廣東省東莞市三校2023-2024學年高二上數學期末檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．胡蘿卜中含有大量的胡蘿卜素，攝入人體消化器官后，可以轉化為維生素，現從，兩個品種的胡蘿卜所含的胡蘿卜素（單位：）得到莖葉圖如圖所示，則下列說法不正確的是A. B.的方差大于的方差C.品種的眾數為 D.品種的中位數為2．已知點P是圓上一點，則點P到直線的距離的最大值為（）A.2 B.C. D.3．已知函數，則（）A.函數的極大值為，無極小值 B.函數的極小值為，無極大值C.函數的極大值為0，無極小值 D.函數的極小值為0，無極大值4．執行如圖所示的算法框圖，則輸出的結果是（）A. B.C. D.5．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺6．圓和圓的位置關系是（）A.內含 B.內切C.相交 D.外離7．已知為拋物線上一點，點P到拋物線C的焦點的距離與它到y軸的距離之比為，則（）A.1 B.C.2 D.38．設為實數，則曲線：不可能是（）A.拋物線 B.雙曲線C.圓 D.橢圓9．兩條平行直線與之間的距離為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．已知下列四個命題，其中正確的是（）A. B.C. D.12．如圖，P為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，圓錐PO的軸截面PAE是邊長為2的等邊三角形，是底面圓的內接正三角形．則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數在區間內存在最大值，則實數的取值范圍是____________.14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設△ABC的面積為S，其中，，則S的最大值為______15．已知從某班學生中任選兩人參加農場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______16．已知數列an滿足，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數f（x）+alnx，實數a＞0（1）當a＝2時，求函數f（x）在x＝1處的切線方程；（2）討論函數f（x）在區間（0，10）上的單調性和極值情況；（3）若存在x∈（0，+∞），使得關于x的不等式f（x）＜2+a2x成立，求實數a的取值范圍18．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個作為：，使為真命題，求出實數a的取值范圍.①關于x的方程有兩個不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個解答計分.）19．（12分）已知函數（1）解關于的不等式；（2）若不等式在上有解，求實數的取值范圍20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，直線PA與CD所成角為60°.（1）求直線PD與平面ABCD所成角的正弦值；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）已知函數在處的切線垂直于直線.（1）求（2）求的單調區間22．（10分）已知數列滿足，，.（1）證明：數列是等比數列，并求其通項公式；（2）若，求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】讀懂莖葉圖，分別計算出眾數、中位數、方差，然后對各選項進行判斷【詳解】由莖葉圖知，品種所含胡蘿卜素普遍高于品種，所以，故A正確；品種的數據波動比品種的數據波動大，所以的方差大于的方差，故B正確；品種的眾數為與，故C錯誤；品種的數據的中位數為，故D正確.故選.【點睛】本題主要考查了對數據的分析，首先要讀懂莖葉圖，然后計算出眾數、中位數、方差，即可對各選項進行判斷，較為基礎2、C【解析】求出圓心到直線的距離，由這個距離加上半徑即得【詳解】由圓，可得圓心坐標，半徑，則圓心C到直線的距離為，所以點P到直線l的距離的最大值為.故選：C3、A【解析】利用導數來求得的極值.【詳解】的定義域為，，在遞增；在遞減，所以的極大值為，沒有極小值.故選：A4、B【解析】列舉出循環的每一步，利用裂項相消法可求得輸出結果.【詳解】第一次循環，不成立，，；第二次循環，不成立，，；第三次循環，不成立，，；以此類推，最后一次循環，不成立，，.成立，跳出循環體，輸出.故選：B.5、A【解析】由題意可知，十二個節氣其日影長依次成等差數列，設冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節氣其日影長依次成等差數列{}，如冬至日的日影長為尺，設公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A6、C【解析】根據兩圓圓心的距離與兩圓半徑和差的大小關系即可判斷.【詳解】解：因為圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以兩圓圓心的距離為，因為，即，所以圓和圓的位置關系是相交，故選：C.7、B【解析】先求出點的坐標，然后根據拋物線的定義和已知條件列方程求解即可【詳解】因為為拋物線上一點，所以，得，所以，拋物線的焦點為，因為點P到拋物線C的焦點的距離與它到y軸的距離之比為，所以，化簡得，因為，所以，故選：B8、A【解析】根據圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程和拋物線的方程特征即可判斷.【詳解】解：對A：因為曲線C的方程中都是二次項，所以根據拋物線標準方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項A正確；對B：當時，曲線C為雙曲線，故選項B錯誤；對C：當時，曲線C為圓，故選項C錯誤；對D：當且時，曲線C為橢圓，故選項D錯誤；故選：A.9、D【解析】由已知有，所以直線可化為，利用兩平行直線距離公式有，選D.點睛：本題主要考查兩平行直線間的距離公式，屬于易錯題．