2-18【分析】有約束的邊界上可考慮采用位移邊界條件，若為小邊界也可寫成圣維南原理的三個積分形式，大邊界上應精確滿足公式（2-15）?！窘獯稹繄D2-17：上（y=0）左(x=0)右（x=b）0-11-100000代入公式（2-15）得①在主要邊界上x=0，x=b上精確滿足應力邊界條件：②在小邊界上，能精確滿足下列應力邊界條件：③在小邊界上，能精確滿足下列位移邊界條件：這兩個位移邊界條件可以應用圣維南原理，改用三個積分的應力邊界條件來代替，當板厚時，可求得固定端約束反力分別為：由于為正面，故應力分量與面力分量同號，則有：⑵圖2-18①上下主要邊界y=-h/2，y=h/2上，應精確滿足公式（2-15）(s)(s)0-1001-0，，，②在=0的小邊界上，應用圣維南原理，列出三個積分的應力邊界條件：負面上應力與面力符號相反，有③在x=l的小邊界上，可應用位移邊界條件這兩個位移邊界條件也可改用三個積分的應力邊界條件來代替。首先，求固定端約束反力，按面力正方向假設畫反力，如圖所示，列平衡方程求反力：由于x=l為正面，應力分量與面力分量同號，故【2-10】試應用圣維南原理，列出圖2-19所示的兩個問題中OA邊上的三個積分的應力邊界條件，并比較兩者的面力是否是是靜力等效【解答】由于，OA為小邊界，故其上可用圣維南原理，寫出三個積分的應力邊界條件：(a)上端面OA面上面力由于OA面為負面，故應力主矢、主矩與面力主矢、主矩符號相反，有(對OA中點取矩)(ｂ)應用圣維南原理，負面上的應力主矢和主矩與面力主矢和主矩符號相反，面力主矢y向為正，主矩為負，則綜上所述，在小邊界OA上，兩個問題的三個積分的應力邊界條件相同，故這兩個問題是靜力等效的。【2-11】檢驗平面問題中的位移分量是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區域內用位移表示的平衡微分方程式（2-18）；（2）在上用位移表示的應力邊界條件式（2-19）；（3）在上的位移邊界條件式（2-14）；對于平面應變問題，需將E、μ作相應的變換?！痉治觥看藛栴}同時也是按位移求解平面應力問題時，位移分量必須滿足的條件?！?-12】檢驗平面問題中的應力分量是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區域A內的平衡微分方程式（2-2）；（2）在區域A內用應力表示的相容方程式（2-21）或（2-22）；（3）在邊界上的應力邊界條件式（2-15），其中假設只求解全部為應力邊界條件的問題；（4）對于多連體，還需滿足位移單值條件?！痉治觥看藛栴}同時也是按應力求解平面問題時，應力分量必須滿足的條件?！狙a題】檢驗平面問題中的應變分量是否為正確解答的條件是什么【解答】用應變表示的相容方程式（2-20）【2-13】檢驗平面問題中的應力函數是否為正確解答的條件是什么【解答】（1）在區域A內用應力函數表示的相容方程式（2-25）；（2）在邊界S上的應力邊界條件式（2-15），假設全部為應力邊界條件；（3）若為多連體，還需滿足位移單值條件。【分析】此問題同時也是求解應力函數的條件?！?-14】檢驗下列應力分量是否是圖示問題的解答：圖2-20圖2-21（a）圖2-20，，?！窘獯稹吭趩芜B體中檢驗應力分量是否是圖示問題的解答，必須滿足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用應力表示的相容方程（2-21）；（3）應力邊界條件（2-15）。（1）將應力分量代入平衡微分方程式，且顯然滿足（2）將應力分量代入用應力表示的相容方程式（2-21），有等式左===右應力分量不滿足相容方程。因此，該組應力分量不是圖示問題的解答。（b）圖2-21，由材料力學公式，，(取梁的厚度b=1)，得出所示問題的解答:，。又根據平衡微分方程和邊界條件得出：。試導出上述公式，并檢驗解答的正確性?！窘獯稹浚?）推導公式在分布荷載作用下，梁發生彎曲形變，梁橫截面是寬度為1，高為h的矩形，其對中性軸（Z軸）的慣性矩，應用截面法可求出任意截面的彎矩方程和剪力方程。所以截面內任意點的正應力和切應力分別為：。根據平衡微分方程第二式（體力不計）。得：根據邊界條件得故將應力分量代入平衡微分方程（2-2）第一式：滿足第二式自然滿足將應力分量代入相容方程（2-23）應力分量不滿足相容方程。故，該分量組分量不是圖示問題的解答。平面問題的直角坐標解答【3-1】為什么在主要邊界（大邊界）上必須滿足精確的應力邊界條件式（2-15），而在小邊界上可以應用圣維南原理，用三個積分的應力邊界條件（即主矢量、主矩的條件）來代替如果在主要邊界上用三個積分的應力邊界條件代替式（2-15），將會發生什么問題【解答】彈性力學問題屬于數學物理方程中的邊值問題，而要使邊界條件完全得到滿足，往往比較困難。這時，圣維南原理可為簡化局部邊界上的應力邊界條件提供很大的方便。將物體一小部分邊界上的面力換成分布不同，但靜力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影響近處的應力分布，對遠處的應力影響可以忽略不計。