拉格朗日-算法的形式化改造

0拉格朗日的變分演算與改進方法的提出變分法是研究泛函（函數的函數）極值問題的分析部門。在20世紀之前，泛函通常以積分的形式出現。因此，變分法主要用于研究積分的極值問題。雖然古典等周問題等屬于變分法的問題很早就產生了,但變分法作為一門數學分支,真正發端于17世紀末、18世紀初由最速降線問題所引發的一系列挑戰。在牛頓(IssacNewton,1643—1727年)、雅可布·伯努利(JacobBernoulli,1654—1705年)、約翰·伯努利(JohnBernoulli,1667—1748年)、泰勒(BrookTaylor,1685—1731年)等先驅者富有競爭性的探索基礎上,歐拉(LeonhardEuler,1707—1783年)從1728年起,開始了在變分法領域的研究。1744年,歐拉對其研究成果進行了系統總結和改進,撰寫并出版了數學史上第一本變分法專著——《求某種具有極大或極小性質的曲線或解最廣義的等周問題的技巧》(以下簡稱《技巧》)。在這部被卡拉泰奧多里(ConstantinCarathéodory,1873—1950年)稱為“迄今所寫最優美的數學著作之一”的書中,歐拉首次給出了變分問題的清晰而一般的表述,確認了變分問題的解所滿足的一些基本方程的標準形式,并提供了推導這些方程的一般方法,“將變分法從對一些具體問題的討論轉變為非常一般的問題的討論”(,68頁)。《技巧》是變分法發展史上的一座里程碑,標志著變分法作為一個新的分析學分支的誕生。然而,由于歐拉在此書中使用了大量的幾何論證,其幾何和分析相結合的方法使得具體的推理過程非常繁復。歐拉本人也期待著能有一種不依賴于幾何直觀的改進方法,并為此付出了很多精力。這種新方法的發現者是拉格朗日(JosephLouisLagrange,1736—1813年)。1755年8月12日,年僅19歲的拉格朗日給歐拉寫信,闡述了這種新方法——δ-算法。在信中,他不僅介紹了他的算法,而且還用其解決了《技巧》中所列的基本變分問題,展示了該方法的優越性。拉格朗日的方法是一種純分析的方法,無需借助任何幾何直觀,通過引進新的符號δ及其運算規則,使得整個演算過程簡潔、優美。更為重要的是,這種方法包含著一種極大的變革,把自牛頓以來通過改變極值曲線上個別縱坐標以獲取比較曲線的方法,轉變為通過整條曲線的改變來獲得比較曲線,由此創立了一般意義上的變分方法,使變分法的研究走上了一條與歐拉及其他前輩數學家不同的路線,將早期變分法的發展推進到一個新階段。1755年9月6日,歐拉給拉格朗日回信,高度贊揚了拉格朗日的方法。隨后歐拉放棄了自己原來的方法1,轉而運用拉格朗日的演算方法,并在1764年的兩篇論文中,將這門數學分支正式命名為“變分法”(calculusofvariations)2,從此拉格朗日的變分演算成了古典變分法的標準算法。從歐拉方法過渡到拉格朗日方法是變分法發展過程的一次重大變革。那么,拉格朗日為什么要對歐拉的方法進行變革?為什么會提出其δ-算法?他從歐拉的研究中受到哪些啟示?他又是如何發現新方法的?其發現對他以后的科學研究產生了怎樣的影響?這些問題對于再現歐拉和拉格朗日的數學思想以及揭示變分法早期的發育、發展過程等具有極為重要的理論意義和歷史意義。給歷史上的重大數學發現或變革尋找歷史根據是數學史研究的基本任務之一。特別是對于近現代數學史的研究,除了采用歷史主義的原則,搞清楚歷史上的數學是如何做出來的,還需要在現有研究的基礎上,對當時的數學家提出數學問題、引進新的數學概念和符號、創造新的數學、新的方法的原因,進行深入研究。