廣東省深圳市南山區南頭中學2023-2024學年高二數學第一學期期末經典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列關于拋物線的圖象描述正確的是（）A.開口向上，焦點為 B.開口向右，焦點為C.開口向上，焦點為 D.開口向右，焦點為2．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.3．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或4．橢圓＝1的一個焦點為F，過原點O作直線（不經過焦點F）與橢圓交于A，B兩點，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.5．已知實數，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.26．如圖所示幾何體的正視圖和側視圖都正確的是（）A. B.C. D.7．過點，且斜率為2的直線方程是A. B.C. D.8．函數的圖象大致是（）A. B.C. D.9．已知正實數x，y滿足4x+3y＝4，則的最小值為（）A. B.C. D.10．某家大型超市近10天的日客流量（單位：千人次）分別為：2.5、2.8、4.4、3.6.下列圖形中不利于描述這些數據的是（）A.散點圖 B.條形圖C.莖葉圖 D.扇形圖11．在中，若，，則外接圓半徑為（）A. B.C. D.12．若，則（）A.1 B.0C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調查.已知高一被抽取的人數為，那么高二被抽取的人數為__.14．已知點，平面過，，三點，則點到平面的距離為________.15．過拋物線的焦點F作斜率大于0的直線l交拋物線于A，B兩點（A在B的上方），且l與準線交于點C，若，則_________.16．過雙曲線的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交于點.若點的橫坐標為,則的離心率為-.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某保險公司根據官方公布的歷年營業收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據已有的函數知識，某同學選用二次函數模型（b和a是待定參數）來擬合y和x的關系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數據見表2.表2T149162536496481100Y0.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據表中數據，建立y關于t的回歸方程（系數精確到個位數）；（2）根據（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業收入，以及營業收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數據：.18．（12分）已知函數（Ⅰ）解關于的不等式；（Ⅱ）若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍19．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設首項為2的數列的前n項和為，前n項積為，且（1）求數列的通項公式；（2）求的值20．（12分）如圖1，在△MBC中，，A，D分別為棱BM，MC的中點，將△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使，如圖2，連結PB，PC，BD（1）求證：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E為PC中點，求直線DE與平面PBD所成角的正弦值21．（12分）已知拋物線C：，經過的直線與拋物線C交于A，B兩點（1）求的值（其中為坐標原點）；（2）設F為拋物線C的焦點，直線為拋物線C的準線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點M，與直線相交于點N，證明：點P在拋物線C上移動時，恒為定值，并求出此定值22．（10分）已知過拋物線的焦點F且斜率為1的直線l交C于A，B兩點，且（1）求拋物線C的方程；（2）求以C的準線與x軸的交點D為圓心且與直線l相切的圓的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】把化成拋物線標準方程，依據拋物線幾何性質看開口方向，求其焦點坐標即可解決.【詳解】，即.則，即故此拋物線開口向上，焦點為故選：A2、C【解析】設出點，,的坐標，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【詳解】設，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.3、D【解析】根據圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.4、A【解析】分情況討論當直線AB的斜率不存在時，可求面積，檢驗是否滿足條件，當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程y＝kx，聯立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點分別為F1(－5,0)，F2(5,0)，不妨取F(5,0)①當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x＝0，此時AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A5、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數，即可得到結果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標函數為，由圖可知當直線過點時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D6、B【解析】根據側視圖，沒有實對角線，正視圖實對角線的方向，排除錯誤選項，得到答案.