海口市重點中學2023-2024學年數學高二上期末教學質量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知點在橢圓上，與關于原點對稱，，交軸于點，為坐標原點，，則橢圓離心率為（）A. B.C. D.3．函數f（x）=xex的單調增區間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）4．2021年小林大學畢業后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設當天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日5．數列，，，，…的一個通項公式為（）A. B.C. D.6．若，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.7．若曲線與曲線在公共點處有公共切線，則實數（）A. B.C. D.8．等差數列的通項公式，數列，其前項和為，則等于（）A. B.C. D.9．一直線過點，則此直線的傾斜角為（）A.45° B.135°C.－45° D.－135°10．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區域的面積為（）A. B.C. D.11．若是函數的極值點，則函數（）A.有最小值，無最大值 B.有最大值，無最小值C.有最小值，最大值 D.無最大值，無最小值12．設是等比數列，且，，則（）A.12 B.24C.30 D.32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．不等式的解集為，則________14．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，滿足，直線與圓有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.15．已知圓的方程為，點是直線上的一個動點，過點作圓的兩條切線為切點，則四邊形面積的最小值為__________；直線__________過定點.16．已知數列滿足，若對任意恒成立，則實數的取值范圍為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中常數，（1）求單調區間；（2）若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，其中，，且（1）求角B的值；（2）若，判斷△ABC的形狀19．（12分）“既要金山銀山，又要綠水青山”.濱江風景區在一個直徑為100米的半圓形花園中設計一條觀光線路（如圖所示）.在點與圓弧上的一點（不同于A，B兩點）之間設計為直線段小路，在直線段小路的兩側（注意是兩側）種植綠化帶；再從點到點設計為沿弧的弧形小路，在弧形小路的內側（注意是一側）種植綠化帶（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）.（1）設(弧度)，將綠化帶總長度表示為的函數；（2）試確定的值，使得綠化帶總長度最大.(弧度公式：，其中為弧所對的圓心角)20．（12分）近年來，我國電子商務蓬勃發展.2016年“618”期間，某網購平臺的銷售業績高達516億元人民幣，與此同時，相關管理部門推出了針對該網購平臺的商品和服務的評價系統.從該評價系統中選出200次成功交易，并對其評價進行統計，網購者對商品的滿意率為0.6，對服務的滿意率為0.75，其中對商品和服務都滿意的交易為80次.（1）根據已知條件完成下面的列聯表，并回答能否有的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”?對服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網購平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務都滿意的次數為隨機變量，求的分布列和數學期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.21．（12分）已知拋物線與直線相切.（1）求該拋物線的方程；（2）在軸的正半軸上，是否存在某個確定的點M,過該點的動直線與拋物線C交于A,B兩點，使得為定值.如果存在，求出點M的坐標；如果不存在，請說明理由.22．（10分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C2、B【解析】由，得到，結合，得到，進而求得，得出，結合離心率的定義，即可求解.【詳解】設，則，由，可得，所以，因為，可得，又由，兩式相減得，即，即，又因為，所以，即又由，所以，解得.故選：B.3、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數f（x）=xex的單調增區間為（-1，+∞）.故選：D.4、C【解析】分析可得每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為，分析首次達到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為.因為為增函數，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選：C5、B【解析】根據給定數列，結合選項提供通項公式，將n代入驗證法判斷是否為通項公式.【詳解】A：時，排除；B：數列，，，，…滿足.C：時，排除；D：時，排除；故選：B6、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎題.7、A【解析】設公共點為，根據導數的幾何意義可得出關于、的方程組，即可解得實數、的值.