專題六數(shù)列真題卷題號(hào)考點(diǎn)考向2023新課標(biāo)1卷7等差數(shù)列等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列的性質(zhì)20等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本量計(jì)算2023新課標(biāo)2卷8等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)18等差數(shù)列、數(shù)列的綜合應(yīng)用求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和、數(shù)列的綜合應(yīng)用（不等式證明）2022新高考1卷17數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和由遞推公式求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和2022新高考2卷17等差數(shù)列、等比數(shù)列等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2021新高考1卷16數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和17數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和由遞推公式求通項(xiàng)公式、公式法求和2021新高考2卷12等比數(shù)列數(shù)列的新定義問(wèn)題17等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和2020新高考1卷14等差數(shù)列等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列求和18等比數(shù)列、數(shù)列求和求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和2020新高考2卷15等差數(shù)列求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列求和18等比數(shù)列求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和【2023年真題】1.（2023·新課標(biāo)I卷第7題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列：乙：為等差數(shù)列，則(

)A.

甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的判定、等差數(shù)列前n項(xiàng)和、充分必要條件的判定，屬于中檔題．結(jié)合等差數(shù)列的判斷方法，依次證明充分性、必要性即可.【解答】解：方法為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為，公差為d，則，，，故為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件，，反之，為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為t即，故故，兩式相減有：，對(duì)也成立，故為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，故甲是乙的充要條件，故選方法因?yàn)榧祝簽榈炔顢?shù)列，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，公差為即，則，故為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，乙：為等差數(shù)列即，即當(dāng)時(shí)，上兩式相減得：，所以當(dāng)時(shí)，上式成立．

又為常數(shù)所以為等差數(shù)列．則甲是乙的必要條件，故甲是乙的充要條件，故選C.2.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第8題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則(

)A.120 B.85 C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)，屬于中檔題.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和之間差的關(guān)系可知，，，成等比數(shù)列，列出關(guān)系式計(jì)算即可得解.【解答】解：，，，成等比數(shù)列，從而計(jì)算可得故選3.（2023·新課標(biāo)I卷第20題）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，且令，記，分別為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，求的通項(xiàng)公式;若為等差數(shù)列，且，求【答案】解：因?yàn)?，故，即，故，所以，，，又，即，即，故或舍，故的通?xiàng)公式為：方法一：基本量法若為等差數(shù)列，則，即，即，所以或當(dāng)時(shí)，，，故，，又，即，即，所以或舍當(dāng)時(shí)，，，故，，又，即，即，所以舍或舍綜上：方法二：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列且公差為d，所以可得，則解法一：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知與n的關(guān)系滿足一次函數(shù)，所以上式中的分母“”需滿足或者，即或者解法二：由可得，，，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以滿足，即，兩邊同乘化簡(jiǎn)得，解得或者因?yàn)?，均為等差?shù)列，所以，，則等價(jià)于，①當(dāng)時(shí)，，，則，得，解得或者，因?yàn)?，所以②?dāng)時(shí)，，，則，化簡(jiǎn)得，解得或者，因?yàn)?，所以均不?綜上所述，【解析】本題第一問(wèn)考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，第二問(wèn)考查等差數(shù)列有關(guān)性質(zhì)，等差數(shù)列基本量的求解，計(jì)算量較大，為較難題.

4.（2023·新課標(biāo)=2\*ROMANII卷第18題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，求的通項(xiàng)公式；證明：當(dāng)時(shí)，【答案】解：設(shè)數(shù)列的公差為d，由題意知：，即，解得由知，，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)且時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)且時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，【解析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.由已知，，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式展開，即可得出等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式由知，可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而，分兩情況討論，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中含有偶數(shù)項(xiàng)，相鄰兩項(xiàng)兩兩一組先求和，得出當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，此時(shí)最后只需證明即可.【2022年真題】5.（2022·新高考I卷第17題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，是公差為的等差數(shù)列.

求的通項(xiàng)公式;

證明：【答案】解：，

則①，②;

由②①得：

當(dāng)且時(shí)，

，

又也符合上式，因此

，

，

即原不等式成立.

