第四節

有阻尼的受迫振動定義：受迫振動：有阻尼的系統在外界控制的持續激勵作用下所產生的振動。激勵——外界力、基座運動所產生的慣性力。響應——激勵所引起的系統的振動狀態。非自治系統：顯含時間變量的系統。彈簧－質量系統設外力幅值.外力的激勵頻率.振動微分方程：實部和虛部分別與和相對應。m

為復數變量，分別與和相對應。

二、有阻尼受迫振動顯含t，非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態響應持續等幅振動穩態響應設非齊次方程的特解，即穩態響應：

即

（系統的阻尼比）靜變形歐拉公式：（實部和虛部分別相等）振幅放大因子相位差振動微分方程：設：復頻響應函數

：穩態響應的復振幅振動微分方程：振幅放大因子相位差

系統與幅值相等的常值力施加于物體上所引起的彈簧靜變形（系統在靜力F0作用下的靜偏位）；

系統的振幅放大因子，它是關于頻率比的函數（系統的幅頻特性）；

系統的頻率比；

系統的穩態響應的實振幅；系統的響應與激勵的相位角，它是關于頻率比的函數（系統的相頻特性）。特解全解（1）線性系統對簡諧激勵的穩態響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動；（2）穩態響應的振幅及相位差只取決于系統本身的物理性質（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統進入運動的方式（即初始條件）無關。無阻尼受迫振動特解：有阻尼受迫振動結論例題1：建立如圖所示系統的運動微分方程并求穩態響應。kmkmm解：運動微分方程：其穩態響應為：k2mk1x1x2例題2在圖所示系統中，已知初始時物塊靜止且兩彈簧均為原長。求物塊運動規律。解：取坐標軸對連接點A列平衡方程：對m列運動微分方程：消去（3）由（3）得：（2）（1）0123012345三、穩態響應的特性（1）當s<<1（）簡諧激勵作用下穩態響應特性：結論：響應的振幅A與靜位移B相當激振頻率相對于系統固有頻率很低（2）當s>>1（）激振頻率相對于系統固有頻率很高結論：響應的振幅很小0123012345（3）在s>>1，s<<1領域對應于不同值對應于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著結論：系統可以按無阻尼情況考慮（4）當對應于較小值，迅速增大,當結論：共振振幅無窮大但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在s=1附近的區域內，增加阻尼使振幅明顯下降0123012345（5）對于有阻尼系統，并不出現在s=1處，而且稍偏左。（6）當結論：振幅無極值Q為系統的品質因數

阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭相頻特性曲線（1）當s<<1（）以s為橫坐標曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同;（2）當s>>1（）位移與激振力反相;（3）當共振時的相位差為，與阻尼無關.三、穩態響應的特性

ω/ω0＜1時響應同相，

ω/ω0＞1時響應反相。

例題3：已知等效質量m且可簡化于桿長處，阻尼為c，彈簧剛度為k，，水平位置平衡，動力學微分方程；

s＝1（接近共振），且很小時系統的振幅和相位角試求：解:(1)動力學微分方程：

動力學微分方程(2)振幅（最大擺角)質點的振幅四、受迫振動的過渡階段在系統受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發生,系統的響應是暫態響應與穩態響應的疊加。非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態響應持續等幅振動穩態響應初始條件響應自由伴隨振動強迫響應忽略阻尼，動力學方程及初始條件例：計算初始條件，以使的響應只以頻率振動。解：全解：由求一階導數：由的全解：因此：的全解：相同不同若激勵頻率與固有頻率十分接近令：ε

小量考慮零初始條件，有：的全解：代入：可看作頻率為但振幅按規律緩慢變化的振動。

這種在接近共振時發生的特殊振動現象稱為”拍”。0拍的周期：圖形包絡線：

阻尼自由振動當隨t增大，振幅無限增大，無阻尼系統共振的情形。

0響應曲線零初始條件(2)s>1(1)s<1穩態受迫振動進行一個循環時間內，自由伴隨振動完成多個循環。自由伴隨振動進行一個循環時間內，穩態受迫振動完成多個循環。受迫振動響應成為自由振動響應曲線上迭加的一個振蕩運動。受迫振動響應成為穩態響應曲線上迭加的一個振蕩運動。00穩態響應全響應討論有阻尼系統在過渡階段對簡諧激勵的響應初始條件響應自由伴隨振動受迫響應利用前述相同的方法，有：初始條件響應經過充分長時間后，作為瞬態響應的前兩種振動都將消失，只剩穩態受迫振動。自由伴隨振動受迫響應0強迫響應全響應初始條件響應自由伴隨振動受迫響應對于零初始條件：小結：受迫振動的過渡階段初始條件響應自由伴隨振動受迫響應初始條件響應自由伴隨振動受迫響應初始條件響應受迫響應初始條件響應受迫響應作業：2.5機械阻抗與導納工程中常用機械阻抗來分析結構的動力特性.機械阻抗定義為簡諧激振時復數形式的輸入與輸出之比.動力學方程：：輸入：輸出代入，得：復頻響應函數.位移阻抗：補充位移阻抗與復頻響應函數互為倒數，也稱為導納。

輸出也可以定義為速度或加速度，相應的機械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗機械阻抗的倒數稱為機械導納，相應、、分別有位移導納、速度導納和加速度導納.位移阻抗速度阻抗加速度阻抗機械阻抗和機械導納都僅僅取決于系統本身的動力特性（m，k，