如果在占邊界絕大部分的主要邊界上用三個積分的應力邊界條件來代替精確的應力邊界條件（公式2-15），就會影響大部分區域的應力分布，會使問題的解答精度不足。【3-2】如果在某一應力邊界問題中，除了一個小邊界條件，平衡微分方程和其它的應力邊界條件都已滿足，試證：在最后的這個小邊界上，三個積分的應力邊界條件必然是自然滿足的，固而可以不必校核?！窘獯稹繀^域內的每一微小單元均滿足平衡條件，應力邊界條件實質上是邊界上微分體的平衡條件，即外力（面力）與內力（應力）的平衡條件。研究對象整體的外力是滿足平衡條件的，其它應力邊界條件也都滿足，那么在最后的這個次要邊界上，三個積分的應力邊界條件是自然滿足的,因而可以不必校核。【3-3】如果某一應力邊界問題中有m個主要邊界和n個小邊界，試問在主要邊界和小邊界上各應滿足什么類型的應力邊界條件，各有幾個條件【解答】在m個主要邊界上，每個邊界應有2個精確的應力邊界條件，公式（2-15），共2m個；在n個次要邊界上，如果能滿足精確應力邊界條件，則有2n個；如果不能滿足公式（2-15）的精確應力邊界條件，則可以用三個靜力等效的積分邊界條件來代替2個精確應力邊界條件，共3n個。【3-4】試考察應力函數在圖3-8所示的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計)【解答】⑴相容條件:不論系數a取何值，應力函數總能滿足應力函數表示的相容方程，式(2-25).⑵求應力分量當體力不計時，將應力函數代入公式(2-24)，得⑶考察邊界條件上下邊界上應力分量均為零，故上下邊界上無面力.左右邊界上；當a>0時，考察分布情況，注意到，故y向無面力左端:右端:應力分布如圖所示，當時應用圣維南原理可以將分布的面力，等效為主矢，主矩AA主矢的中心在矩下邊界位置。即本題情況下，可解決各種偏心拉伸問題。偏心距e：因為在A點的應力為零。設板寬為b，集中荷載p的偏心距e：同理可知，當<0時，可以解決偏心壓縮問題。【3-5】取滿足相容方程的應力函數為：⑴⑵⑶試求出應力分量（不計體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在小邊界上表示出面力的主矢量和主矩。【解答】（1）由應力函數，得應力分量表達式考察邊界條件，由公式（2-15）①主要邊界，上邊界上，面力為②主要邊界，下邊界，面力為③次要邊界，左邊界x=0上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：次要邊界，右邊界x=l上，面力的主矢，主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上面力分布及次要邊界面上面力的主矢，主矩如圖所示⑵將應力函數代入公式（2-24），得應力分量表達式，，考察應力邊界條件，主要邊界,由公式（2-15）得在主要邊界，上邊界上，面力為在，下邊界上，面力為在次要邊界上，分布面力可按(2-15)計算，面里的主矢、主矩可通過三個積分邊界條件求得：在左邊界x=0，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩；在右邊界x=l上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢：y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要上面力的主矢和主矩如圖所示（3）將應力函數代入公式（2-24），得應力分量表達式考察應力邊界條件，在主要邊界上應精確滿足式（2-15）=1\*GB3①=2\*GB3②次要邊界上，分布面力可按（2-15）計算，面力的主矢、主矩可通過三個積分邊界求得：=3\*GB3③左邊界x=0上，面力分布為=4\*GB3④右邊界上，面力分布為面力的主矢、主矩為x向主矢y向主矢：主矩：彈性體邊界上的面力分布及在次要邊界上面力的主矢和主矩，如圖所示【3-6】試考察應力函數，能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在小邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應力函數能解決的問題。【解答】（1）將應力函數代入相容方程（2-25），顯然滿足（2）將QUOTE?代入式（2-24），得應力分量表達式（3）由邊界形狀及應力分量反推邊界上的面力：①在主要邊界上（上下邊界）上，，應精確滿足應力邊界條件式（2-15），應力因此，在主要邊界上，無任何面力，即②在x=0，x=l的次要邊界上，面力分別為：因此，各邊界上的面力分布如圖所示：③在x=0，x=l的次要邊界上，面力可寫成主矢、主矩形式：x=0上x=l上因此，可以畫出主要邊界上的面力，和次要邊界上面力的主矢與主矩，如圖：(a)(b)因此，該應力函數可解決懸臂梁在自由端受集中力F作用的問題。

【3-7】試證能滿足相容方程，并考察它在圖3-9所示矩形板和坐標系中能解決什么問題（設矩形板的長度為l，深度為h，體力不計）?！窘獯稹?1)將應力函數代入式（2-25），，代入（2-25），可知應力函數滿足相容方程。（2）將代入