【詳解】設公共點為，的導數為，曲線在處的切線斜率，的導數為，曲線在處的切線斜率，因為兩曲線在公共點處有公共切線，所以，且，，所以，即解得，所以，解得，故選：A8、D【解析】根據裂項求和法求得，再計算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D9、A【解析】根據斜率公式求得直線的斜率，得到，即可求解.【詳解】設直線的傾斜角為，由斜率公式，可得，即，因為，所以，即此直線的傾斜角為.故選：A.10、D【解析】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，求出點M的軌跡方程即可計算得解.【詳解】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點，則，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區域的面積為.故選：D11、A【解析】對求導，根據極值點求參數a，再由導數研究其單調性并判斷其最值情況.【詳解】由題設，且，∴，可得.∴且，當時，遞減；當時，遞增；∴有極小值，無極大值.綜上，有最小值，無最大值.故選：A12、D【解析】根據已知條件求得的值，再由可求得結果.【詳解】設等比數列的公比為，則，，因此，.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數列基本量的計算，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由一元二次方程與一元二次不等式之間的關系可知，方程的兩根是，所以因此.考點：一元二次方程與一元二次不等式之間的關系.14、【解析】過點作于，過點作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關于、的齊次不等式，結合可求得的取值范圍.【詳解】過點作于，過點作于，因為，所以，又因為，所以，故，又因為，且，所以，因此，所以，又因為直線與圓有公共點，所以，故，即，則，所以，又因為雙曲線的離心率，所以.故答案為：.15、①.②.【解析】根據切線的相關性質將四邊形面積化為，即求出最小值即可，即圓心到直線的距離；又可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設出點坐標，求出圓的方程可得直線方程，即可得出定點.詳解】由圓得圓心，半徑，由題意可得,在中，，，可知當垂直直線時，，所以四邊形的面積的最小值為，可得四點在以為直徑的圓上，且是兩圓的公共弦，設，則圓心為，半徑為，則該圓方程為，整理可得，聯立兩圓可得直線AB的方程為，即可得當時，，故直線過定點.故答案為：；.16、【解析】根據給定條件求出，構造新數列并借助單調性求解作答.【詳解】在數列中，，當，時，，則有，而滿足上式，因此，，，顯然數列是遞增數列，且，，又對任意恒成立，則，所以實數的取值范圍為.故答案為：【點睛】思路點睛：給定數列的前項和或者前項積，求通項時，先要按和分段求，然后看時是否滿足時的表達式，若不滿足，就必須分段表達.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，談論參數的范圍，根據導數的正負，可得單調區間；（2）由已知可解得，構造函數，再根據（1）的結論，可知函數的單調性，結合零點存在定理，可證明結論.【小問1詳解】定義域為，因為，若，，所以單調遞減區間為，若，,當時，，當時，，所以單調遞減區間為，單調遞增區間為【小問2詳解】證明：若且對任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調性相同，單調遞減區間為，單調遞增區間為，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且僅有一個零點，即方程有且只有兩個實根18、（1）（2）等邊三角形【解析】（1）把化為，然后由正弦定理化邊為角，利用兩角和的正弦公式、誘導公式可求得；（2）由余弦定理及三角形面積公式可得，從而得出三角形為等邊三角形【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，∵，∴，∴，又，所以，可得；【小問2詳解】由（１）知余弦定理，①，②由①②可得：，又，所以，所以該三角形為等邊三角形19、（1）；（2）.【解析】（1）在直角三角形中，求出，在扇形中利用弧長公式求出弧的長度，則可得函數；（2）利用導數可求得結果.【詳解】（1）如圖，連接在直角三角形中，所以由于則弧的長為（2）由（1）可知，令得，因為所以，當單調遞增，當單調遞減，所以當時，使得綠化帶總長度最大.【點睛】關鍵點點睛：仔細審題，注意題目中的關鍵詞“兩側”和“一側”是解題關鍵.20、（1）列聯表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數據直接填寫聯列表即可，求出，即可回答是否有的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進而可得數學期望.【詳解】（1）服務滿意對服務不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認為“網購者對商品滿意與對服務滿意之間有關系”（2）每次購物時，對商品和服務都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點睛】本題主要考查獨立檢驗以及離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，考查轉化思想以及計算能力，屬于中檔題.21、(1)；(2).【解析】（1）直線與拋物線相切，所以有，可解得，得拋物線方程.(2)聯立直線與拋物線有，把目標式坐標化可得與無關，可得.試題解析：(1)聯立方程有，，有，由于直線與拋物線相切，得，所以.(2)假設存在滿足條件的點，直線，有，，設