河南省新鄉(xiāng)市輝縣市第一中學2024屆高二數學第一學期期末聯(lián)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對于兩個平面、，“內有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知是雙曲線的左焦點，圓與雙曲線在第一象限的交點為，若的中點在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是（）A. B.2C. D.3．已知圓的方程為，圓的方程為，其中．那么這兩個圓的位置關系不可能為（）A.外離 B.外切C.內含 D.內切4．一組樣本數據：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數m的值為（）A.5 B.6C.7 D.85．用這3個數組成沒有重復數字的三位數，則事件“這個三位數是偶數”與事件“這個三位數大于342”（）A.是互斥但不對立事件 B.不是互斥事件C.是對立事件 D.是不可能事件6．在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-27．直線在y軸上的截距為（）A.-1 B.1C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.即不充分也不必要條件9．已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標滿足，則的最小值為（）A B.C. D.410．在下列各圖中，每個圖的兩個變量具有相關關系的圖是（）A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2） D.（2）（3）11．若點P為拋物線y＝2x2上的動點，F為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為（）A.2 B.C. D.12．已知向量，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線：的焦點的直線交于，兩點，若，則線段中點的橫坐標為______14．一條直線經過，并且傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為__________15．已知函數，若過點存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________16．如圖，按照以下規(guī)律排列的數陣中，第i行從左向右第j個數記為，如，，則______；令則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C經過，，三點，并且與y軸交于P，Q兩點，求線段PQ的長度.18．（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，其外接圓半徑為，已知（1）求角；（2）若邊的長是該邊上高的倍，求19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，為正三角形，且側面底面ABCD，（1）求證：平面ACM；（2）求平面MBC與平面DBC的夾角的大小20．（12分）已知拋物線的焦點在直線上（1）求拋物線的方程（2）設直線經過點，且與拋物線有且只有一個公共點，求直線的方程21．（12分）如圖，四邊形是一塊邊長為4km正方形地域，地域內有一條河流，其經過的路線是以中點為頂點且開口向右的拋物線的一部分（河流寬度忽略不計），某公司準備投資一個大型矩形游樂場.（1）設，矩形游樂園的面積為，求與之間的函數關系；（2）試求游樂園面積的最大值.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有三個點到的距離相等，當這三個點不在一條直線上時，可得；當這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.2、A【解析】根據雙曲線的幾何性質和平面幾何性質，建立關于a,b,c的方程，從而可求得雙曲線的離心率得選項.【詳解】由題意可設右焦點為，因為，且圓：，所以點在以焦距為直徑的圓上，則，設的中點為點，則為的中位線，所以，則，又點在漸近線上，所以，且，則，，所以，所以，則在中，可得，，即，解得，所以，故選：A【點睛】方法點睛：(1)求雙曲線的離心率時，將提供的雙曲線的幾何關系轉化為關于雙曲線基本量的方程或不等式，利用和轉化為關于e的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或取值范圍（2）對于焦點三角形，要注意雙曲線定義的應用，運用整體代換的方法可以減少計算量3、C【解析】求出圓心距的取值范圍，然后利用圓心距與半徑的和差關系判斷.【詳解】由兩圓的標準方程可得，，，；則，所以兩圓不可能內含.故選：C.4、B【解析】求出樣本的中心點，再利用回歸直線必過樣本的中心點計算作答.【詳解】依題意，，則這個樣本的中心點為，因此，，解得，所以實數m的值為6.故選：B5、B【解析】根據題意列舉出所有可能性，進而根據各類事件的定義求得答案.【詳解】由題意，將2,3,4組成一個沒有重復數字的三位數的情況有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶數有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以兩個事件不是互斥事件，也不是對立事件.故選：B.6、C【解析】以為建立平面直角坐標系，設，把向量的數量積用坐標表示后可得最小值【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標系，則，設，，，，，∴，∴當時，取得最小值故選：C【點睛】本題考查向量的數量積，解題方法是建立平面直角坐標系，把向量的數量積轉化為坐標表示7、A【解析】把直線方程由一般式化成斜截式，即可得到直線在軸上的截距.【詳解】由，可得，則直線在軸上的截距為.故選：A8、D【解析】根據充分條件、必要條件的判定方法，結合不等式的性質，即可求解.