不過,就筆者所知,目前國內外有關變分法歷史的文獻中,大多把注意力放在歐拉和拉格朗日各自方法的討論及闡述上,根據這些研究,我們大體上知道了歐拉與拉格朗日各自的算法,但是,還沒有人從“拉格朗日為什么要對歐拉的變分法進行變革”的角度進行系統考察和分析。有鑒于此,本文在研讀《技巧》、拉格朗日1755年8月12日給歐拉的信以及歐拉的回信等原始文獻的基礎上,以“為什么數學”為切入點和主要目的,對其進行探討和分析。1拉格朗日的創新方法歐拉的幾何-分析法主要體現在他對《技巧》一書所列變分問題的基本微分方程的推導上,下僅選擇其中兩類具有代表性的問題加以考察,拉格朗日就是以其為主要考察對象來闡明創新方法的威力3。1.1縱坐標的上確保問題:在所有平面曲線y=y(x)中4,尋求一條曲線,使得定積分∫Zdx取極大或極小值,其中Z是x,y,p(p=dy/dx)的函數,并且從A(不妨假定其橫坐標為x=0)到Z(不妨假定其橫坐標為x=a)進行積分(圖1)5。《技巧》第2章主要討論了這種類型的問題6。他首先把橫坐標AZ等分成“無限”多個子區間:dx=IK=KL=LM=…,然后假設連接兩點a、z的曲線給出積分∫Zdx的極大或極小值,字母M、N、O代表區間AZ上無限接近的三個點,字母m、n、o分別代表此曲線上縱坐標為Mm、Nn、Oo的三點,記AM=x,AN=x′,AO=x″;Mm=y,Nn=y′,Oo=y″,因而由p=dy/dx得:p=y′-ydx,p′=y″-y′dx(1)p=y′?ydx,p′=y′′?y′dx(1)歐拉將區間AZ上的定積分∫Zdx改寫成如下形式∫MAZdx+Zdx+Z′dx+…7其中Z,Z′,…分別表示被積函數Z在(x,y,p)和(x′,y′,p′),…的值,將積分∫Zdx看成是y′的函數,給縱坐標y′一個無窮小的增量nv8,由于積分∫Zdx沿曲線az取極大或極小值,那么由此導致的積分∫Zdx的變化為0。對于積分∫Zdx而言,由于y′的變化而受到影響的部分只有以下兩項:Zdx+Z′dx=(Z+Z′)dx(2)歐拉記dZ=Mdx+Ndy+Pdp,dZ′=M′dx+N′dy′+P′dp′9(3)然后他將(3)中的這些微分解釋為當y′增加nv時,Z,Z′,x,y,y′,p,p′所發生的變化。由(1)知:dp=nv/dx,dp′=(-1)nv/dxx,y的變化為010,因此由(3)得dΖ=Ρ?nv/dxdΖ′=Ν′?nv-Ρ′?nv/dx(4)dZ=P?nv/dxdZ′=N′?nv?P′?nv/dx(4)從而積分∫Zdx的變化為:(dZ+dZ′)dx=(P·nv/dx+N′·nv-P′·nv/dx)dx=nv·(P+N′dx-P′)這個表達式一定等于0。歐拉令P′-P=dP,用N代替N′,從而得到Ndx-dP=0,即N-dP/dx=0(5)這就是已給極值曲線az所滿足的基本微分方程11。1.2[][]]在《技巧》第3章的命題Ⅲ中,歐拉轉向了一類更復雜的問題,這類問題在《技巧》中占據著中心地位。問題:在所有平面曲線y=y(x)中,尋求一條曲線,使積分∫Zdx(從A到Z積分)取極值,其中Z是x,y,p=dy/dx以及一個新變量∏的一個函數12,∏由條件∏=∫[Z]dx給出,其中[Z]是x,y,p的一個函數,積分∫[Z]dx表示[Z]從A到M(其橫坐標為x)的積分13(圖1)。對于這類問題,歐拉的基本思路與第一類問題大致相同,只不過他把計算積分∫Zdx的變化(由y′增加nv時所導致的)的過程分成了以下兩步(,158—160頁):第一步,計算當縱坐標y′增加nv時,導致∏,∏′,∏″,…所發生的變化,其中∏=∫[Ζ]dx∏′=∏+[Ζ]dx?