河南省南陽市2024屆高二數學第一學期期末學業水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.62．的展開式中的系數是（）A.1792 B.C.448 D.3．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.4．已知點在平面α上，其法向量，則下列點不在平面α上的是（）A. B.C. D.5．如果，，那么直線不經過的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6．設是雙曲線的一個焦點，，是的兩個頂點，上存在一點，使得與以為直徑的圓相切于，且是線段的中點，則的漸近線方程為A. B.C. D.7．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.8．設函數的圖象為C，則下面結論中正確的是（）A.函數的最小正周期是B.圖象C關于點對稱C.函數在區間上是增函數D.圖象C可由函數的圖象向右平移個單位得到9．曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.10．已知橢圓的一個焦點坐標是，則（）A.5 B.2C.1 D.11．已知數列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.312．若存在過點（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實數a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.14．甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知各人能破譯的概率分別為，則密碼被成功破譯的概率_________15．若點為圓的弦的中點，則弦所在直線方程為________.16．設拋物線的焦點為，直線過焦點，且與拋物線交于兩點，，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.18．（12分）如圖，在三棱錐中，已知△ABC和△PBC均為正三角形，D為BC的中點（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積19．（12分）已知拋物線上的點M到焦點F的距離為5，點M到x軸的距離為（1）求拋物線C的方程；（2）若拋物線C的準線l與x軸交于點Q，過點Q作直線交拋物線C于A，B兩點，設直線FA，FB的斜率分別為，．求的值20．（12分）為了謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進學生對中國共產黨的熱愛，某學校舉辦了一場黨史競賽活動，共有名學生參加了此次競賽活動．為了解本次競賽活動的成績，從中抽取了名學生的得分（得分均為整數，滿分為分）進行統計，所有學生的得分都不低于分，將這名學生的得分進行分組，第一組，第二組，第三組，第四組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖（1）求圖中的值，估計此次競賽活動學生得分的中位數；（2）根據頻率分布直方圖，估計此次競賽活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學進行獎勵，請估計在參賽的名學生中有多少名學生獲獎21．（12分）已知數列的首項，且滿足.（1）求證：數列是等比數列；（2）求數列的前n項和.22．（10分）已知函數（1）求函數的單調遞減區間；（2）在中，角，，所對的邊分別為，，，且滿足，，求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D2、D【解析】根據二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數是.故選：D3、D【解析】根據向量加法的三角形法則得到化簡得到故答案為D4、D【解析】根據法向量的定義，利用向量垂直對四個選項一一驗證即可.【詳解】對于A：記,則.因為，所以點在平面α上對于B：記,則.因為，所以點在平面α上對于C：記,則.因為，所以點在平面α上對于D：記,則.因為，所以點不在平面α上.故選：D5、A【解析】將直線化為，結合已知條件即可判斷不經過的象限.【詳解】由題設，直線可寫成，又，，∴，，故直線過二、三、四象限，不過第一象限.故選：A.6、C【解析】根據圖形的幾何特性轉化成雙曲線的之間的關系求解.【詳解】設另一焦點為，連接，由于是圓的切線，則，且，又是的中點，則是的中位線，則，且，由雙曲線定義可知，由勾股定理知，，，即，漸近線方程為，所以漸近線方程為故選C.【點睛】本題考查雙曲線的簡單的幾何性質，屬于中檔題.7、D【解析】根據拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據題意，設拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D8、B【解析】化簡函數解析式，求解最小正周期，判斷選項A，利用整體法求解函數的對稱中心和單調遞增區間，判斷選項BC，再由圖象變換法則判斷選項D.【詳解】，所以函數的最小正周期為，A錯；令，得，所以函數圖象關于點對稱，B正確；由，得，所以函數在上為增函數，在上為減函數，C錯；函數的圖象向右平移個單位得，D錯.故選：B9、A【解析】利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點處的切線方程為，整理為故選：A10、C【解析】根據題意橢圓焦點在軸上，且，將橢圓方程化為標準形式，從而得出，得出答案.【詳解】由焦點坐標是，則橢圓焦點在軸上，且將橢圓化為，則由，焦點坐標是，則，解得故選：C11、C【解析】根據，（且），利用累加法求得，再根據恒成立求解.【詳解】因為數列滿足，，（且）所以，，，，因為恒成立，所以，則M的最小值是，故選：C12、A【解析】在兩曲線上設切點，得到切線，又因為（0，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導函數為，的導函數為，若直線與和的切點分別為（，），，∴過（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用等差數列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣的日影子長依次成等差數列，設其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：14、【解析】根據題意，由相互獨立事件概率的乘法公式可得密碼沒有被破譯的概率，進而由對立事件的概率性質分析可得答案【詳解】解：根據題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒有被破譯，即甲乙都沒有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率故答案為：15、【解析】因為為圓的弦的中點，所以圓心坐標為，，所在直線方程為，化簡為，故答案為.考點：1、兩直線垂直斜率的關系；2、點斜式求直線方程.16、【解析】拋物線焦點為,由于直線和拋物線有兩個交點,故直線斜率存在.根據拋物線的定義可知,故的縱坐標為,橫坐標為.不妨設,故直線的方程為,聯立直線方程和拋物線方程,化簡得,解得,故.所以.【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系,考查拋物線的幾何性質和定義.考查三角形面積公式.在解題過程中,先根據題目所給拋物線的方程求得焦點的坐標,然后利用拋物線的定義:到定點的距離等于到定直線的距離,由此求得點的坐標,進而求得直線的方程,聯立直線方程和拋物線方程求得點的坐標.最后求得面積比.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），△的面積為；（2）.【解析】（1）應用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關系可得，即可求目標式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】【小問1詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，D為BC的中點，所以,又,所以平面【小問2詳解】因為△ABC和△PBC為正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面積為，所以.19、（1）（2）0【解析】（1）由焦半徑公式求C的方程；（2）設直線AB方程，與拋物線方程聯立，由韋達定理表示出，，代入中化簡求值即可.小問1詳解】設點，則，所以，解得因為，所以．所以拋物線C的方程為【小問2詳解】由題知，，，直線AB的斜率必存在，且不為零設，，直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為，由，得所以，，且，即所以所以的值為020、（1），中位數為；（2）得分的平均值為，估計有260名學生獲獎.【解析】(1)根據給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1計算得值；再由在中位數兩側所對小矩形面積相等即可計算得解.(2)由頻率分布直方圖求平均數的方法求出得分平均值即可估計；再求出不低于平均分的頻率即可估計獲獎人數.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：，解得，設此次競賽活動學生得分的中位數為，因數據落在內的頻率為0.4，落在內的頻率為0.8，從而可得，由得：，所以，估計此次競賽活動學生得分的中位數為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及(1)知：數據落在，，，的頻率分別為，，此次競賽活動學生得分不低于82的頻率為，則，所以估計此次競賽活動得分的平均值為，在參賽的名學生中估計有260名學生獲獎.21、（1）證明見解析；（2）當為偶數時，；當為奇數時，.【解析】（1）根據等比數列的定義進行證明即可；（2）利用分組求和法，結合錯位相減法進行求解即可.【小問1詳解】由題