專題01集合的基本運算考點預測：1、子集一般地，對于兩個集合,,如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集，記為或（）讀作集合包含于集合（或集合包含集合）.關于子集有下面的兩個性質：（1）反身性：；（2）傳遞性：如果，且，那么.2、真子集如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記為（或），3、集合的相等如果集合，且，此時集合與集合的元素是一樣的，我們就稱集合與集合相等，記為.4、空集我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.我們規(guī)定空集是任何一個集合的子集，空集是任何一個非空集合的真子集，即（1）（是任意一個集合）；（2）（）.5、并集自然語言：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與的并集，記作（讀作“并”）.符號語言：.理解：或包括三種情況：且；且；且.并集的性質：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.6、交集自然語言：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作理解：當與沒有公共元素時，不能說與沒有交集，只能說與的交集是.交集的性質：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），；（6）.7、補集（1）全集的概念：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作.（2）補集的概念自然語言：對于一個集合，由屬于全集且不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，記為.符號語言：補集的性質（1）；（2）；（3）；（4）.【典型例題】例1．（2022·河南·鄭州市回民高級高一階段練習）若，，，則這三個集合間的關系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，，，，而，{偶數(shù)}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一個元素都是集合中的元素，即，所以.故選：C例2．（2022·河南·高一階段練習）下列四個寫法：①；②；③；④.其中正確寫法的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】對于①，是集合，也是集合，所以不能用這個符號，故①錯誤；對于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正確；對于③，由集合的無序性可知兩集合是同一個集合，再由一個集合的本身是該集合的子集，故③正確；對于④，表示直線，兩者毫無關聯(lián)，故④錯誤；綜上，正確寫法的有2個.故選：B.例3．（多選題）（2022·寧夏·銀川高一階段練習）已知集合，，集合A與的關系如圖，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】由圖知：，，根據(jù)選項可知或．故選：BD.例4．（2022·河南·鄭州市回民高級高一階段練習）已知集合，集合(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為，且所以，即是方程的根所以，得則所以．（2）因為，所以對于方程，①當即時，，滿足②當即或時，因為，所以或或當時，，得當時，，無解當時，，無解綜上所述，．例5．（2022·遼寧·新民市第一高級高一期末）已知集合，.(1)求；(2)已知，若，求實數(shù)的取值集合.【解析】（1）因為，，所以，所以或；（2）因為，且，①當時，即，解得時，符合題意；②當時，則，解得，綜上，所求的集合是或.例6．（2022·湖南·株洲市淥口區(qū)第三高一階段練習）已知全集，求.【解析】因為，所以，或，因為或，所以或.例7．（2022·吉林·遼源市田家炳高級中高一階段練習）已知集合為全體實數(shù)集，或，.(1)若，求;(2)若，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當時，，所以或，又或，所以或；（2）由題可得，當時，則，即時，此時滿足，②當時，則，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.例8．（2022·湖北·黃梅國際育才高級高一階段練習）已知集合，．(1)若，求實數(shù)的取值范圍(2)當集合變?yōu)闀r，求的非空真子集的個數(shù)(3)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為，所以.當時，由，得，符合題意當時，根據(jù)題意，可得解得綜上，實數(shù)的取值范圍是．（2）當時，，共有個元素，所以的非空真子集的個數(shù)為．（3）當時，由知當時，

可得或解得．綜上，實數(shù)的取值范圍是或．例9．（2022·湖北·高一階段練習）已知集合，，其中．(1)若，求，的值；(2)若對，有，求，的取值范圍．【解析】（1）集合，，其中．解得：或．

若，則，

將代入得：，

則．則，則，當時，，解得，綜上，，或，．（2）解:若對，有，則，當時，，，，，

或時，，，；

當，即，或時，則，由（1）得：，；

當時，即時，，對，故成立，

綜上，或或或．【過關測試】一、單選題1．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，若，則中所有元素之和為（

）A．3 B．1 C． D．【答案】C【解析】若，則，矛盾；若，則，矛盾，故，解得（舍）或，故，元素之和為，故選：C.2．（2022·全國·高一課時練習），對于任意實數(shù)x恒成立，則下列關系中立的是A． B． C． D．【答案】A【解析】，對m分類：（1）時，恒成立；（2）時，需要，解得，綜合（1）（2）知，所以，因為，所以，故選A.3．（2022·全國·高一課時練習）設集合，，則A∪B中的元素個數(shù)是A．11 B．10 C．16 D．15【答案】C【解析】由題意可得：,,據(jù)此可得：，則A∪B中的元素個數(shù)是16.本題選擇C選項.4．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，若中只有一個元素，則的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【答案】B【解析】集合中只含有一個元素，也就意味著方程只有一個解；（1）當時，方程化為，只有一個解；（2）當時，若只有一個解，只需，即；綜上所述，可知的值為或.故選：B5．（2022·全國·高一課時練習）已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因為，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.6．（2022·全國·高一課時練習）已知集合，，若，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題得，因為，所以當時，當時，；當時，；故實數(shù)的取值集合是.故選：C7．（2022·河南·高一階段練習）設集合，則滿足的集合的個數(shù)是（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】B【解析】依題意，，因此有，所以滿足條件的的個數(shù)就是集合的子集的個數(shù)，所以符合條件的集合的個數(shù)是.故選：B8．（2022·湖北·襄陽高一階段練習）設全集，集合，若，則的值為（