∏?=∏+[Ζ]dx+[Ζ′]dx?∏?=∏+[Ζ]dx+[Ζ′]dx+[Ζ″]dx???(6)這里的∏,∏′,∏″,∏ue087,…分別表示[Z]從x=0到x=x,x=x′,x=x″,x=xue087,…的積分。由于d[Z]=[M]dx+[N]dy+[P]dp當y′增加nv時,y′,p,p′的變化分別為dy′=nv,dp=nv/dx,dp′=-nv/dx因而[Z],[Z′],[Z″],…的變化如下:d.[Ζ]dx=[Ρ]?nvdxdx=nv?dx([Ρ]dx)d.[Ζ′]dx=[Ν′]?nvdx-[Ρ′]?nvdxdx=nv?dx([Ν′]-[Ρ′]dx)d.[Ζ″]dx=d.[Ζ?]dx=?=0(7)由(6)、(7)知∏,∏′,∏″,∏ue087,…的變化為:Zd.∏=0d.∏′=nv?dx([Ρ]dx)d.∏?=nv?dx([Ρ]dx)+nv?dx([Ν′]-[Ρ′]dx)=nv?dx([Ν′]-d[Ρ]dx)d.∏?=d.∏?=d.∏(4)=?(8)其中d[P]=[P′]-[P]。第二步,計算當y′增加nv時,積分∫Zdx所發生的總變化。歐拉將積分改寫為∫MAZdx+Zdx+Z′dx+…14由于dZ=Mdx+Ndy+Pdp+Ld∏.,如在第一類問題中那樣,由y′,p,p′的變化所導致的積分∫Zdx的變化為:nv·dx(Ν-dΡdx)(9)當y′增加nv時,所有的量∏,∏′,∏″,∏ue087,…都發生了變化,由于這些量的變化而產生的積分∫Zdx的相應變化為:Ldx·d∏+L′dx·d∏′+L″dx·d∏″+…(10)將(8)式給出的d∏,d∏′,d∏″,…的值代入(10)式得:nv·dx(L′[P])+nv·dx([Ν′]-d[Ρ]dx)(L″dx+L?dx+L(4)dx+?)(11)歐拉用L,[N]代替L′,[N′],并令L″dx+Lue087dx+L4dx+…=H-∫Ldx,其中H是L從A到Z的積分(即H=∫a0Ldx,∫Ldx=∫x0Ldx),將其代入(11)得:nv?dx(Η-∫Ldx)([Ν]-d[Ρ]dx)+nv?dx(L[Ρ])(12)由于d(∫Ldx)=Ldx,所以(12)就可寫為:nv?dx([Ν](Η-∫Ldx)-d([Ρ](Η-∫Ldx))dx)(13)將(13)和(9)式相加,即得積分∫Zdx的總變化,令此表達式等于0,由此他得到了該問題的基本方程:2拉格朗日乘子法2e拉格朗日在1755年8月的信中,首先簡單地描述了他所發現的新方法,接著用此方法討論并解答了《技巧》中的一些基本問題。他的方法是在當時的微積分學中引進符號δ及其演算。他用符號δ表示另一種形式的微分,δ不僅可以作用在諸如F(y)這樣的函數上,還可以作用在積分∫Zdx上。他假定x關于δ是恒定不變的,即δx=0;δy表示在這種極大或極小問題中,縱坐標y的變化,但不同于通常的微分dy;量δF(y)表示當y增加δy時,F(y)的增量(F是y的一個函數)。