微分中值定理的研究

在一般教科書中，偏離平均理論指的是羅爾理、拉格朗日理論和科西理性。它們是微分學(xué)的基本理論，也是高等數(shù)學(xué)的難題。一元函數(shù)的微分學(xué)中,泰勒定理、羅必塔法則、函數(shù)的單調(diào)性與極值以及函數(shù)的凹凸性等相關(guān)知識涉及到眾多的定理和結(jié)論,讓初學(xué)者眼花繚亂,不知從何下手。事實上,這些定理和結(jié)論都是微分中值定理在理論推導(dǎo)方面的應(yīng)用。深入研究微分中值定理,有助于加深對這些定理的理解;熟悉這些定理的證明,能促使學(xué)習(xí)者更好地掌握微分中值定理的具體應(yīng)用。1在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f(a)=f(b),則至少存在一點ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0.1.1輔助函數(shù)fb-bbb-abb-abb-abb-abb-bb-bbb-bb-bbb-bb-bbb-bb-bbbb-bbbb-bbbb-bb-bbbbbb-bbbb-bbbb-bbbb-bbbbbbb-bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb定理1(拉格朗日中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則至少存在一點ξ∈(a,b),使f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a.f′(ξ)=f(b)?f(a)b?a.證定理結(jié)論可改寫為:f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0.f′(ξ)?f(b)?f(a)b?a=0.令F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-axF(x)=f(x)?f(b)?f(a)b?ax,則只需證明存在ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0.作輔助函數(shù)F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-ax?(a≤x≤b)F(x)=f(x)?f(b)?f(a)b?ax?(a≤x≤b)直接計算知F(b)-F(a)=0即F(b)=F(a),并且F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。由羅爾定理知,至少存在一點ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0.即f′(ξ)=f(b)-f(a)b-af′(ξ)=f(b)?f(a)b?a.即證!1.2m值法求解bbgafab-fb-ga-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-gb-ga-mb-b-gb-gb-gb-gb-mb-mb-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b-b的gb-g的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的m值的gb-b-b-b-bb-b-b-bb-b-bb-b-b-bb-b-b-bb-b-bb-b-b-bb-b-m值m值m值m值m值m值m值m值m值m值法求解定理2(柯西中值定理)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),g′(x)≠0,則存在ξ∈(a,b)使f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ).f(b)?f(a)g(b)?g(a)=f′(ξ)g′(ξ).證(用M值法)令f(b)-f(a)g(b)-g(a)=Μf(b)?f(a)g(b)?g(a)=M,于是有f(b)-f(a)-M(g(b)-g(a))=0.令F(x)=f(x)-f(a)-M(g(x)-g(a))(把b換成x),則F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且F(b)=F(a)=0.由羅爾定理知:至少存在一點ξ∈(a,b),使F′(ξ)=0,即f′(ξ)-Mg′(ξ)=0或者f′(ξ)g′(ξ)=Μf′(ξ)g′(ξ)=M,將M的值代入即得f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ)f(b)?f(a)g(b)?g(a)=f′(ξ)g′(ξ),即證!1.3輔助函數(shù)n+1.定理3(泰勒定理)若函數(shù)f(x)在(a,b)上n+1階導(dǎo)數(shù)存在,則對任何x,x0∈(a,b)有f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+f?(x0)3!(x-x0)3+?+f(n)(x0)n!(x-x0)n+Rn(x)f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x?x0)+f′′(x0)2!(x?x0)2+f′′′(x0)3!(x?x0)3+?+f(n)(x0)n!(x?x0)n+Rn(x),其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1,ξ∈(x,x0).Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x?x0)n+1,ξ∈(x,x0).證令f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+f?(x0)3!(x-x0)3+?+f(n)(x0)n!(x-x0)n+(x-x0)n+1?Ηf(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x?x0)+f′′(x0)2!(x?x0)2+f′′′(x0)3!(x?x0)3+?+f(n)(x0)n!(x?x0)n+(x?x0)n+1?H,只需證Η=f(n+1)(ξ)(n+1)!.H=f(n+1)(ξ)(n+1)!.作輔助函數(shù)F(u)=f(u)+f′(u)1!(x-u)+f″(u)2!(x-u)2+f?(u)3!(x-u)3+?+f(n)(u)n!(x-u)n+(x-u)n+1?Η,則可知F(u)在以x,x0為端點的區(qū)間上滿足羅爾定理,事實上:i)由f(x)滿足n+1階可導(dǎo)知,f(x)的n階導(dǎo)數(shù)連續(xù),從而F(u)在[x0,x]或[x,x0]上連續(xù);ii)由f(x)滿足n+1階可導(dǎo)知,F(u)在(x0,x)或(x,x0)上連續(xù);iii)F(x0)=f(x),F(x)=f(x).故由羅爾定理知,存在介于x0與x之間的ξ,使F′(ξ)=0.而F′(u)=(x-u)nn!fn+1(u)-(n+1)(x-u)nΗ,由F′(ξ)=0,可知(x-ξ)nn!fn+1(ξ)-(n+1)(x-ξ)nΗ=0,解得Η=f(n+1)(ξ)(n+1)!,ξ∈(x0,x)或(x,x0).即證!2拉格朗日平均歷史值的計算2.1拉格朗日乘子法第12,fx定理4若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則:1)如果在(a,b)內(nèi),f′(x)≥0,那么f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增;2)如果在(a,b)內(nèi),f′(x)≤0,那么f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.證1)任取x1,x2∈(a,b),不妨設(shè)x1<x2.則f(x)在閉區(qū)間[x1,x2]上連續(xù),在開區(qū)間(x1,x2)內(nèi)可導(dǎo)。由拉格朗日中值定理知:至少存在一點ξ∈(x1,x2),使得f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1).又由f′(x)≥0,x∈(a,b),得f(x2)-f(x1)≥0,即f(x2)≥f(x1),從而f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增。同理可證2).2.2配線型定理5若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),則f(x)為(a,b)內(nèi)凸函數(shù)。證任取x1,x2,x3∈(a,b),不妨設(shè)x1<x2<x3,由拉格朗日中值定理可得:至少存在一點ξ1∈(x1,x2),使f(x2)-f(x1)x2-x1=f′(ξ1);至少存在一點ξ2∈(x2,x3),使f(x3)-f(x2)x3-x2=f′(ξ2).由ξ1<ξ2及f′(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增知,f′(ξ1)≤f′(ξ2),即f(x2)-f(x1)x2-x1≤f(x3)-f(x2)x3-x2.由凸函數(shù)的定義知,f(x)為(a,b)內(nèi)凸函數(shù)。3柯西中值定理羅必塔法則是求極限的一種非常有用的方法,下面我們利用柯西中值定理來證明它。定理6(羅必塔法則)設(shè)i)函數(shù)f(x)和g(x)在x0的某領(lǐng)域U(x0)內(nèi)可微,且g′(x)≠0,ii)limx→x0f(x)=limx→x0g(x)=0(或∞);iii)limx→x0f′(x)g′(x)=A(或∞),則limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f′(x)g′(x)=A(或∞).證補充定義f(x0)=g(x0)=0.任意x∈U(x0),不妨設(shè)x0<x,則f(x)與g(x)在閉區(qū)間[x0,x]上連續(xù),在開區(qū)間(x0,x)內(nèi)可導(dǎo),g′(x)≠0,滿足柯西中值定理條件。由柯西中值定理可得:至少存在一點ξ∈(