【詳解】由，可得，即，當時，，但的符號不確定，所以充分性不成立；反之當時，也不一定成立，所以必要性不成立，所以是的即不充分也不必要條件.故選：D.9、B【解析】由數量積的坐標運算求得，令，化為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數得答案【詳解】解：根據題意可得，、，所以，令，由約束條件作出可行域如下圖所示，由得，即，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為，即，所以故選：B10、D【解析】根據圖形可得（1）具有函數關系；（2）（3）的散點分布在一條直線或曲線附近，具有相關關系；（4）的散點雜亂無章，不具有相關關系.【詳解】對（1），所有的點都在曲線上，故具有函數關系；對（2），所有的散點分布在一條直線附近，具有相關關系；對（3），所有的散點分布在一條曲線附近，具有相關關系；對（4），所有的散點雜亂無章，不具有相關關系.故選：D.11、D【解析】根據拋物線的定義得出當點P在拋物線的頂點時，|PF|取最小值.【詳解】根據題意，設拋物線y＝2x2上點P到準線的距離為d，則有|PF|＝d，拋物線的方程為y＝2x2，即x2＝y(tǒng)，其準線方程為y＝－，∴當點P在拋物線的頂點時，d有最小值，即|PF|min＝.故選：D12、B【解析】根據向量加減法運算的坐標表示即可得到結果【詳解】故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意，作出拋物線的簡圖，求出拋物線的焦點坐標以及準線方程，分析可得為直角梯形中位線，由拋物線的定義分析可得答案【詳解】如圖，拋物線的焦點為，準線為，分別過，作準線的垂線，垂足為，，則有過的中點作準線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標為故答案為：14、【解析】先求出直線傾斜角，從而可求得直線的傾斜角，則可求出直線的斜率，進而可求出直線的方程【詳解】因為直線的斜率為，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因為直線經過，所以直線的方程為，即，故答案為：15、【解析】設過M的切線切點為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點，根據導數研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設過點的直線與曲線相切于點，則，化簡得，，令，則過點存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點∵，故當x<0或x>1時，，g(x)單調遞增；當0<x<1時，，g(x)單調遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒16、①.55②.【解析】令易知是首項為，公差為1的等差數列，寫出通項公式，再應用累加法求及通項公式，結合求通項公式，進而可得，最后兩次應用錯位相減法求即可.【詳解】由題設知：令，則是首項為，公差為1的等差數列，故，所以，即，由上可得：，則，而，所以，則，所以，，所以，令，則，所以，故，綜上，，則.故答案為：，.【點睛】關鍵點點睛：通過圖總結規(guī)律，易知是等差數列，應用累加法求，再由求通項公式，最后應用錯位相減法求前n項和.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】設圓的方程為，代入點的坐標，求出，，，令，即可得出結論【詳解】解：設圓的方程為，則，，，，，即,令，可得，解得、，所以、，或、，，18、（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計算可得；（2）記邊上的高為，不妨設，即可求出，再利用余弦定理求出，在中，記，根據銳角三角函數求出，，最后根據，利用兩角和的余弦公式計算可得；【詳解】解：（1）由已知條件，所以，所以所以，，由余弦定理可得，而，于是（2）記邊上的高為，不妨設，則，，，所以，由余弦定理得，在中，記，則，，所以19、（1）證明見解析（2）30°【解析】（1）連接BD，借助三角形中位線可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法直接可求.【小問1詳解】連接BD，與AC交于點O，在中，因為O，M分別為BD，PD的中點，則，又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.【小問2詳解】設E是AB的中點，連接PE，因為為正三角形，則，又因為平面底面ABCD，平面平面，則平面ABCD，過點E作EF平行于CB，與CD交于點F，以E為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，，，所以，，設平面CBM的法向量為，則，令，則，因為平面ABCD，則平面ABCD的一個法向量為，所以，所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°20、（1）（2）的方程為、、【解析】（1）求得點的坐標，由此求得，進而求得拋物線的方程.（2）結合圖象以及判別式求得直線的方程.【小問1詳解】拋物線的焦點在軸上，且開口向上，直線與軸的交點為，則，所以，拋物線的方程為.【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，直線與拋物線只有一個公共點.那個直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，，解得或.所以直線的方程為或.綜上所述，的方程為、、.21、（1）（2）【解析】（1）首先建立直角坐標系，求出拋物線的方程，利用，求出點的坐標，表示出的面積為即可；（2）利用導數求函數的最值即可.【小問1詳解】以為原點，所在直線為軸，垂直于的直線為軸建立直角坐標系，則，設拋物線的方程為，將點代入方程可得，解得，則拋物線方程為，由已知得，則點的縱坐標為，點的橫坐標為，則，【小問2詳解】，令，解得，當時，，所以函數在上單調遞增，當時，，所以函數在上單調遞減，因此函數時，有最大值，22、（1）證明過程見解析；