他斷言如下交換法則成立:dδF(y)=δdF(y)(15-a)一般地δdmF(y)=dmδF(y)(15-b)特殊地dδy=δdy(15-c)δ∫Z=∫δZ(16)接下來拉格朗日列出了如下一些關系式,而這些關系式均可由分部積分法得到:∫zdu=zu-∫udz(17)∫zd2u=zdu-udz+∫ud2z(18)∫zd3u=zd2u-dzdu+ud2z-∫ud3z(19)∫u∫z=∫u×∫z-∫z∫u(20)他令∫u=H,H-∫u=V,從而(20)為:∫u∫z=∫Vz(21)積分(17)、(18)、(19)均是從x的初始值(不妨設為x=0)到末值(不妨設為x=a)進行積分;在關系式H-∫u=V中,H是u從這個初始值到x=a的積分,而∫u是u從這個初值到x=ξ(0<ξ<a)的積分,因而(20)、(21)用現在的記號寫出來就是:∫a0u(ξ)dξ∫ξ0z(x)dx=∫a0u(x)dx×∫a0z(x)dx-∫a0z(ξ)dξ∫ξ0u(x)dx,(20′)∫a0udξ∫ξ0zdx=∫a0Vzdx(21′)給出上述規則和關系式之后,拉格朗日接著考察了《技巧》中的基本問題。2.1由積分區間相關的算法求解拉格朗日設Z是x,dx,y,dy,d2y,…的函數,于是被積函數Z的微分為:dZ=Mdx+Ndy+Pd2y+Qd3y+Rd4y+…(22)據此他寫出δZ=Nδy+Pδdy+Qδd2y+Rδd3y+…(23)由(16),并且積分(23)(不妨設積分區間為[0,a])得:δ∫Z=∫Nδy+∫Pδdy+∫Qδd2y+…(24)由(15-a)、(15-b)、(15-c),交換d和δ的次序,運用公式(17)、(18)、(19)得:δ∫Z=∫Nδy+Pδy-∫dPδy+Qdδy-dQδy+∫d2Qδy-…(25)因而δ∫Z=∫(N-dP+d2Q-…)δy+(P-dQ+…)δy+(Q-…)dδy+…(26)拉格朗日假定:當x=a時,有δy=dδy=d2δy=…=0,同時他還隱含地認為這些量在x=0處也等于0。因而(26)就變為δ∫Z=∫(N-dP+d2Q-…)δy(27)此時拉格朗日斷言由“通常的極大或極小方法”就可得到:N-dP+d2Q-…=0(28)如果Z只是x,dx,y,dy的函數,(28)就變為N-dP=0(29)這就是前面介紹的第一個問題的基本方程。2.2拉格朗日公式設Z是x,dx,y,dy,d2y,…和一個附加變量π的函數,而π由邊條件π=∫(Z)(從x=0到x=x的積分)給出,其中(Z)是x,dx,y,dy,d2y,…的一個函數,由于ZdΖ=Ldπ+Μdx+Νdy+Ρd2y+Qd3y+?d(Ζ)=(Μ)dx+(Ν)dy+(Ρ)d2y+(Q)d3y+?(30)拉格朗日據此寫出:δΖ=Lδπ+Νδy+Ρδdy+Qδd2y+?δ(Ζ)=(Ν)δy+(Ρ)δdy+(Q)δd2y+?δπ=∫(Ν)δy+∫Ρδdy+?此式中的各項積分為從x=0到x=x的積分。(31)因而δ∫Z=∫Nδy+∫Pdδy+∫Qd2δy+…+∫L∫(N)δy+∫L∫(P)dδy+…(32)令H為L從x=0到x=a的積分,他記H-∫L=V,其中∫L為L從x=0到x積分。運用(21)變換(32)得:δ∫Z=∫[N+(N)V]δy+∫[P+(P)V]dδy+∫[Q+(Q)V]d2δy+…(33)拉格朗日按照從(24)推(27)相同的步驟由(33)推出如下方程:N+(N)V-d[P+(P)V]+d2[Q+(Q)V]-…=015(34)如果Z和(Z)中不含高于一階的微分,(34)就變為:N+(N)V-d[P+(P)V]=0(35)這就是前面介紹的歐拉第二個問題的基本方程。這里需要說明的一點是,在《技巧》中,將Z看成是x,y,p,…的函數(其中p=dy/dx),而拉格朗日在信中,將Z看作是x,dx,y,dy,d2y,…的函數。歐拉改變p的地方,拉格朗日改變dy。按照18世紀萊布尼茨形式微積分的演算程序,如果y是x的某個函數,那么在所有的計算中,dx將保持恒定不變。