簡單計數問題：容斥原理【教材分析】本節課是有限集合中元素個數的計算，本質是容斥原理的應用.在計數類問題中，容斥原理與排列組合、構造數列、構造對應關系等是常用的幾種方法.【課型】新授課【教學目標】1、通過排列組合基礎知識的學習，掌握有關計數辦法，知道容斥原理的基本形式.2、通過韋恩圖了解容斥原理的二元和三元形式，培養學生數形結合思想的應用.3、了解并知道容斥原理的一般表達形式，會在實際應用中解答相關問題.【教學重點】容斥原理的二元和三元形式.【教學難點】容斥原理在復雜計數問題中應用.【教學過程】一、新課引入問題1：集合A和集合B分別有3和4個元素，試問集合有幾個元素？問題2：在正整數1,2,3，，500中，能被2或3或5整除的數有幾個？請帶著上述問題，閱讀必修I課本第13-14頁.二、知識講授1.有限集合元素個數的記法：若集合A的元素個數是有限個，則A中元素個數記為，也可以記為.2.容斥原理：（1）若有限集合A,B,C，則：;.（2）設為有限集，則:3.典型例題例1.在正整數1-500中，能被2或3或5整除的數有幾個？解：令正整數1-500中，能被2或3或5整除的數的集合分別為A,B,C.則,所以=250+166+100-83-50-33+16=366即在正整數1-500中，能被2或3或5整除的數有366個.例2.有3個紅球，3個黃球，3個藍球，同色球不加區別，現將這9個球排成一行，要求同色球不全相鄰，有多少個不同的排法？解：用S表示這9個球排成一行的全排列的集合，A,B,C分別表示S中3個紅球，3個黃球，3個藍球排在一起的全排列的集合.則：即同色求不全相鄰的排法有1314種.例3.將與105互質的所有正整數從小到大排成一個數列，求這個數列的第1000項.解：設則S中與105互質的正整數的個數為：記所有與105互質的數記為數列.例4．（錯排問題）設集合的一個排列滿足，則這樣的排列為的一個錯位排列.求的所有錯位排列的個數.解：將集合的所有排列記為S.當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，；當n=5時，注：本題就是錯裝信封問題，雅各布伯努利與柯西分別獨立解答了這個問題。其中雅各布伯努利的解答是利用容斥原理，歐拉的解答是構造數列，你敢嘗試嗎？他們兩人都是偉大的數學家，具體簡介見閱讀材料。4.課堂練習（1）某校足球隊有38人，籃球隊有15人，排球隊有20人.3個隊隊員總數為58人，且只有4個人同時參加3個隊，則同時參加兩個隊的隊員有人.（2）不超過120的素數有個.（3）六個字母a,b,c,d,e,f的全排列中，不出現ace和df的排列數有個.（4）求由9個字母的全排列中，只有四個字母不在原來位置的排列數.答案答案（1）19（2）30（3）582（4）1134閱讀材料：錯裝信封問題的典故雅各布伯努利瑞士的伯努利家族3代人中產生了8位科學家，出類拔萃的至少有3位；而在他們一代又一代的眾多子孫中，至少有一半相繼成為杰出人物。伯努利家族的后裔有不少于120位被人們系統地追溯過，他們在數學、科學、技術、工程乃至法律、管理、文學、藝術等方面享有名望，有的甚至聲名顯赫。最不可思議的是這個家族中有兩代人，他們中的大多數數學家，并非有意選擇數學為職業，然而卻忘情地沉溺于數學之中，有人調侃他們就像酒鬼碰到了烈酒。老尼古拉·伯努利（NicolausBernoulli，公元1623～1708年）生于巴塞爾，受過良好教育，曾在當地政府和司法部門任高級職務。他有3個有成就的兒子。其中長子雅各布1654年12月27日，雅各布·伯努利生于巴塞爾，畢業于巴塞爾大學，1671年17歲時獲藝術碩士學位。這里的藝術指“自由藝術”，包括算術、幾何學、天文學、數理音樂和文法、修辭、雄辯術共7大門類。遵照父親的愿望，他于1676年22歲時又取得了神學碩士學位。然而，他也違背父親的意愿，自學了數學和天文學。1676年，他到日內瓦做家庭教師。從1677年起，他開始在那里寫內容豐富的《沉思錄》。1678年和1681年，雅各布·伯努利兩次外出旅行學習，到過法國、荷蘭、英國和德國，接觸和交往了許德、玻意耳、胡克、惠更斯等科學家，寫有關于彗星理論（1682年）、重力理論（1683年）方面的科技文章。1687年，雅各布在《教師學報》上發表數學論文《用兩相互垂直的直線將三角形的面積四等分的方法》，同年成為巴塞爾大學的數學教授，直至1705年8月16日逝世。1699年，雅各布當選為巴黎科學院外籍院士；1701年被柏林科學協會（后為柏林科學院）接納為會員。許多數學成果與雅各布的名字相聯系。例如懸鏈線問題（1690年），曲率半徑公式（1694年），“伯努利雙紐線”（1694年），“伯努利微分方程”（1695年），“等周問題”（1700年）等。雅各布對數學最重大的貢獻是在概率論研究方面。他從1685年起發表關于賭博游戲中輸贏次數問題的論文，后來寫成巨著《猜度術》，這本書在他死后8年，即1713年才得以出版。最為人們津津樂道的軼事之一，是雅各布醉心于研究對數螺線，這項研究從1691年就開始了。他發現，對數螺線經過各種變換后仍然是對數螺線，如它的漸屈線和漸伸線是對數螺線，自極點至切線的垂足的軌跡，以極點為發光點經對數螺線反射后得到的反射線，以及與所有這些反射線相切的曲線（回光線）都是對數螺線。他驚嘆這種曲線的神奇，竟在遺囑里要求后人將對數螺線刻在自己的墓碑上，并附以頌詞“縱然變化，依然故我”，用以象征死后永生不朽。歐拉歐拉1707年4月15日生于瑞士巴塞爾，1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡。他生于牧師家庭。15歲在巴塞爾大學獲學士學位，翌年得碩士學位。1727年，歐拉應圣彼得堡科學院的邀請到俄國。1731年接替丹尼爾·伯努利成為物理教授。他以旺盛的精力投入研究，在俄國的14年中，他在分析學、數論和力學方面作了大量出色的工作。1741年受普魯士腓特烈大帝的邀請到柏林科學院工作，達25年之久。在柏林期間他的研究內容更加廣泛，涉及行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學，這些工作和他的數學研究相互推動。歐拉這個時期在微分方程、曲面微分幾何以及其他數學領域的研究都是開創性的。1766年他又回到了圣彼得堡。

