遼寧省遼陽縣集美學校2023年高三下學期第二次階段考試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．定義在上的函數滿足，則（）A．-1 B．0 C．1 D．22．已知命題：“關于的方程有實根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知橢圓的右焦點為F，左頂點為A，點P橢圓上，且，若，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．的展開式中，滿足的的系數之和為（）A． B． C． D．5．已知函數是定義在上的奇函數，函數滿足，且時，，則（）A．2 B． C．1 D．6．已知向量，（其中為實數），則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知公差不為0的等差數列的前項的和為，，且成等比數列，則（）A．56 B．72 C．88 D．408．函數的圖象大致為()A． B．C． D．9．已知函數，其圖象關于直線對稱，為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象上的所有點（）A．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變B．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變C．先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變D．先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變10．設正項等差數列的前項和為，且滿足，則的最小值為A．8 B．16 C．24 D．3611．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數為()A．1 B．2C．3 D．412．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設變量，，滿足約束條件，則目標函數的最小值是______.14．在數列中，，則數列的通項公式_____.15．已知向量，，滿足，，，則的取值范圍為_________.16．若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）已知橢圓的右頂點為，點在軸上，線段與橢圓的交點在第一象限，過點的直線與橢圓相切，且直線交軸于.設過點且平行于直線的直線交軸于點.（Ⅰ）當為線段的中點時，求直線的方程；（Ⅱ）記的面積為，的面積為，求的最小值.19．（12分）在世界讀書日期間，某地區調查組對居民閱讀情況進行了調查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮居民140人，農村居民60人.在這些居民中，經常閱讀的城鎮居民有100人，農村居民有30人.（1）填寫下面列聯表，并判斷能否有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關？城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030不經常閱讀合計200（2）調查組從該樣本的城鎮居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機選取2人作交流發言，求被選中的2位居民都是經常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設數列，其前項和，又單調遞增的等比數列，，.(Ⅰ)求數列，的通項公式；(Ⅱ)若，求數列的前n項和，并求證：.21．（12分）已知，.（1）解不等式；（2）若方程有三個解，求實數的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，，切點分別為，，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

推導出，由此能求出的值．【詳解】∵定義在上的函數滿足，∴，故選C．【點睛】本題主要考查函數值的求法，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用，屬于中檔題.2、B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故3、C【解析】

不妨設在第一象限，故，根據得到，解得答案.【詳解】不妨設在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力.4、B【解析】

，有，，三種情形，用中的系數乘以中的系數，然后相加可得．【詳解】當時，的展開式中的系數為．當，時，系數為；當，時，系數為；當，時，系數為；故滿足的的系數之和為．故選：B．【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵．5、D【解析】

說明函數是周期函數，由周期性把自變量的值變小，再結合奇偶性計算函數值．【詳解】由知函數的周期為4，又是奇函數，，又，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查函數的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎．6、A【解析】

結合向量垂直的坐標表示，將兩個條件相互推導，根據能否推導的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由，則，所以；而當，則，解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本小題考查平面向量的運算，向量垂直，充要條件等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，應用意識.7、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數列的前n項和公式計算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點睛】本題考查等差數列的前n項和公式，考查等差數列基本量的計算，是一道容易題.8、A【解析】

確定函數在定義域內的單調性，計算時的函數值可排除三個選項．【詳解】時，函數為減函數，排除B，時，函數也是減函數，排除D，又時，，排除C，只有A可滿足．故選：A.【點睛】本題考查由函數解析式選擇函數圖象，可通過解析式研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等等排除，可通過特殊的函數值，函數值的正負，函數值的變化趨勢排除，最后剩下的一個即為正確選項．9、D【解析】

由函數的圖象關于直線對稱，得，進而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數的圖象關于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數的圖象上的所有點“先向左平移個單位長度，得再將橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變,得”即可.故選：D【點睛】本題考查三角函數的圖象與性質，考查圖像變換，考查運算求解能力，是中檔題10、B【解析】

方法一：由題意得，根據等差數列的性質，得成等差數列，設，則，，則，當且僅當時等號成立，從而的最小值為16，故選B．方法二：設正項等差數列的公差為d，由等差數列的前項和公式及，化簡可得，即，則，當且僅當，即時等號成立，從而的最小值為16，故選B．11、D【解析】可以是共4個，選D.12、B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關系及其判定．【思路點睛】先根據兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解析】作出不等式組表示的平面區域,得到如圖的△ABC及其內部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設z=F(x,y)=2x+3y，將直線l:z=2x+3y進行平移，當l經過點A時，目標函數z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=714、【解析】

