第二節

梁的彎曲振動一、動力學方程考慮細長梁的橫向彎曲振動假設：梁各截面的中心慣性軸在同一平面內,外載荷作用在該平面內,梁在該平面作橫向振動（微振）這時梁的主要變形是彎曲變形,在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中性軸轉動慣量的影響。伯努利－歐拉梁（Bernoulli-EulerBeam）外部力：

單位長度梁上分布的外力梁參數：單位長度梁的質量

截面對中性軸的慣性矩

彈性模量,梁橫截面積微段受力分析

截面上的剪力和彎矩微段的慣性力微段所受的外力距原點

處的截面在t時刻的橫向位移動力平衡關系由達朗貝爾原理得此方程需待定2個關于的積分常數。故必須列出4個邊界條件，2個初始條件。4個關于的積分常數二、固有頻率和模態函數自由振動方程（1）式的解為

（2）式因除少數特殊情形，一般無解析解對于等截面為常數，則設有本特征方程

4個本征值:通解為或式中由梁的邊界條件導出系統的振動解由系統初始位移和速度確定。由邊界條件確定。解出無窮個固有頻率對應有模態函數由此構成第個主振動固定端條件（位移邊界）

撓度和轉角等于零簡支端（鉸支）（位移、力混界）撓度和彎矩等于零自由端（力邊界）彎矩和剪力等于零常見的約束狀況與邊界條件例題1：求簡支梁的固有頻率和模態

，

解：

由于

解出

固定鉸：撓度和截面彎矩為零滑動鉸：撓度和截面彎矩為零模態函數令頻率方程

例題2：求懸臂梁的固有頻率和模態

，

解：模態函數固定端：撓度和截面轉角為零自由端：彎矩和截面剪力為零其中參數定義為頻率方程可利用數值方法和圖解法各階固有頻率為對應的各階模態函數為鉛垂梁的前三階模態形狀例題3

求圖示結構梁的頻率方程。圖中彈性支承的剛度均為已知。

剪力平衡條件：彎矩平衡條件：解：一端固定，另一端有彈性支撐邊界條件固定端：撓度和截面轉角為零彈性支撐端：剪力、彎矩分別與直線彈簧反力、卷簧反力矩相等彈簧二：直線彈簧，與撓度成正比彈簧一：卷簧，與截面轉角成正比固定端

令

彈簧支撐端解出頻率方程：導出懸臂梁頻率方程：例題4：

懸臂梁自由端附有質量求頻率方程。

解：固定端：自由端：彎矩為零，剪力與質量慣性力平衡利用相同的方法，得頻率方程：其中：為集中質量與梁質量之比為梁質量說明：以上分析中沒有考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響，因此以上有關梁的分析只適用于細長梁（梁的長度大于梁高度5倍以上）若梁為非細長梁，必須考慮剪切變形和截面轉動慣量的影響

鐵木辛柯梁（Timoshenkobeam）考慮剪切變形使得梁的剛度降低，考慮轉動慣量使得梁的慣性增加，這兩個因素都會使梁的固有頻率降低。三、模態函數的正交性變截面梁的自由振動方程：主振動：代入，得：設：有：（1）右端乘沿全梁長度積分，分部積分得注意到導出的邊界項，在任意邊界支承情況下均為零。在梁的簡單邊界上，總有撓度或剪力中的一個與轉角或彎矩中的一個同時為零。例如：(2)式兩邊乘并沿梁長積分可得：同理，相減得：(1)式左端沿全梁長度積分：若等截面為常數，則表示不同固有頻率的模態函數(主振型)關于剛度的正交性。若等截面為常數，為權函數，（剛度正交性）為權函數，

表示不同固有頻率的模態函數(主振型)關于質量的正交性。四、主質量和主剛度第階主質量第階主剛度正則模態函數各項乘后沿全梁長積分，利用正交性和分部積分結果其中

五、模態疊加法得完全解耦方程梁的振動方程：第個正則坐標方程

第個正則坐標的廣義力假定梁的初始條件為：代入：兩式乘并沿梁長積分，由正交性條件可得：得到后，即可得到梁的響應第個正則坐標方程第個正則模態響應：

如果作用在梁上的載荷不是分布力、力矩，而是集中力和集中力矩.利用函數，可以表示為:有：例題1：

等截面簡支粱受初始位移激勵，求響應。其中解：

因此

為奇數為偶數響應：

可以看出，響應中第三階諧波只有第一階的1/243，更高階諧波所占的成分就更少。這是由于初始位移接近于第一階模態的緣故。例題2：汽車勻速過橋問題可簡化為常集中力沿梁勻速移動如圖，試求初始靜止條件下梁的響應。解:

（前題已求出）

總響應：

求出

再按例題4方法求解。其中可令后梁自由振動，新的初始條件：

（3）當時產生第階共振；（2）第一項車輛載荷激起的受迫振動響應，第二項為車重自由振動；（1）簡支梁初始響應中點受常力P作用產生靜變形，求：當P突然移出時梁的響應。例題3：解：由材力得初始條件:梁中點的靜撓度.梁兩端簡支固有頻率：振型函數：代入歸一化條件：正則模態梁兩端簡支固有頻率：振型函數：代入歸一化條件：模態初始條件：模態初始條件：沒有激振力，正則廣義力為零正則廣義力模態響應：例題4：簡支梁中點受力矩作用，求：梁的穩態響應。解：由上例知：固有頻率：振型函數：正則廣義力：因此有：第個正則方程：例題5：懸臂梁自由端作用有正弦力