函數的連續與一致連續

畢業答辯

學院：姓名：

學號：指導老師：目錄選題的目的和意義本選題的理論依據、研究內容論文結構具體內容

致謝選題的目的和意義

本選題的目的是在充分了解函數連續和函數一致連續的基礎上，討論函數連續與一致連續的關系，總結出判斷函數一致連續的各種有效方法。函數連續與一致連續的關系判別函數一致連續的方法函數連續一致連續本選題的理論依據、研究內容在給出函數連續與一致連續定義之后，主要依據Cantor定理（閉區間上的連續函數是一致連續的）尋求在開區間、無窮區間上函數連續與一致連續的關系。研究內容主要包括：1、了解連續函數與一致連續函數的關系，主要是給出在不同區間（閉區間、有限開區間、半開半閉區間、無窮區間）上的一致連續函數判別方法。2、區間進行拓展，進一步討論一致連續函數具有的一些性質，再對判別一致連續的方法進行總結。3、綜合出判別函數一致連續的充要條件，并根據這些判別方法結合具體例子說明這些判別方法的應用。論文結構總結討論函數連續與一致連續的關系及詳細論證函數的連續與一致連續一致連續函數的一些性質以及其他判別函數一致連續的方法相關知識具體內容

相關知識

1)基本概念

函數在某區間、某點連續以及在區間I上一致連續的定義：

函數在區間的每一點都連續，則稱在區間內連續。

根據定義淺談函數連續與一致連續的區別函數一致連續定義在實例中應用函數連續與一致連續的關系及詳細論證1)在閉區間上連續與一致連續的關系Cantor定理：函數f(x)在[a,b]上一致連續的充要條件是f(x)在[a,b]上連續。這里我選擇的是區間套定理進行證明的。

2)在有限開區間上連續與一致連續的關系這里先根據以下例子得出在開區間上一致連續的充要條件。

由此我們發現：在有限開區間上連續函數是否一致連續，取決于函數在區間斷點的狀態，于是可以得出以下兩個推論。從而根據以上例子得出在有限開區間上函數連續與一致連續關系：3)在無窮區間上連續與一致連續的關系為了給出在無窮區間上連續與一致連續的關系，這里先介紹函數一致連續的一個性質——區間可加性。其他性質將在后面章節會講到。該定理可以將函數已知的一致連續區間進行整合和拓延，得到新的一致連續區間。這樣的區間可加性為我們分段處理函數一致連續性問題提供了理論基礎。以下，我將給出函數在無窮區間上的一致連續性。根據以上出以下推論：

4)在一般任意區間上連續與一致連續的關系一致連續函數的一些性質以及其他判別函數一致連續的方法1)一致連續函數的一些性質一致連續函數的四則運算性質復合函數的一致連續性2)關于函數連續性與一致連續性關系的其他判定方法（以下主要結合例題進行說明）經過查閱資料，我在該論文中總結的判別函數一致連續的方法還包括：比較判別法；比值判別法以及凸函數判別法。我們看一個例題：這里就主要應用了比值判別法：其中定理17內容如下：3)關于函數一致連續性的其他定理（這里分別給出了利用數列判別、利用積分判別的方法）利用數列利用積分總結

本論文主要討論了一元函數的一致連續性，探討了函數連續與一致連續的關系，總結了判別函數一致連續的方法。

通過幾個月的不懈努力，我較好的完成了該畢業設計，在此過程中，我對函數的連續及一致連續有了更深刻的認識。該論文中總結出的函數一致連續的判別方法，主要是在以前學習的基礎上查閱了大量資料，多次與指導老師探討之后歸納出來的，較系統的整理了函數的連續與一致連續的關系，給出了很多判別函數一致連續的方法。

當然，由于時間的倉促及自身專業水平的欠缺，我相信還有很多判別方法并沒有完全總結出來，該論文也有很多需要改善之處，如：其他可以判別函數一致連續的方法、推廣到二元函數上的一致連續、擴充到數集上的函數的一致連續性等。懇請閱讀此論文的老師、同學多予指正，我將不勝感激！

但是，通過我對函數一致連續的比較系統的總結，我相信這一定能給以后的學習函數的連續與一致連續、判別函數一致連續帶來一定程度的方便；在對該論文加以改進完善以后，是可以在函數連續中使用的。致謝

本論文是在我的導師……………老師的親切關懷和悉心指導下完成的。他嚴肅的科學態度，嚴謹的治學精神，精益求精的工作作風，深深地感染和激勵著我。

從最初的資料收集、開題報告的提交到寫作、修改，再到最后的定稿，整個過程中我也遇到過各種各樣的問題，李老師都會為我孜孜不倦的一一解答。在他的耐心的指導和無私的幫助下，我對函數一致連續方面的理論知識有了更深一步的了解，也學會了在實際應用中去結合已學的理論知識。這其中，其體現的敬業奉獻精神令我十分欽佩；他深厚的數學功底與豐富的的理論知識，特別是他循循善誘的教導和不拘一格的思路都使我受益匪淺。在此謹向×老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。

其次，我還要感謝在這四年