由題意可得，又，數列的奇數項為首項為1，公差為2的等差數列，對分奇數和偶數兩種情況，分別求出，從而得到數列的通項公式.【詳解】解：∵，∴①，②，①﹣②得：，又∵，∴數列的奇數項為首項為1，公差為2的等差數列，∴當為奇數時，，當為偶數時，則為奇數，∴，∴數列的通項公式，故答案為：.【點睛】本題考查求數列的通項公式，解題關鍵是由已知遞推關系得出，從而確定數列的奇數項成等差數列，求出通項公式后再由已知求出偶數項，要注意結果是分段函數形式．15、【解析】

設，，，，由，，，根據平面向量模的幾何意義，可得A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，為的距離，利用數形結合求解.【詳解】設，，，，如圖所示：因為，，，所以A點軌跡為以O為圓心、1為半徑的圓，C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓，則即的距離，由圖可知，.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義，還考查了數形結合的方法，屬于中檔題.16、【解析】

由焦點坐標得從而可求出，繼而得到橢圓的方程，即可求出長軸長.【詳解】解：因為一個焦點坐標為，則，即，解得或由表示的是橢圓，則，所以，則橢圓方程為所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的幾何意義.本題的易錯點是忽略，從而未對的兩個值進行取舍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.【解析】

（1）對a分三種情況討論求出函數的單調性；（2）對a分三種情況，先求出每一種情況下函數f(x)的最小值，再解不等式得解.【詳解】（1），當時，，在上單調遞增；當時，，，，，∴在上單調遞減，在上單調遞增；當時，，，，，∴在上單調遞減，在上單調遞增.綜上：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知：當時，，∴成立.當時，，，∴.當時，，，∴，即.綜上.【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的單調性和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18、（Ⅰ）直線的方程為（Ⅱ）【解析】

（1）設點，利用中點坐標公式表示點B，并代入橢圓方程解得，從而求出直線的方程；（2）設直線的方程為：，表示點，然后聯立方程，利用相切得出，然后求出切點，再設出設直線的方程，求出點，利用兩點坐標，求出直線的方程，從而求出，最后利用以上已求點的坐標表示面積，根據基本不等式求最值即可.【詳解】解：（Ⅰ）由橢圓，可得：由題意：設點，當為的中點時，可得：代入橢圓方程，可得：所以：所以.故直線的方程為.（Ⅱ）由題意，直線的斜率存在且不為0，故設直線的方程為：令，得：，所以：.聯立：，消，整理得：.因為直線與橢圓相切，所以.即.設，則，，所以.又直線直線，所以設直線的方程為：.令，得，所以：.因為，所以直線的方程為：.令，得，所以：.所以.又因為..所以（當且僅當，即時等號成立）所以.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程以及求橢圓中的最值問題，最值問題一般是把目標式求出，結合目標式特點選用合適的方法求解，側重考查數學運算的核心素養，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運算量較大，屬于難題.19、（1）見解析，有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）【解析】

（1）根據題中數據得到列聯表，然后計算出，與臨界值表中的數據對照后可得結論；（2）由題意得概率為古典概型，根據古典概型概率公式計算可得所求.【詳解】（1）由題意可得：城鎮居民農村居民合計經常閱讀10030130不經常閱讀403070合計14060200則，所以有99%的把握認為經常閱讀與居民居住地有關.（2）在城鎮居民140人中，經常閱讀的有100人，不經常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經常閱讀的有5人，記為、、、、；不經常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機選取2人作交流發言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種，被選中的位居民都是經常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【點睛】本題主要考查古典概型的概率計算，以及獨立性檢驗的應用，利用列舉法是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力.對于古典概型，要求事件總數是可數的，滿足條件的事件個數可數，使得滿足條件的事件個數除以總的事件個數即可，屬于中檔題.20、（1），；（2）詳見解析.【解析】

（1）當時，，當時，，當時，也滿足，∴，∵等比數列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，顯然數列是遞增數列，∴，即.）21、（1）；（2）.【解析】

（1）對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結果;（2）.作出函數的圖象,當直線與函數的圖象有三個公共點時，方程有三個解，由圖可得結果.【詳解】（1）不等式，即為.當時，即化為，得，此時不等式的解集為，當時，即化為，解得，此時不等式的解集為.綜上，不等式的解集為.（2）即.作出函數的圖象如圖所示，當直線與函數的圖象有三個公共點時，方程有三個解，所以.所以實數的取值范圍是.【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求