河北邢臺市2024屆高二數學第一學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線：，直線經過點，若直線與雙曲線的右支只有一個交點，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是()A.(－∞，0) B.C.(0,1) D.(0，＋∞)3．雅言傳承文明，經典浸潤人生．某市舉辦“中華經典誦寫講大賽”，大賽分為四類：“誦讀中國”經典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學生篆刻大賽．某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽，則“誦讀中國”被選中的概率為（）A. B.C. D.4．數列中，，，若，則（）A.2 B.3C.4 D.55．函數在其定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象為A. B.C. D.6．如圖，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一點P滿足，則（）A. B.1C. D.27．“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.9．已知，,2成等差數列，則在平面直角坐標系中，點M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.10．是首項和公差均為3的等差數列，如果，則n等于（）A.671 B.672C.673 D.67411．在長方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知函數的導函數為，且滿足，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，圖案的做法是：把一個正方形分成9個全等的小正方形，對中間的一個小正方形進行著色得到第1個圖案（圖1）；在第1個圖案中對沒有著色的小正方形再重復以上做法得到第2個圖案（圖2）；以此類推，每進行一次操作，就得到一個新的正方形圖案，設原正方形的邊長為1，記第n個圖案中所有著色的正方形的面積之和為，則數列的通項公式______14．若和或都是假命題，則的范圍是__________15．已知等比數列滿足，則_________16．函數的最小值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，其中常數，（1）求單調區間；（2）若且對任意，都有，證明：方程有且只有兩個實根18．（12分）2020年3月20日，中共中央、國務院印發了《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》（以下簡稱《意見》），《意見》中確定了勞動教育內容要求，要求普通高中要注重圍繞豐富職業體驗，開展服務性勞動、參加生產勞動，使學生熟練掌握一定勞動技能，理解勞動創造價值，具有勞動自立意識和主動服務他人、服務社會的情懷．我市某中學鼓勵學生暑假期間多參加社會公益勞動，在實踐中讓學生利用所學知識技能，服務他人和社會，強化社會責任感，為了調查學生參加公益勞動的情況，學校從全體學生中隨機抽取100名學生，經統計得到他們參加公益勞動的總時間均在15~65小時內，其數據分組依次為：，，，，，得到頻率分布直方圖如圖所示，其中（1）求，的值，估計這100名學生參加公益勞動的總時間的平均數（同一組中的每一個數據可用該組區間的中點值代替）；（2）學校要在參加公益勞動總時間在、這兩組的學生中用分層抽樣的方法選取5人進行感受交流，再從這5人中隨機抽取2人進行感受分享，求這2人來自不同組的概率19．（12分）已知.（1）當，時，求中含項的系數；（2）用、表示，寫出推理過程20．（12分）為了解某校今年高一年級女生的身體素質狀況，從該校高一年級女生中抽取了一部分學生進行“擲鉛球”的項目測試，成績低于5米為不合格，成績在5至7米（含5米不含7米）的為及格，成績在7米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過11米）為優秀．把獲得的所有數據，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學生的成績在9米到11米之間(1)求實數的值及參加“擲鉛球”項目測試的人數；(2)若從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生再進行其它項目的測試，求所抽取的2名學生自不同組的概率21．（12分）已知拋物線的焦點為F，直線l過點（1）若點F到直線l的距離為，求直線l的斜率；（2）設A，B為拋物線上兩點，且AB不與x軸垂直，若線段AB的垂直平分線恰過點M，求證：線段AB中點的橫坐標為定值22．（10分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，，平面平面，且（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D2、B【解析】函數f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點則實數a的取值范圍是（0，）故選B3、B【解析】由已知條件得基本事件總數為種，符合條件的事件數為3中，由古典概型公式直接計算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國”被選中的情況有3種，即“誦讀中國”和“詩教中國”，“誦讀中國”和“筆墨中國”，“誦讀中國”和“印記中國”，由古典概型公式可得，故選：.4、C【解析】由已知得數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，求出，再利用等比數列求和可得答案.【詳解】∵，∴，所以，數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，則，∴，∴，則，解得.故選：C.5、D【解析】分析：根據函數單調性、極值與導數的關系即可得到結論.詳解：觀察函數圖象，從左到右單調性先單調遞增，然后單調遞減，最后單調遞增.對應的導數符號為正，負，正.,選項D的圖象正確.故選D.點睛：本題主要考查函數圖象的識別和判斷，函數單調性與導數符號的對應關系是解題關鍵.6、D【解析】設，構建空間直角坐標系，令且，求出，，再由向量垂直的坐標表示列方程，結合點P的唯一性有求參數a，即可得結果.