因而當拉格朗日說x關于δ恒定不變(即δx=0)時,其實意味著dx是常數,若將此常數看作單位1,則拉格朗日的結果(29)和(35)與歐拉的結果(5)和(14)完全一致。3拉格朗日對烏拉法的形態轉變3.1拉格朗日算法思想的體現基于前面的考察,我們發現歐拉方法和拉格朗日方法之間存在著很大差別,主要表現在以下幾方面:(1)歐拉的方法依賴于幾何直觀,其出發點和推導過程中的每一步都烙有幾何的印跡,具有明顯的幾何解釋;而拉格朗日的方法是純分析的,他通過引進符號δ及其運算規則,擺脫了對幾何直觀的依賴,使得整個推導過程變成了一種形式的、“遵照一致而正規的程序的代數[分析]運算”(,373頁)。(2)歐拉只要求極值曲線上一點處的縱坐標發生改變,以期獲得比較曲線;而拉格朗日則通過δ的形式演算實現了極值曲線上所有縱坐標的同時改變,即實現了整條曲線的變分,從而開創了一般意義上的變分。(3)歐拉的方法較為繁復,特別是當考察被積函數中含有高階微商的情形時尤為如此,同時還包含了粗糙的極限過程[如在推導(5)時,用N代替N′;從(11)推導(12)時,用L,[N]分別代替L′,[N′],用H-∫xALdx代替L″dx+Lue087dx+L4dx+…等];而拉格朗日的方法是在一些運算規則基礎上所進行的公式推演,顯得簡捷、優美、更具一般性,同時為諸如處理變動端點等問題提供了方便16,因而是對歐拉方法的極大改進和推廣。(4)如果從現代的觀點看,歐拉的方法蘊含著把變分問題化為普通函數極值問題的思想,從而把變分問題與熟知的普通函數極值問題聯系了起來;而拉格朗日的方法孕育著將普通函數極值理論籍以建立的概念——微分,推廣到更廣泛意義的函數——泛函上去的思想,從而使變分法的發展走上了一條與傳統不同的路線。當然,拉格朗日的方法還有許多不成熟的方面:如沒有對δ的含義進行嚴格闡述;未對運算法則(15-a)、(15-b)、(15-c)、(16)提供證明;沒有給出從(27)到(28)、(33)到(34)的合理解釋等等。但瑕不掩瑜,從上面的比較可以看出,變分法從歐拉到拉格朗日的過渡,包含和體現了重大的革新和發展。3.2拉格朗日關于假設d的分析現在來分析拉格朗日為什么要變革歐拉的方法、為什么會提出δ-算法以及他是如何獲得這一算法的。在信中,拉格朗日聲稱他之所以從事這項研究,主要受《技巧》第2章39段中所作評論的啟發和激勵。歐拉的評論為:因而需要一種方法,這種方法不受幾何的約束,而且運用這種方法時,顯然在這種極大或極小問題的研究中,應該最終將Pdp用-pdP來代替。(,56頁)其含義就是:如果dZ=Mdx+Ndy+Pdp,令Mdx=0,Ndy不變,將Pdp寫成-pdP,那么方程Ndy-pdP=0就是使積分∫Zdx取極值的曲線所應滿足的方程。毫無疑問,這段話中所含的挑戰的確給拉格朗日留下了深刻的印象,并且為拉格朗日的研究樹立了目標、明確了方向。然而僅憑這段話并不足以全面解釋拉格朗日是如何得到他的新方法的。如果我們對歐拉和拉格朗日各自的推導過程進行仔細地考究和分析,就能發現一些非常重要的線索,循著這些線索,我們可以窺視到拉格朗日改造歐拉方法的真實情景。歐拉在推導變分問題基本方程的過程中,在符號的使用方面存在一個明顯的缺陷(至少在當時看來),這就是符號d的雙重含義和混用。一方面,d用來表示當時傳統意義上的微分,即微分dx保持恒定不變,任何其他量的微分就等于這個量在x和x+dx兩點的值之差,這種演算方法在18世紀初期萊布尼茨形式的分析學中經常使用,并且在當時廣為接受和采用。另一方面d也用來表示當縱坐標y發生變化時,y自身以及導致其他量的變化,為了簡便起見,我們不妨將這種意義下的d稱為新型“微分”。