廣東省吳川一中2023-2024學年數學高二上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線的斜率為，則的傾斜角為（）A. B.C. D.2．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定3．設，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.4．日常飲用水通常都是經過凈化的，隨若水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加．已知水凈化到純凈度為時所需費用單位：元為那么凈化到純凈度為時所需凈化費用的瞬時變化率是（）元/t.A. B.C. D.5．已知拋物線的準線方程為，則此拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.6．若正整數N除以正整數m后的余數為n，則記為，如.如圖所示的程序框圖的算法源于我國古代聞名中外的“中國剩余定理”.執行該程序框圖，則輸出的i等于（）A.7 B.10C.13 D.167．某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級（選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數與乙成績等級的眾數分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，48．已知雙曲線C：-＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，若過原點傾斜角為的直線與雙曲線C左右兩支交于M、N兩點，且MF1NF1，則雙曲線C的離心率是（）A.2 B.C. D.9．已知中，內角所對的邊分別，若，，，則（）A. B.C. D.10．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件11．命題，，則為（）A.， B.，C.， D.，12．若，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點是拋物線上的兩點，，點是拋物線的焦點，若，則的值為__________14．已知直線與圓相切，則__________.15．已知空間向量，，，若，，共面，則實數___________.16．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業2021年年初有資金5千萬元，由于引進了先進生產設備，資金年平均增長率可達到．每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產．設從2021年的年底起，每年年底企業扣除消費基金后的剩余資金依次為，，，…（1）寫出，，，并證明數列是等比數列；（2）至少到哪一年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬元？（lg18．（12分）已知函數（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值19．（12分）已知函數的圖像在處的切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.20．（12分）已知直線與雙曲線交于，兩點，為坐標原點（1）當時，求線段的長；（2）若以為直徑的圓經過坐標原點，求的值21．（12分）已知在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，沿BE折起平面ABE，使平面ABE⊥平面BCDE.（1）求證：在四棱錐A-BCDE中，AB⊥AC.（2）在線段AC上是否存在點F，使二面角A-BE-F的余弦值為？若存在，找出點F的位置；若不存在，說明理由.22．（10分）已知數列滿足，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，為數列的前n項和，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】設直線l傾斜角為，根據題意得到，即可求解.【詳解】設直線l的傾斜角為，因為直線的斜率是，可得，又因為，所以，即直線的傾斜角為.故選：C.2、A【解析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A3、C【解析】根據直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經檢驗，滿足題意.故選：C4、B【解析】由題意求出函數的導函數，然后令即可求解【詳解】因為，所以，則，故選：5、D【解析】由已知設拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準線方程為，所以設拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，6、C【解析】根據“中國剩余定理”，進而依次執行循環體，最后求得答案.【詳解】由題意，第一步：，余數不為1；第二步：，余數不為1；第三步：，余數為1，執行第二個判斷框，余數不為2；第四步：，執行第一個判斷框，余數為1，執行第二個判斷框，余數為2.輸出的i值為13.故選：C.7、C【解析】將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數，由圖可知乙的選修課等級的眾數.【詳解】由條形圖可得，甲同學共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數為，乙成績等級的眾數為5.故選：C.8、C【解析】根據雙曲線和直線的對稱性，結合矩形的性質、雙曲線的定義、離心率公式、余弦定理進行求解即可.【詳解】設雙曲線的右焦點為F2，過原點傾斜角為的直線為，設M、N分別在第三、第一象限，由雙曲線和直線的對稱性可知：M、N兩點關于原點對稱，而MF1NF1，因此四邊形是矩形，而，所以是等邊三角形，故，因此，因為，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性質可知：，由雙曲線的定義可知：，故選：C【點睛】關鍵點睛：利用矩形的性質、雙曲線的定義是解題的關鍵.9、B【解析】利用正弦定理可直接求得結果.【詳解】在中，由正弦定理得：.故選：B.10、A【解析】根據直線垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線和直線垂直，則，解得或，則“”是“直線和直線垂直”的充分非必要條件.故選：A.11、B【解析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可.【詳解】命題，為特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題，所以命題，，則為：，.故選：B12、C【解析】由二項分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10【解析】由拋物線的定義根據題意可知求得p,代入拋物線方程,分別求得y1,y2的值,即可求得y12+y2的值【詳解】由拋物線的定義可得，依據題設可得，則（舍去負值），故，故填.【點睛】本題考查拋物線的定義和性質，利用已知相等關系求解拋物線方程，然后求解已知點的縱坐標，解題中需要熟練拋物的定義和性質，靈活應用.14、【解析】由直線與圓相切，結合點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由直線與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑r，即.故答案為：15、1【解析】根據向量共面，可設，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因為，，共面且，不共線，所以可設，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.16、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據拋物線定義可得，應用數形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數的定義及點在拋物線上求值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，，證明見解析（2）至少到2026年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬元【解析】（1）由題意可知，，，，再結合等比數列的性質，即可求解（2）由（1）知，，則，令，再結合對數函數運算，即可求解【小問1詳解】依題意知，，，,,所以,又，所以是首項為3，公比為1.5的等比數列.【小問2詳解】由（1）知，，所以令，解得，所以，所以至少到2026年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬元18、（1）；（2）最大值與最小值分別為與【解析】（1）根據導數的幾何意義求出切線的斜率即可求出結果；（2）利用導數研究函數的單調性，進而結合函數的單調性即可求出最值.【詳解】（1）因為，所以所以所以的圖象在點處的切線方程為，即（2）由（1）知令，則；令，則所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以又，所以所以在上的最大值與最小值分別為與19、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小問1詳解】解：求導得，因為在出的切線斜率為，則，即①因為時，有極值，則.即②由①②聯立得，所以.【小問2詳解】解：由（1），令解得或，列表如下：極大值極小值所以，在［－3，2］上的最大值為，最小值為.20、（1）（2）【解析】（1）聯立直線方程和雙曲線方程，利用弦長公式可求弦長.（2）根據圓過原點可得，設，從而，聯立直線方程和雙曲線方程后利用韋達定理化簡前者可得所求的參數的值.【小問1詳解】當時，直線，設，由可得，此時，故.【小問2詳解】設，因為以為直徑的圓經過坐標原點，故，故，由可得，故且，故.而可化為即，因為，所以，解得，結合其范圍可得.21、（1）證明見解析（2）點F為線段AC的中點【解析】（1）由平面幾何知識證得CE⊥BE，再根據面面垂直的性質，線面垂直的判定和性質可得證；（2）取BE的中點O，以O為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，假設在線段AC上存在點F，設=λ，運用二面角的向量求解方法可求得，可得點F的位置.【小問1詳解】證明：因為在長方形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，所以BE=CE=2，又BC=2，所以，所以CE⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以CE⊥平面ABE，所以AB⊥CE.又AB⊥AE，，所以AB⊥平面AEC，即得AB⊥AC.【小問2詳解】解：存在點F，F為線段AC的中點.由（1）得△ABE和△BEC均為等腰直角三角形，取BE的中點O，則，又平面ABE⊥平面BCDE，面面，所以面，以O為原點，分別以的方向為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，取平面ABE的一個法向量為.假設在線段AC上存在點F，使二面角A-BE-F的余弦值為.則A（0，0，1），B（1，0，0），C（-1，2，0），E（-1，0，0），=（1，0，1），=