【詳解】由題設，構建如下圖空間直角坐標系，若，則，，且，所以，，又存在唯一的一點P滿足，所以，則，故，可得，此時，所以.故選：D7、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°)，直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值，據此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0，則直線l斜率可能等于零，此時直線傾斜角為0°，不為鈍角，故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件；直線的傾斜角為鈍角時，直線的斜率為負，滿足直線的斜率不大于0，即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件；綜上，“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.8、A【解析】在三棱柱中，，轉化為結合已知條件計算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運算得，.故選：A【點睛】關鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運算得，再展開利用數量積運算.9、A【解析】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數列,得到，化簡得到可知是焦點在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點睛】這個題目考查的是對數的運算以及化簡公式的應用，也涉及到了軌跡的問題，求點的軌跡，通常是求誰設誰，再根據題干將等量關系轉化為代數關系，從而列出方程，化簡即可.10、D【解析】根據題意，求得數列的通項公式，代入數據，即可得答案.【詳解】因為數列為等差數列，所以，令，解得.故選：D11、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據長方體的對稱性可得體對角線過中心點，取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.12、C【解析】求出導數后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因為，所以，解得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意，歸納總結，結合等比數列的前項和公式，即可求得的通項公式.【詳解】結合已知條件，歸納總結如下：第一個圖案中，著色正方形的面積即；第二個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第三個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即；第個圖案中，新著色的正方形面積是，故著色正方形的面積即.故.故答案為：.14、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：15、84【解析】設公比為q，求出，再由通項公式代入可得結論【詳解】設公比為q，則，解得所以故答案為：8416、1【解析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，談論參數的范圍，根據導數的正負，可得單調區間；（2）由已知可解得，構造函數，再根據（1）的結論，可知函數的單調性，結合零點存在定理，可證明結論.【小問1詳解】定義域為，因為，若，，所以單調遞減區間為，若，,當時，，當時，，所以單調遞減區間為，單調遞增區間為【小問2詳解】證明：若且對任意，都有，則在處取得最小值，由（1）得在取得最小值，得，令，則單調性相同，單調遞減區間為，單調遞增區間為，且，，，所以在(1e2，所以在和各有且僅有一個零點，即方程有且只有兩個實根18、（1），；平均數為40.2；（2）【解析】（1）根據矩形面積和為1，求的值，再根據頻率分布直方圖求平均數；（2）首先利用分層抽樣，在中抽取3人，在中抽取2人，再編號，列舉基本事件，求概率，或者利用組合公式，求古典概型概率.詳解】（1）依題意，，故又因為，所以，所求平均數為（小時）所以估計這100名學生參加公益勞動的總時間的平均數為40.2（2）由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動總時間在和的學生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動總時間在和的學生中隨機抽取5人，則在中抽取3人，分別記為，，，在中抽取2人，分別記為，，則從5人中隨機抽取2人基本事件有，，，，，，，，，這2人來自不同組的基本事件有：，，，，，，共6個，所以所求的概率解法二：由頻率分布直方圖可知，參加公益勞動總時間在和的學生比例為又由分層抽樣的方法從參加公益勞動總時間在和的學生中隨機抽取5人，則在中抽取3人，在中抽取2人，則從5人中隨機抽取2人的基本事件總數為這2人來自不同組的基本事件數為所以所求的概率19、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數的解析式，利用二項式定理可求得函數中含項的系數；（2）利用錯位相減法化簡函數的解析式，求出解析式中含項的系數，再結合組合數公式化簡可得結果.【小問1詳解】解：當，時，，的展開式通項為，此時，函數中含項的系數之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數，而函數中含項的系數也可視為中含項的系數，故，且，故.20、（1）0.05，40；（2）【解析】（1）因為由頻率分布直方圖可得共五組的頻率和為1所以可得一個關于的等式，即可求出的值.再根據已知有4名學生的成績在9米到11米之間，可以求出本次參加“擲鉛球”項目測試的人數.本小題要根據所給的圖表及直方圖作答，頻率的計算易漏乘以組距.（2）因為若此次測試成績最好的共有4名同學.成績最差的共有2名同學.所以從6名同學中抽取2名同學共有15中情況，其中兩人在同組情況由8中.所以可以計算出所求的概率.試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測試總人數為答：此次參加“擲鉛球”的項目測試的人數為40人(Ⅱ)設從此次測試成績最好和最差的兩組中隨機抽取2名學生自不同組的事件為A：由已知，測試成績在有2人，記為；在有4人，記為.從這6人中隨機抽取2人有，共15種情況事件A包括共8種情況.