）A．4 B．2 C．2或4 D．1或2【答案】B【解析】因為所以所以解得：，或所以，所以，所以解得：或，且解得：且所以.故選：B9．（2022·全國·高一單元測試）某單位周一、周二、周三開車上班的職工人數(shù)分別是14，10，8.若這三天中至少有一天開車上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開車上班的職工人數(shù)的最大值是（

）A．6 B．5 C．7 D．8【答案】A【解析】作維恩圖，如圖所示，則周一開車上班的職工人數(shù)為，周二開車上班的職工人數(shù)為，周三開車上班的職工人數(shù)為，這三天都開車上班的職工人數(shù)為x.則，得，得，當時，x取得最大值6.故選：A二、多選題10．（2022·全國·高一課時練習）（多選）下列說法中不正確的是（

）A．集合為無限集B．方程的解構成的集合的所有子集共4個C．D．【答案】ACD【解析】集合，不是無限集，故A中說法不正確；方程的解構成的集合為，其所有子集為，，，，共4個，故B中說法正確；集合的元素為直線上的點，，故，故C中說法不正確；因為，，所以，故D中說法不正確．故選：ACD．11．（2022·遼寧·同澤高中高一開學考試）設，．若，則實數(shù)的值可以為（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】ACD【解析】由得：,當時，,符合題意；當時，，若，則；若，則；由于B中至多有一個元素，故,所以實數(shù)的值可以為，故選：ACD12．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習）已知I為全集，若，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因為，所以，所以；故選：BC13．（2022·全國·高一單元測試）設集合，，則下列選項中，滿足的實數(shù)a的取值范圍可以是（）A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0} D．{a|a≥8}【答案】CD【解析】∵集合，滿足，∴或，解得或．∴實數(shù)a的取值范圍可以是{a|a≤0}或{a|a≥8}．故選：CD．三、填空題14．（2022·寧夏·銀川三沙源上游高一階段練習）已知若，求實數(shù)a的值_____【答案】1或4【解析】因為，，所以，或，或，或，當時，，無解，當時，則，解得，當時，則，無解，當時，則，解得，綜上，或，故答案為：1或415．（2022·江蘇省如皋高一開學考試）已知集合M滿足，則滿足條件的集合有________個.【答案】15【解析】因為，所以中含有元素1，2，且M是真子集，所以M可以是集合與集合的子集的并集，且不能為，所以M共有個，故答案為：15.16．（2022·河南·高一階段練習）某舉辦運動會，比賽項目包括田徑、游泳、球類，經(jīng)統(tǒng)計高一年級有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽，有人參加球類比賽.參加球類比賽的同學中有人參加田徑比賽，有人參加游泳比賽；同時參加田徑比賽和游泳比賽的有人；同時參加三項比賽的有人.則高一年級參加比賽的同學有___________.【答案】【解析】設集合、、分別指參加田徑、游泳、球類比賽的學生構成的集合，由圖可知，高一年級參加比賽的同學人數(shù)為.故答案為：.17．（2022·全國·高一課時練習）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素．請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割______．【答案】，（答案不唯一）【解析】以無理數(shù)分界寫出一組即可，如，．（答案不唯一）；故答案為：，．（答案不唯一）四、解答題18．（2022·湖北·麻城市博達高一階段練習）已知集合，．(1)用列舉法表示集合；(2)求.【解析】（1）由得：或，.（2）由得：，；當時，，；當時，，；當時，，；當且且時，，；綜上所述：當或或時，；當且且時，.19．（2022·北京·101高一階段練習）設集合，，，若，且，求的值．【解析】由題意知，，則或，由，若，則，得，不成立，故，得或，解得，又，所以或.20．（2022·遼寧·沈陽市第八十三高一階段練習）已知全集，集合，．(1)若且，求實數(shù)的值；(2)設集合，若的真子集共有個，求實數(shù)的值．【解析】（1）因為，，因此，．若，則或，解得或．又，所以．（2），，當時，，此時集合共有個真子集，不符合題意，當時，，此時集合共有個真子集，符合題意，綜上所述，．21．（2022·陜西·榆林市第十高一階段練習）已知集合，集合．(1)當時，求；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當時，，則或，故；（2）由可知，，當時，，符合題意；當時，即；綜上，實數(shù)的取值范圍為22．（2022·上海市宜川高一階段練習）設集合，，其滿足（1）：（2）若，則.(1)能否為單元素集，為什么？(2)求出只含兩個元素的集合.(3)滿足題設條件的集合共有幾個？為什么？能否列舉出來.【解析】（1）不能，因為，，且，而，如果是單元素集，必須，解得，與矛盾，所以不能為單元素集；（2）只有兩個元素，，