【解析】本題考查了數(shù)列與不等式，涉及裂項(xiàng)相消法求和、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式等知識(shí)，屬中檔題.

利用進(jìn)行求解然后化簡(jiǎn)可求出的通項(xiàng)公式;

由可求出，然后再利用裂項(xiàng)相消法求和可得.

6.（2022·新高考II卷第17題）已知為等差數(shù)列，為公比為2的等比數(shù)列，且

證明：

求集合中元素個(gè)數(shù).【答案】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d

由，知，故

由，知，

故故，整理得，得證.

由知，由知：

即，即，

因?yàn)?，故，解得?/p>

故集合中元素的個(gè)數(shù)為9個(gè).

【解析】本題考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解指數(shù)不等式，集合中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.

【2021年真題】7.（2021·新高考II卷第12題）（多選）設(shè)正整數(shù)，其中，記，則(

)A. B.

C. D.【答案】ACD

【解析】【分析】本題重在對(duì)新定義進(jìn)行考查，合理分析所給條件是關(guān)鍵，屬于拔高題.

利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【解答】解：對(duì)于A選項(xiàng)，，，

則，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選8.（2021·新高考I卷第16題）某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折．規(guī)格為的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對(duì)折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推．則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為____________________；如果對(duì)折次，那么__________【答案】5；【解析】【分析】本題考查實(shí)際生活中的數(shù)列問(wèn)題，由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.根據(jù)題設(shè)列舉，可以得到折疊4次時(shí)會(huì)有五種規(guī)格的圖形.由面積的變化關(guān)系得到面積通項(xiàng)公式，從而由錯(cuò)位相減法得到面積和.【解答】解：對(duì)折3次時(shí)，可以得到，，，四種規(guī)格的圖形.

對(duì)折4次時(shí)，可以得到，，，，五種規(guī)格的圖形.

對(duì)折3次時(shí)面積之和，對(duì)折4次時(shí)面積之和，即，，，，……

得折疊次數(shù)每增加1，圖形的規(guī)格數(shù)增加1，且，

記，

則，

，

得，

，

故答案為5；9.（2021·新高考I卷第17題）已知數(shù)列滿足，，記，寫出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求的前20項(xiàng)和.【答案】解：=1\*GB2⑴，且，則，，且，則；，可得，故是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；故.數(shù)列的前20項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為，又由題中條件有，，，，故可得的前20項(xiàng)的和【解析】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系式運(yùn)用，等差數(shù)列通項(xiàng)公式求法，數(shù)列求和，考查了分析和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

結(jié)合題干給的遞推關(guān)系，可以快速的算出和，同時(shí)利用可判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列通項(xiàng)公式;

的前20項(xiàng)的和可分組求和，求出其對(duì)應(yīng)的偶數(shù)項(xiàng)的和，再結(jié)合奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的關(guān)系求解即可.10.（2021·新高考II卷第17題）記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求使成立的n的最小值．【答案】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，從而有，，從而，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，

則，則不等式即，整理可得，解得或，又n為正整數(shù)，故n的最小值為【解析】本題考查等差數(shù)列基本量的求解，是等差數(shù)列中的一類基本問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.

由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【2020年真題】11.（2020·新高考I卷第14題、II卷第15題）將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列，則的前n項(xiàng)和為__________.【答案】

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的特定項(xiàng)與性質(zhì)以及等差數(shù)列求和.

利用公共項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為

，公差為的等差數(shù)列，利用求和公式即可求出答案.【解答】解：數(shù)列

的首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列；數(shù)列

的首項(xiàng)是，公差為的等差數(shù)列；公共項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為

，公差為的等差數(shù)列;故

的前n

項(xiàng)和

為：

.故答案為12.（2020·新高考I卷第18題）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足求的通項(xiàng)公式；記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和【答案】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，且，

，，

，

解得舍或，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為

由知，，，，，，，

則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

以此類推，，，

，，

，，

【解析】本題考查了數(shù)列求和及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，屬中檔題．

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程，求出首項(xiàng)和公比，即可求出通項(xiàng)公式;

根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，歸納數(shù)