歐拉是18世紀數學界最杰出的人物之一，他不但在數學上作出偉大貢獻，而且把數學用到了幾乎整個物理領域。他又是一個多產作者。他寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》都成為數學中的經典著作。除了教科書外，他的全集有74卷。

歐拉引入了空間曲線的參數方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達式。1766年他出版了《關于曲面上曲線的研究》，建立了曲面理論。這篇著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，是微分幾何發展史上的一個里程碑。歐拉在分析學上的貢獻不勝枚舉。如他引入了Γ函數和B函數，證明了橢圓積分的加法定理，最早引入了二重積分等等。數論作為數學中一個獨立分支的基礎是由歐拉的一系列成果所奠定的。他還解決了著名的組合問題：柯尼斯堡七橋問題。在數學的許多分支中都常常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理。

小時候他就特別喜歡數學，不滿10歲就開始自學《代數學》。這本書連他的幾位老師都沒讀過。可小歐拉卻讀得津津有味，遇到不懂的地方，就用筆作個記號，事后再向別人請教。1720年，13歲的歐拉靠自己的努力考入了巴塞爾大學,得到當時最有名的數學家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667-1748年）的精心指導．。這在當時是個奇跡，曾轟動了數學界。小歐拉是這所大學，也是整個瑞士大學校園里年齡最小的學生。歐拉淵博的知識，無窮無盡的創作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！他從19歲開始發表論文，直到76歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數論中的歐拉函數，微分方程的歐拉方程，級數論的歐拉常數，變分學的歐拉方程，復變函數的歐拉公式等等，數也數不清．他對數學分析的貢獻更