江蘇省泰州市泰州棟梁學校2024屆高二數學第一學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，，一輛車從甲地到乙地，恰好遇到2個紅燈的概率為（）A. B.C. D.2．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.3．設P為橢圓C：上一點，，分別為左、右焦點，且，則（）A. B.C. D.4．如圖，已知雙曲線的左右焦點分別為、，，是雙曲線右支上的一點，，直線與軸交于點，的內切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.5．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．算盤是中國傳統計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發明的，“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數術記遺》，其中有云：“珠算控帶四時，經緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態，自右向左，分別是個位、十位、百位…，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小．現在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下撥一粒上珠，往上撥3粒下珠，得到的數為質數（除了1和本身沒有其它的約數）的概率是（）A. B.C. D.7．已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.8．已知圓與圓，則兩圓的位置關系是（）A.外切 B.內切C.相交 D.相離9．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上.若為鈍角三角形，則的取值范圍是A. B.C. D.10．命題“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，11．已知，為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足，那么點P到x軸的距離為（）A. B.C. D.12．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數有且僅有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是__________.14．設在中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，從下列四個條件：①；②；③；④中選出三個條件，能使滿足所選條件的存在且唯一的所有c的值為______.15．已知B(，0)是圓A：內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為_________________.16．已知拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是，則該拋物線的標準方程為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數的圖象在點處的切線與直線平行（是自然對數的底數）.（1）求的值；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）已知：對任意，都有；：存在，使得（1）若“且”為真，求實數的取值范圍；（2）若“或”為真，“且”為假，求實數的取值范圍19．（12分）已知橢圓，點在上，，且（1）求出直線所過定點的坐標；（不需要證明）（2）過A點作的垂線，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）已知函數在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，離心率等于，點，且的面積等于（1）求橢圓的標準方程；（2）已知斜率存在且不為0的直線與橢圓交于A，B兩點，當點A關于y軸的對稱點在直線PB上時，直線是否過定點?若過定點，求出此定點；若不過，請說明理由22．（10分）在平面直角坐標系中，點在拋物線上（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點，，且，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用相互獨立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解【詳解】由各路口信號燈工作相互獨立，可得某人從甲地到乙地恰好遇到2次紅燈的概率：故選：B2、B【解析】根據導數運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B3、B【解析】根據橢圓的定義寫出，再根據條件即可解得答案.【詳解】根據P為橢圓C：上一點，則有，又，所以，故選：B.4、D【解析】根據給定條件結合直角三角形內切圓半徑與邊長的關系求出雙曲線實半軸長a，再利用離心率公式計算作答.【詳解】依題意，，的內切圓半徑，由直角三角形內切圓性質知：，由雙曲線對稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點睛】結論點睛：二直角邊長為a，b，斜邊長為c的直角三角形內切圓半徑.5、C【解析】利用函數在上單調遞減即可求解.【詳解】解：因為函數在上單調遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.6、B【解析】根據古典概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】依題有，算盤所表示的數可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是質數的有：17，71，53，故所求事件的概率為故選：B7、A【解析】由直線斜率與方向向量的關系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A8、A【解析】求得兩圓的圓心和半徑，再根據圓心距與半徑之和半徑之差的關系，即可判斷位置關系.