【詳解】側視時，看到一個矩形且不能有實對角線，故A，D排除而正視時，有半個平面是沒有的，所以應該有一條實對角線，且其對角線位置應從左上角畫到右下角，故C排除.故選：B.7、A【解析】由直線點斜式計算出直線方程.【詳解】因為直線過點，且斜率為2，所以該直線方程為，即.故選【點睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點坐標和斜率，故選用點斜式即可求出答案，較為簡單.8、A【解析】根據函數的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數的定義域為，則排除選項、,當時，，則在上單調遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.9、A【解析】將4x+3y＝4變形為含2x+1和3y+2的等式，即2(2x+1)+(3y+2)＝8，再由換元法、基本不等式換“1”的代換求解即可【詳解】由正實數x，y滿足4x+3y＝4，可得2(2x+1)+(3y+2)＝8，令a＝2x+1，b＝3y+2，可得2a+b＝8，∴，即，當且僅當時取等號，∴的最小值為.故選：A10、A【解析】根據數據的特征以及各統計圖表的特征分析即可；【詳解】解：莖葉圖、條形圖、扇形圖均能將數據描述出來，并且能夠體現出數據的變化趨勢；散點圖表示因變量隨自變量而變化的大致趨勢，故用來描述該超市近10天的日客流量不是很合適；故選：A11、A【解析】根據三角形面積公式求出c，再由余弦定理求出a，根據正弦定理即可求外接圓半徑.【詳解】,,,解得由正弦定理可得：，所以故選：A12、C【解析】由結合二項式定理可得出，利用二項式系數和公式可求得的值.【詳解】，當且時，，因此，.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題考查二項式系數和的計算，解題的關鍵是熟悉二項式系數和公式，考查學生的轉化能力與計算能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用分層抽樣可求得的值，再利用分層抽樣可求得高二被抽取的人數.【詳解】高一年級抽取的人數為：人，則，則高二被抽取的人數，故答案為：.14、【解析】先求得平面ABC的一個法向量，然后由求解.【詳解】因為，，，，所以，設平面ABC的一個法向量為，則，即，令，則，所以則點到平面的距離為，故答案：15、2【解析】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，由可求.【詳解】分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為，，設，，則，∴，∴.故答案為：2.16、【解析】雙曲線的右焦點為.不妨設所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點的橫坐標為，由，得，解之得，（舍去，因為離心率），故雙曲線的離心率為.考點：1.雙曲線的幾何性質；2.直線方程.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）估計2021年的營業收入約為2518億元，估計營業收入首次超過4000億元的年份為2024年.【解析】（1）根據的公式，將題干中的數據代入，即得解；（2）代入，可估計2021年的營業收入；令，可求解的范圍，繼而得到的范圍，即得解【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應的t的值為121，營業收入，所以估計2021年的營業收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2024年.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）用找零點法去絕對值，然后再解不等式.（Ⅱ）將原函數轉化為分段函數，再結合函數圖像求得其最小值．將恒成立轉化為試題解析：（Ⅰ）或或或所以原不等式解集為（Ⅱ），由函數圖像可知，所以要使恒成立，只需考點：1絕對值不等式；2恒成立問題；3轉化思想19、（1）（2）【解析】（1）若選①可得，從而得到，即可得到是常數列，即可求出數列的通項公式；若選②，根據，作差即可得到，再利用累乘法計算可得；若選③：可得，即可得到數列是等差數列，首項為2，公差為1，從而求出數列的通項公式；（2）由（1）可得，利用裂項相消法計算可得；【小問1詳解】解：選①：∵即∴即∴數列是常數列∴∴選②：∵∴時，則即∴∴當時，也滿足，∴選③：因為，所以，所以數列是等差數列，首項為2，公差為1則∴【小問2詳解】解：由（1）可得，∴20、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)推導出，，利用線面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；(2)以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，利用向量法即可求出直線DE與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】由題意知，因為點A、D分別為MB、MC中點，所以，又，所以，所以.因為，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】因為，，，所以兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系，，則，設平面的一個法向量為，則，令，得，所以，設直線DE與平面所成角為，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為.21、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）設出直線的方程并與拋物線方程聯立，結合根與系數關系求得.（2）求得過點的拋物線的切線方程，由此求得兩點的坐標，通過化簡來證得為定值，并求得定值.【小問1詳解】依題意可知直線的斜率不為零，設直線的方程為，設，，消去并化簡得，所以，所以.小問2詳解】拋物線方程為，焦點坐標為，準線，通徑所在直線，在拋物線上，且，所以過點的拋物線的切線的斜率存在且不為零，設過點的切線方程為，由消去并