歐拉在推導第一類變分問題基本方程時,在(5)及其獲得(5)的最后一步中,他用d來表示傳統意義下的微分。而對于(3)式,歐拉在書寫這個表達式時,其中的d也表示傳統意義下的微分,但是當他轉而考慮由縱坐標y′增加nv所導致的其他量的變化時,符號d的含義發生了變化,他將(3)中出現的微分dZ、dZ′、dx、dy、dp、dy′、dp′看成是量Z、Z′、x,y,p,y′,p′的變化,而這種變化是當縱坐標y′增加nv時所產生的,因而此時d就表示這種新型“微分”,從而“微分”dy′,dp,dp′分別等于nv,nv/dx,-nv/dx,而“微分”dx,dy等均為0,并有(4)成立,且(4)中dZ、dZ′表示這種新型“微分”,而dx則表示傳統意義下自變量的微分。同樣,在歐拉推導第二類變分問題的基本方程(14)的過程中,我們也能看出符號d的這種雙重含義和混用:在計算由y′增加nv所導致的[Z]和Π的變化時,用符號d表示這種新型“微分”,如(7)中的d.[Z]、d.[Z′]、d.[Z″]等和(8)中的d.∏、d.∏′、d.∏″等;而在諸如(14)這樣的方程中,用符號d表示那種傳統意義下的微分。事實上,歐拉在這一問題中已對符號d的雙重用法有所體察,因此他令d[Z]=[M]dx+[N]dy+[P]dp,而將由y′增加nv時所導致的[Z]的變化記為d.[Z],然而他在考慮方程(8)和(10)時,并沒有做到前后一致。那么,拉格朗日在研究《技巧》一書的過程中,是否注意到歐拉在符號d的運用上的這種缺陷呢?筆者認為答案是肯定的。因為拉格朗日在信的開始部分就很明確地表示:他引進記號δ是為了“區分另一種形式的變化”(,140頁),并且在其1760年的第一篇關于變分法的論文中,他這樣寫道:……由于這種方法17要求同樣的量以兩種不同的方式變化,為了不致引起混淆,我在計算中引進了一種新的標記δ,這樣,δZ表示Z的差,這種差不同于dZ……這說明他一定注意到了歐拉在符號d的使用上的這種雙重含義和混用現象,由此萌發了用一個新符號δ來表示另一類型的“微分”的想法。筆者認為這種想法正是拉格朗日改進歐拉方法的切入點,以此為突破口,拉格朗日通過符號處理和形式化的代數推演,發明了δ-算法,從而完成了擺脫幾何直觀和簡化計算的目標。如果細致地探究拉格朗日的推導過程,我們會發現他這種形式化改造的一些明顯痕跡。如他對δx=0的規定、根據(22)寫出(23)、根據(30)寫出(31)。又如他對交換法則(15-a)、(15-b)、(15-c)、(16)等沒有給出證明,而只是提到了歐拉1734年的論文。事實上,歐拉在這篇論文中得到的是如下結果:設z是a和x的函數,如果先將a固定,對z微分得Pdx,然后讓x固定,微分Pdx得Bdxda;接著他又將x固定,微分z得Qda,再讓a固定,微分Qda得Cdadx,則B=C。18為了證明這個結果,歐拉首先考察了三個量:e=z(x+dx,a),f=z(x,a+da),g=z(x+dx,a+da)接著就斷言:Pdx=e-z,Bdxda=(g-f)-(e-z)(g-f是在e-z中將a用a+da代換而得到的);類似地,Qda=f-z,Cdadx=(g-e)-(f-z)因而B=C。由此我們不難看出拉格朗日將符號δ與d及其運算規則進行類比的這種鮮明的形式化處理手法。再如,從(27)到(28)的推導過程,拉格朗日聲稱由“通常的極大或極小方法”就可以由(27)推得(28),而通常的普通函數的極大或極小方法就是將極值問題歸結為df=0(其中f是一元或多元函數),如果與此進行類比19,就可得到δ∫Z=