【詳解】對圓，其圓心，半徑；對圓，其圓心，半徑；又，故兩圓外切.故選：A.9、C【解析】根據雙曲線的幾何性質，結合余弦定理分別討論當為鈍角時的取值范圍，根據雙曲線的對稱性，可以只考慮點在雙曲線上第一象限部分即可.【詳解】由題：雙曲線：的左、右焦點分別為，，點在雙曲線上，必有，若為鈍角三角形，根據雙曲線的對稱性不妨考慮點在雙曲線第一象限部分：當為鈍角時，在中，設，有，，即，，所以；當時，所在直線方程，所以，，，根據圖象可得要使，點向右上方移動，此時，綜上所述：的取值范圍是.故選：C【點睛】此題考查雙曲線中焦點三角形相關計算，關鍵在于根據幾何意義結合特殊情況分類討論，體現數形結合思想.10、A【解析】特稱命題的否定是全稱命題【詳解】的否定形式是故選：A11、D【解析】設，由雙曲線的性質可得的值，再由，根據勾股定理可得的值，進而求得，最后利用等面積法，即可求解【詳解】設，，為雙曲線的兩個焦點，設焦距為，，點P在雙曲線上，，，，，，的面積為，利用等面積法，設的高為，則為點P到x軸的距離，則，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的性質，難度不大.12、D【解析】求出函數的導數，再求出并借助導數的幾何意義求解作答.【詳解】由求導得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】函數有兩個不同零點即y=a與g(x)=圖像有兩個交點，畫出近似圖象即得a的范圍﹒【詳解】∵函數有且僅有兩個不同的零點，令，則y=a與g(x)=圖像有兩個交點，∵，∴當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，∴當時，，作出函數與的圖象，∴當時，y=a與g(x)有兩個交點﹒故答案為：﹒14、，##，【解析】由①②結合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結合余弦定理可求，若選②③④，結合正弦定理即可求解【詳解】由①②結合正弦定理，所以，此時角不唯一，所以故所選條件中不能同時有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因為，，所以，由正弦定理得，，故答案為：，15、【解析】利用橢圓的定義可得軌跡方程.【詳解】連接，由題意，，則，由橢圓的定義可得動點D的軌跡為橢圓，其焦點坐標為，長半軸長為2，故短半軸長為1，故軌跡方程為：.故答案為：.16、【解析】根據焦點坐標即可得到拋物線的標準方程【詳解】因為拋物線的頂點為坐標原點，焦點坐標是，所以，解得，拋物線的標準方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出函數的導函數，根據題意結合導數的幾何意義列出方程，解之即可得解；（2）在上恒成立，即在上恒成立，從而，令，利用導數求出函數的最小值，即可求得實數的取值范圍【小問1詳解】解：，因為函數的圖象在點處的切線與直線平行，所以，解得；【小問2詳解】解：在上恒成立，即在上恒成立，，，令，則，當時，；當時，，函數在上單調遞減，有上單調遞增，，，即實數的取值范圍是18、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得，均為真命題，分別求得為真命題，為真命題時，實數的取值范圍，再由集合的交集運算求得答案；（2）由已知得，一真一假，建立不等式組，求解即可.【小問1詳解】解：因為“且”為真命題，所以，均為真命題若為真命題，則，解得；若為真命題，則，當且僅當，即時，等號成立，此時故實數的取值范圍是；【小問2詳解】解：若“或”為真，“且”為假，則，一真一假當真，假時，則得；當假，真時，則得故實數的取值范圍為19、（1）（2）存在，【解析】（1）分斜率存在和斜率不存在兩種情況，當斜率存在時，設出直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理列出方程，求出定點坐標，當斜率不存在時，設出點的坐標進行求解；（2）結合第一問的定點坐標，結合直角三角形斜邊中線得到存在點，使得為定值，求出結果.【小問1詳解】設點，若直線斜率存在時，設直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，因為，所以，即，根據，代入整理可得：，所以，整理化簡得:，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點【小問2詳解】由（1）可知因為，取中點，則此時，【點睛】直線過定點問題，一般處理思路是分斜率存在和斜率不存在兩種情況，特別是斜率存在時，設出直線為，聯立后用韋達定理得到兩根之和與兩根之積，結合題干條件得到等量關系，求出的關系，進而得到定點坐標.20、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據導數幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導數可求得在上單調遞增，從而得到，由此可得結論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調遞增，，在上單調遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導數證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉化為函數最值的求解問題；通過構造函數，利用導數求函數最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結論.21、（1）（2）【解析】（1）用待定系數法求出橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為,設，用“設而不求法”表示出和.表示出直線PB，把A關于y軸的對稱點為帶入后整理化簡，即可得到，從而可以判斷出直線恒過定點.【小問1詳解】由題意可得：，解得：，所以橢圓的標準方程為：.【小問2詳解