在用兩平行直線距離公式時，兩直線中的系數要相同，不然不能用此公式計算10、A【解析】根據橢圓的標準方程求出，利用雙曲線，結合建立方程求出，，即可求出雙曲線的漸近線方程【詳解】橢圓的標準方程為，橢圓中的，雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線中，雙曲線滿足，即又在雙曲線中，即，解得：，所以雙曲線的方程為，故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查雙曲線方程的求解，根據橢圓和雙曲線的關系建立方程求出，，是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力，屬于基礎題11、B【解析】根據基本初等函數的求導公式和求導法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B.12、B【解析】先求出，再利用向量的線性運算和數量積計算求解.【詳解】解：由題得,,故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用導數判斷函數的單調性，再根據函數在開區間內存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數在單調遞減，在單調遞增，故函數的極大值為.所以在開區間內的最大值一定是又，所以得實數的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數在開區間內若存在最大值，即極大值點在區間內，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.14、【解析】應用余弦定理有，再由三角形內角性質及同角三角函數平方關系求，根據基本不等式求得，注意等號成立條件，最后利用三角形面積公式求S的最大值.【詳解】由余弦定理知：，而，所以，而，即，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立.故答案為：15、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據為互斥事件，與為對立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對立事件，又，所以.故答案為：.16、2019【解析】將已知化為代入可以左右相消化簡，將已知化為，代入可以上下相消化簡，再全部代入求解即可.【詳解】由知故所以故答案為：2019三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4x﹣y+2＝0（2）答案見解析（3）（0，2）∪（2，+∞）【解析】（1）求出f（x）的導數，可得切線的斜率和切點坐標，由直線的點斜式方程可得所求切線的方程；（2）求得f（x）的導數，分a、0＜a兩種情況討論求出答案即可；（3）由題意可得存在x∈（0，+∞），使得不等式成立，令，x＞0，求得其最小值，再把最小值看成關于的函數，結合其單調性和極值可得答案【小問1詳解】函數f（x）的定義域為（0，+∞），當a＝2時，，導數為4，可得f（x）在x＝1處的切線的斜率為4，又f（1）＝6，所以f（x）在x＝1處的切線的方程為y﹣6＝4（x﹣1），即4x﹣y+2＝0；【小問2詳解】f（x）的導數為f′（x）a2，x＞0，令f′（x）＝0，可得x（舍去），①當010，即a時，當0＜x時，f′（x）＜0，f（x）遞減；當x＜10時，f′（x）＞0，f（x）遞增所以f（x）在（0，）上遞減，在（，10）上遞增，f（x）在x處取得極小值，無極大值；②當10即0＜a時，f′（x）＜0，f（x）在（0，10）上遞減，無極值綜上可得，當a時，f（x）在（0，）單調遞減，在（，10）上單調遞增，f（x）在x時取得極小值，無極大值當0＜a時，f（x）在區間（0，10）上遞減，無極值；【小問3詳解】存在x∈（0，+∞），使得不等式f（x）＜2+a2x成立等價為存在x∈（0，+∞），使得不等式alnx﹣2＜0成立令，x＞0，g′（x），因為a＞0，可得當0＜x時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當x時，g′（x）＞0，g（x）遞增，所以當x時，g（x）取得極小值，且為最小值，由題意可得，令，，令h′（x）＝0，可得x＝2，當x∈（0，2）時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當x∈（2，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）遞減所以當x＝2時，h（x）取得極大值，且為最大值h（2）＝0所以滿足的實數a的取值范圍是（0，2）∪（2，+∞）18、答案見解析【解析】根據題意，分析、為真時的取值范圍，又由復合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據此分析可得答案.【詳解】解：選①時由知在上恒成立，∴，即又由q：關于x的方程有兩個不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實數a的取值范圍.選②時由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當且僅當時取“=”號，∴，由為真命題知，解得.實數a的取值范圍.19、（1）當時，或；當時，；當時，或（2）【解析】（1）由題意得對的值進行分類討論可得不等式的解集；（2）將條件轉化為，，再利用基本不等式求最值可得的取值范圍；【小問1詳解】，即，所以，所以，①當時不等式的解為或，②當時不等式的解為，③當時不等式的解為或，綜上：原不等式的解集為當時或，當時，當時或【小問2詳解】不等式在上有解，即在上有解，所以在上有解，所以，因為，所以，當且僅當，即時取等號，所以.20、（1）（2）【解析】（1），所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，然后過P在平面PAB內作，可得平面ABCD，從而可求出答案.（2）可證平面PAB，過B在平面PAB內作，連結CF，則是二面角的平面角，從而可求解.【小問1詳解】因為，所以PA與AB所成的銳角或直角等于PA與CD所成角，可知，是正三角形.過P在平面PAB內作，垂足為E，因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，是直線PD與平面ABCD所成角.在正中，，，所以，故直線PD與平面ABCD所成角的正弦值為.【小問2詳解】因為，平面平面ABCD，平面平面ABCD又平面ABCD，所以平面PAB.又平面PAB.則過B在平面PAB內作，垂足為F，連結CF，又,則平面,又平面所以，所以是二面角的平面角.因為，，所以，從而所以二面角正弦值為.21、（1）；（2）在內單調遞減，在內單調遞增【解析】（1）由題意求導可得，代入可得（1），從而求，進而求切線方程；（2